描述变胞机构构态变换的关联矩阵法.doc

描述变胞机构构态变换的关联矩阵法
畅博彦1, 2 金国光1, 2 戴建生3 杨世明1, 2 贠今天1, 2
（1. 天津工业大学机械电子学院，天津 300160；
2. 天津市现代机电装备技术重点实验室，天津 300160；
3. 伦敦大学国王学院机械工程系，伦敦 WC2R 2LS 英国）
摘 要: 基于变胞机构的变拓扑结构特性，提出了四种基本变胞过程：构件数目变化、运动副数目变化、运动副类型变化和连接方式变化，这些过程的组合使用可实现全部变胞要求。为了完整、简便、清晰地描述构态变换过程，提出运用含有运动副类型的关联矩阵及其逻辑运算对变胞过程进行描述，同时给出了构态变换方程的逻辑表达式和实现变胞过程的五种基本变胞矩阵。该方法能直观地描述出构态变换的过程和目的，变胞矩阵构造简便，与传统数学运算相比运算次数少，且变换过程中不需要对构件重新编号，有利于变胞机构计算机辅助设计。
关键词: 变胞机构；构态变换；关联矩阵；矩阵演算
中图分类号：TH112 文献标识码：A
Incidence Matrix Representation of Configuration Changes in Metamorphic Mechanisms
Chang Boyan1, 2, Jin Guoguang1, 2, Dai Jiansheng3 , Yang Shiming1, 2, Yun Jintian1, 2
(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300160;
2. Tianjin Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology, Tianjin 300160;
3. Department of Mechanical Engineering, King’s College, University of London, London)
Abstract: Four elementary metamorphic processes are proposed based on characteristics of variable topology in metamorphic mechanisms: change in the number of components, change in the number of kinematic joints, change in the type of kinematic joints and change of link connectivity. Combining these processes can fulfill all metamorphic requirements. In order to represent the processes of configuration changes completely, conveniently and clearly, incidence matrix with type of kinematic joints and its logical operation are introduced to describe the metamorphic processes, and meanwhile, the logical expression of configuration changing equation and five kinds of elementary metamorphic matrices which are used to fulfill the metamorphic processes are given. This method can describe the process and purpose of configuration changes intuitively and it’s easy to construct the metamorphic matrix. In contrast with traditional mathematical operation, it’s propitious for metamorphic mechanisms’ computer aided design because the number of times of logical operation is much less and it’s unnecessary to renumber components.
Key words: Metamorphic mechanisms; Configuration changes; Incidence matrix; Matrix operation

—6—
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50675154)，天津市应用基础及前沿技术研究计划资助项目(09JCYBJC04600)。
变胞机构(Metamorphic Mechanism)是基于生物学中细胞分裂和融合现象，通过研究可折叠式纸盒和工艺品等机构提出的一个崭新概念[1,2,3]。由于传统的机构学理论基于固定的构件数目和运动副，因此只有固定的自由度，而变胞机构具有变拓扑特性，能够根据环境和工况的变化以及任务的需求，改变机构自身的拓扑结构，进行自我重组和重构，故具有多构态和多功能性，可适用于不同任务和场合。由此看出，拓扑结构变化是变胞机构区别于传统机构的本质，也是研究变胞机构的核心。
拓扑结构的变化包括构件数目的变化、运动副数目的变化、运动副类型的变化和连接方式的变化。不少学者运用邻接矩阵对构态变换进行描述[4,5,6]，但提出的矩阵演算方法仅限于对构件数目变化的描述。文献[4]可描述末杆与其它杆件合并的构件数目减少的变化；文献[5]能将任意杆件进行合并，并给出了相应构态变换方程的数学运算表达式，但由于多次行列变换，构件需重新编号，容易混淆；文献[6]提出了杆件增加、杆件减少和杆件数不变的矩阵变换法，变换过程中不需要对新机构重新编号，可清晰地描述构件数目的变化，但对运动副变化的描述还有很大缺陷，如运动副数目的变化和运动副类型的变化。此后，王德伦等[7]提出一种描述变胞机构的一种符号邻接矩阵，将构件序号记录为邻接矩阵的对角元素值，将运动副符号引入邻接矩阵，但未描述运动副类型的变换，矩阵的数学演算过程依然复杂。可以看出，由于邻接矩阵自身结构（行与列均表示构件编号）并不利于描述运动副的变化，以及矩阵数学运算的限制，目前描述变胞机构构态变换的方法并不能完整、简便、清晰地描述出构态变换的过程和类型。
本文首先将运动副类型引入关联矩阵，形成的关联矩阵通过一种逻辑运算——异或，就能清晰地描述构态变换过程和全部拓扑变化形式，运算十分简便。由于矩阵行运算表示构件变化，矩阵列运算表示运动副变化，能明确地描述构态变换的意义和目的，且变换过程中也不需要对构件和运动副重新编号，利于变胞机构计算机辅助设计。
1　基本概念
1.1　关联矩阵的基本形式
为了将运动副类型引入关联矩阵，在传统关联矩阵首行前加入一行，作为第0行，并写入相应的运动副符号或代码。这里我们规定从第一行起开始构件编号，构件编号与矩阵行数一致，即第一行代表1号构件，依次类推。且除第一行外其余位置元素与传统关联矩阵元素表征意义相同。所得关联矩阵可表示为
(1)
表1 运动副代码C表
运动副符号
运动副类型
运动副代码C
R
转动副
0001
P
移动副
0010
G
平面高副
0011
H
螺旋副
0100
C
圆柱副
0101
S＇
球销副
0110
U
胡克铰
0111
S
球面副
1000
E
平面副
1001
CE
柱平面副
1010
SE
球平面副
1011

式中

——第j列所对应的运动副符号或代码C
n ——构件数目，即拓扑图定点数
m ——运动副数目，即拓扑图定边数
运动副的代码如表1所示。

(a) RSSP机构简图 (b) RSSP机构拓扑图
图1 空间RSSP机构简图和拓扑图
例如，图1所示空间RSSP机构，运用关联矩阵描述该机构为
(2)
1.2 构态变换的描述
变胞机构具有多个构态，构态间的变换可由一系列的矩阵演算来描述，本文运用逻辑运算来描述构态变换，并给出了构态变换的逻辑运算表达式
(3)
式中
—— 描述构态k的矩阵表达式，有
个构件，个运动副
—— 构态k到k+1的变换矩阵，具体
形式与构态变换方式有关
—— 矩阵对应元素进行异或运算，未对应
元素与0进行异或运算
此外，根据分块矩阵理论，可表示为
(4)
为矩阵的个维行向量， 为矩阵的个维列向量。由关联矩阵的特性可知：矩阵行运算表示构件变化，矩阵列运算表示运动副变化。
2　构建数目变化的构态变换
构件数目的变化分为构件数目减少和构件数目增加两种方式。
2.1 构件数目减少
构件数目的减少是通过构件的合并来实现的，我们通过一个简单折纸机构来说明构件数目减少的拓扑变化过程。如图2(a)所示开环六杆折纸机构，将构件6合并到构件1，形成闭环五杆机构，再将构件5合并到构件4，形成闭环四杆机构。

(a)开环六杆机构 (b)闭环五杆机构 (c)闭环四杆机构
图2 杆折纸机构的构态变换过程
将构件合并到构件()的构态变换就是要将中行的连接关系转移到行，再将行元素全变为0，表示构件的消失。该变换矩阵可写为
(5)
根据式(3)和式(5)，图2所表示的构态变化过程可由矩阵演算描述为
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2.2 构件数目增加
在构件数目增加的过程中，需要断开和增加相关运动副，本文采用文献[6]中使用的“先断后接”原则进行运动副断开和连接的操作，这样可以减少待连接节点间的联通路径，连接操作方便且可避免出现桁架结构。
减少运动副的构态变换就是要将矩阵的第j列元素全变为0，表示运动副的消失。该变换矩阵可写为
(11) ，
增加个运动副的构态变换就是要对矩阵进行列扩充，扩充的列应能表示增加的运动副类型C和相应的连接关系。该变换矩阵可写为
(12) 其中
(13)表示增加运动副，该运动副连接了构件和， 和为被连接构件的编号。
增加个离散构件的构态变换只需要在原矩阵基础上扩充个0行。该变换矩阵可写为：
(14)
按照“先断后接”原则，增加构件的构态变换矩阵为：
(15)
图3描述了一个具体变胞机构构件数目由6增加到7的过程。
(a)原六杆机构 (b)断开1、4 (c)增加7 (d)连接1、7，4、7
图3 六杆机构转换为七杆机构的过程
该变胞过程可用矩阵描述为：
(16)
(17)
其中，、和可分别根据式(11)、式(12)和式(13)构造得到：
(18)
(19)
(20)
由式(17)可求得
(21)
从上面的例子可以看出，提出的矩阵逻辑演算可以清楚地描述构态变换过程中构件数目变化所引起的拓扑结构变化。
3　运动副变化的构态变换
运动副的变化包括运动副数目的变化、运动副类型的变化和连接方式的变化。2.2节中我们已经讨论了运动副数目的变化，并给出了对应的构态变换方程，下面讨论运动副类型的变化和连接方式的变化。
3.1 运动副类型的变化
文献[8]提出了变拓扑运动副的概念，并对其引起的拓扑变化进行了研究。图4所示平面四杆机构中含有一个具有G、R、P三个状态的运动副，使该四杆机构可演化为RRRG、RRRR、RRRP三个构态。
(a)RRRG机构 (b)RRRR机构 (c)RRRP机构
图4 运动副类型可变的四杆机构变化过程
描述运动副类型的变化就是要改变的运动副代码，将其由变化为。该变换矩阵可写为
(22)
其中
= (23)
图4中所表示的变胞过程可用矩阵描述为
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
从变换前后的关联矩阵中，可以清楚的看到运动链中运动副类型的变化。
3.2 连接方式的变化
连接方式变化是指通过改变运动副的连接关系来实现构态间的变换，进而得到所需机构的过程。图5中，一个六杆变胞机构通过改变连接方式，由史蒂芬链转变为瓦特链。
(a)原六杆机构 (b)断开1、2 (c)连接2、6
图5 六杆变胞机构改变连接方式的过程
可以看出连接方式的变化实际上是通过运动副的断开和连接实现的，故上述过程可由式(11)和式(12)来描述，这里不再赘述。
4　结论
（1）变胞机构实现构态变换的四个基本过程为：构件数目变化、运动副数目变化、运动副类型变化和连接方式变化，四种基本过程通过组合可实现全部变胞要求。
（2）构态变换的逻辑表达式（式(3)）不仅可以描述相邻两构态间的变换关系，也可通过递推关系得到任意构态间的变换关系。根据逻辑异或运算的特性易知式(29)成立：
(29)
该式可用于变胞机构的设计。
（3）提出的描述方法与已有方法相比，整个演算过程只使用了一种逻辑运算，不仅运算简便，过程清晰，还可以描述运动副数目和类型的变化，对变胞机构构态变换的描述更加全面。但由于矩阵中缺少运动副方位信息，仍不能描述运动副方位变化所引起的运动链结构和自由度变化，这个问题还需要进一步研究。
[参考文献]
[1] Dai J S, Rees-Jones J. New Configuration Model of Cartons and Their Operation. Science and Technology Report, PS 97 0066, 1997, Unilever Research.
[2] Dai J S, Rees-Jones J. Structure and Mobility of Cartons in Cartoning Process. Science and Technology Report, PS 97 0067, 1997, Unilever Research.
[3] Dai J S, Rees-Jones J. Theory on Kinematic Synthesis and Motion Analysis of Cartons. Science and Technology Report, PS 97 0184, 1997, Unilever Research.
[4] 李端玲，戴建生，张启先等. 基于构态变换的变胞机构综合[J]. 机械工程学报，2002,38（7）: 12-16.
[5] Dai J S, Rees-Jones J. Matrix representation of topological changes in metamorphic mechanisms [J]. Journal of Mechanical Design, 2005, 127(4): 675-682.
[6] 吴艳荣，金国光，李东福，杨世明，戴建生. 描述变胞机构构态变换的邻接矩阵法[J]. 机械工程学报, 2007, 43(7): 23-26.
[7] WANG Delun, DAI Jiansheng. Metamorphic mechanisms and the synthesis theory[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(8): 32-42.
[8] YAN H S, KUO C H. Topological representations and characteristics of variable kinematic joints[J]. Transactions of the ASME：Journal of Mechanical Design, 2006, 128(2): 384-391.

作者简介：畅博彦 (1985-)，男（汉），山西，硕士，E-mail: boyanchang@
通讯地址：天津市河东区程林道63号天津工业大学3#宿舍楼212室
邮编300160
联系电话：[phone]

金国光(1963-)，男（汉），教授，E-mail: jgg63@