中考压轴题1.doc

中考数学近三年二次函数压轴题精选（含答案）
第一部分：试题
1．如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．
⑴求的值；
⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：＝；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
(第2题)

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由

(图1) (图2)

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y＝与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围；
②若r=，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

图1

7．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

8．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

第8题图

.9．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当
△APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最
大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2010 山东省德州） (已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
x
y
O
A
B
C
P
Q
M
N
第12题图
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作
x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ
的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，
并指出t的取值范围；当t为何值时，
S有最大值或最小值．
13．（2010 山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
（第24题图）
x
y
O
A
C
B
D
E
F

14．（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.
(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围。

15．（2010福建宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
B E→ F→ C
A D
G

【答案】解：⑴ x，D点
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.
B E C F
A D
G
P
H
图2
综上所述：当x＝时，y最大＝.
B E F C
A D
G
N
M
图1

16．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

x
y
D
A
C
O
P

17．（2010 武汉 ）如图1，抛物线经过点A（－1，0），C（0，）两点，且与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；
（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
图 1
图 2

18．（2010四川 巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ）
（1）试求点C 的坐标
（2）若抛物线过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．
（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。
D
G
H

19．（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时
S最小，并求出这个最小值.

．
20．（2010江苏常州）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点A、C，与轴相较于点B，A（），且△AOB∽△BOC。
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系是；
（2）在线段AC上是否存在点M（）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

21．（2010江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=
（1）当PQ∥AD时，求的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出S的取值范围。

22．（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线 恰好经过轴上A、B两点．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？

23．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝的图象与x轴交于点A．与轴交于点；二次函数图象与一次函数y＝的图象交于、两点，与轴交于、两点且点的坐标为
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEF的面积S；
（3）在轴上是否存在点P，使得△是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。

25．（2010 四川成都）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

26．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．

（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为4，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

第二部分：答案
1．【答案】⑴ ∵抛物线经过点D()
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
　∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即AC平分BD
∵c=6. ∵抛物线为
∴A（）、B（）
∵M是BD的中点 ∴M（）
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

2．【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．
∴ △AEF∽△ABC．
又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF．
∴ ＝
（2）由（1）得＝． AH＝x．
∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，
∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．
∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．
图1

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形．
∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．
分三种情况讨论：
① 如图2．当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．
∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；
②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．
∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；
③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．
∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

图2 图3 图4
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=
3．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E．
∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10)
∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，
∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10．
又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝5．
∵ SRt△OAB＝AE·OB＝OA·AB，
∴ AE＝2， ∴ AC＝4．
∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA．
又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB．
∴ ＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4）
当x＝－3时，y＝×9－×(－3)＝4．
∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．
过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H．
∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，
∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，
∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)．
∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．
又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．
∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD．
第3题图
又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．
∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)．
设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)．
把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，
得 解得
∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M
∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，
解得m＝
∴ 点Q的横坐标为或．

4．【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，
则，解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则，解得．
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
=
=
∴当x=5时，S△CMN有最大值
5．【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；
令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）
设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得： 解得k＝，b=3
故BC的解析式为：y=x＋3
（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2，DE＝2，从图中可知，，所以有： 解得DG＝ 故当r＞，点P运动到点D时，⊙P与直线BC相交

②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝x＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立： 解得两点（2，4）为D点，（4，3）也符合条件。
设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC于点N，所以MN=，又tan∠NBM＝　所以NB=，BM＝4，所以点M与点F重合。设直线m为y=x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝×2＋b 得b=1，所以直线m的解析式为：y＝ｘ+１
联立方程组：　　　解得：ｘ＝
所以适合要求的点还有两点即（3－，）与（3＋，）
故当r=，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D（2，4），（4，3）和（3－，），（3＋，）的坐标．
6．【答案】解：(1) 抛物线y＝－x2＋bx＋c过点 A(4,0)B(1,3).∴
∴，，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形，
∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,
∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，∴，
∴，∴.
7．【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）
∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6
由解得：，
∴该抛物线的解析式为
方法二：∵A、B关于x＝2对称
∴A（－8，0） 设
C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝
∴该抛物线解析式为：
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD
∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：

显然∠PDC＝∠QDC，
由已知∠PDC＝∠ACD
∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC
DB＝AB－AD＝20－10＝10
∴DQ为△ABC的中位线
∴DQ＝AC＝5
AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5
∴t＝5÷1＝5（秒）
∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中，BC＝＝
∴CQ＝
∴点Q的运动速度为每秒单位长度．
（3）存在．如图，

过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9
在Rt△PQH中，PQ＝＝
①当MP＝MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：
，解得：
∴y＝3x－6
当x＝1时，y＝－3
∴M1(1，－3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，
设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：
42＋y2＝90，即y＝±
∴M2（1，）；M3（1，－）
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）
设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：
，即y＝－3±
∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）
综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）
8． 【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得
解这个方程，得
所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
图1
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.
在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.
因为AC2+BC2=.
所以△ABC是直角三角形。
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,
.
① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，
将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.
解得（不合题意，舍去）.
图2
当x=时，y=.
所以点P的坐标为（，）.
②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为
.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，
将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4
解得（不合题意，舍去）.
当x=-时，y=-9.
所以点P的坐标为（-，-9）.
综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）
.9．【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0），
设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c
则：解得：
∴该抛物线的解析式为
9题图
（2）如图：设点P（x，0），

∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC，

∴
又∵S△ABC=BC×OA=27
∴
∴S△CPE==
S△ABP＝BP×OA=3x+9
设△APE的面积为S
则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=
当x=时，S最大值为
∴点P的坐标为（，0）

（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等．
在（2）中，△APE的最大面积为，过点G做GF垂直y轴与点F．
①当y＞6时，S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC=（x+6）y—x（y-6）—×6×6
=3x+3y-18
即3x+3y-18=，
又∵点G在抛物线上，，
∴3x+3-18=
解得：，当x=时，y=，当x=时，y=．
又∵y＞6，∴
点G的坐标为（，）
②当y＜6时，如图：
S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=x（6—y）+-18=3x+3y-18
即3x+3y-18=，
又∵点G在抛物线上，，
∴3x+3-18=
解得：，当x=时，y=，当x=时，y=．

又因为y＜6，所以点G的坐标为（，）．
综和①②所述，点G的坐标为（，）和（，）．

（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形:
则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC
下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．

12．【答案】x
y
O
A
B
C
P
Q
D
E
G

M
N
F

解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得

解得：a=1，b=-2．
∴．
配方得：，所以对称轴为x=1．
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点
∴S=，
=．
由=．
．
∴S=．
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0<t≤20．
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．
13． 【答案】解：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：.
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．
∴劣弧EF的长为：．
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：.
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为. ……………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

14．【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H（，） …………4分
∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由得
该函数简图如图所示：
当0<x<时,h<0，即HP<MN
当x=时，h=0，即HP=MN
当<x<时，h>0，即HP>MN

15． 【答案】解：⑴ x，D点
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.
B E C F
A D
G
P
H
图2
综上所述：当x＝时，y最大＝.
B E F C
A D
G
N
M
图1

16． 【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2
∴点A的坐标是（2，0），
△PCA是等腰三角形，
（2）存在。
OC=AD=m,OA=CD=2，
（3）当0<m<2时，如图1，作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=2-m, ∴CH= ，
∴=OH= = .
把=代入y=-2x2+4x，得
=，∵CD=OA=2,
∴.
当m>2时，如图2
作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=m-2，∴AH=
∴=OH= = ,
把把=代入y=-2x2+4x，得
得, =
∵CD=OA=2，
∴．

17． 【答案】（1）；
（2）由顶点M（1，2）知∠PBM=45°，易证△MBP∽△MPQ得，得，即；
（3）存在，设点E、G是抛物线分别与直线x=m，x=n的交点，则、，同理、，．由四边形EFHG为平行四边形得EG=FH，即，由，因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）．
18． 【答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴，CO=2，
则C（0，2）；
（2）抛物线过△ABC的三个顶点，则，∴，抛物线的解析式为；
（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线联立成方程组∴，
∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°,
BD=,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=,
当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；
当P 在B的左侧时
ⅰ) △DPB∽△EBA时，，，∴P的坐标为（，0），
ⅱ) △DPB∽△BEA时， ，，∴P的坐标为（，0），
所以点P的坐标为（，0）或（，0）。
19．【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，则，解得：，所以．
（2）由＝，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝．
（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，
则，又，
∴S＝ ，即S＝，∴当a＝2（在2＜a＜3）时，．
20． 【答案】

21． 【答案】

22． 【答案】解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM．
在Rt△AOD和Rt△BMC中，
∵OD=MC，AD=BC，
∴△AOD≌△BMC
∴OA=MB=MA分
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
，解得．
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为、、
(2)设抛