第二讲提高篇全等三角形经典例题整理.doc

第二讲 全等三角形的典型习题
一、知识要点
1. 能够完全重合的两个图形叫作全等形
2. 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
3. 两个全等三角形重合时。互相重合的顶点叫作对应点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角
4. （1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
（3）全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线都相等
5.三角形全等的判定定理
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（可以简称为“边角边”或”SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等
（3）角角边定理：
（4）边边边定理：
(5) “HL”
定理
6.三角形的三边长度固定时，这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形这个性质叫作三角形的稳定性
二．变式训练
A
C
E
B
D
1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，E是AB的中点，BE=AC，求证：DA=DB

A
D
C
B
E
2.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DE过C的一条直线，且AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，
求证：DE=BE+AD

A
B
E
C
D
3.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE
于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE

E
C
A
B
D
F
4.已知，如图，DC∥AB，DA∥CB，DF∥AC∥EB，AE⊥EB于E，CF⊥DF于F，求证：BE=DF

5. 已知等腰三角形的三边长分别为6,10，，如果这个三角形不是等腰三角形，且周长是偶数，
则适合条件的三角形的个数是 。

A
B
D
C
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B: ∠C的值是

7．如图，在四边形ABCD中，AD=DC， ∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积是16，
D
A
E
B
C
求ED的长。

A
B
D
C
8.已知，如图，AB=7，AC=5，中线AD=,求偶数

A
B
C
D
E
9.已知，如图，△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，E在AD上，求证：∠ABE<∠ACE

10.（1）操作发现：如图①，D是等边三角形△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连结AF，你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你的结论？
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同。猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ、如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△，连结AF、。探究AF、与AB有何数量关系？并证明你的结论。
F
A
B
C

D
③

F
A
B
C
D

④
D
A
B
C
F
②
Ⅱ、如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论？
C
A
B
D
F
①

一、全等在特殊图形中的运用
1、如图，等边△ABC中，D、E分别是AB、CA上的动点，AD＝CE，试求∠DFB的度数．

2、如下图所示，等边△ABC中，D、E、F是AB、BC、CA上动点，AD＝BE＝CF，试判断△DEF的形状．

3、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，线段BE、CD相交于点H，线段BE、AC相交于点G，线段BE、CD相交于点H．请你解决以下问题：
(1) 试说明BE＝CD的理由；
(2) 试求BE和CD的夹角∠FHE的度数

练习1、如下图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F，试说明AG＝AF的理由．

练习2、如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N，请你猜测AG与CE的关系(数量关系和位置关系)并说明理由．

4、△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，D是底边BC的中点，DE⊥DF，试用两种不同的方法说明BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。

二．证明全等常用方法（截长发或补短法）
5、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D．请你试说明AB＋BD＝AC的理由．

练习1，∠C＋∠D＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD＋BC＝AB．

练习2、五边形ABCDE中,AB＝AE,∠BAC＋∠DAE＝∠CAD,∠ABC＋∠AED＝180°,连结AC，AD．请你用补短法说明BC＋DE＝CD．（也可用截长法，自己考虑）

6、如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF＝45°．请你试用补短法说明AE＋CF＝EF．

练习1.、如图所示，在△ABC中，边BC在直线m上，△ABC外的四边形ACDE和四边形ABFG均为正方形，DN⊥m于N，FM⊥m于M．请你说明BC＝FM＋DN的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE，你能说明S△ABC＝S△AGE吗？）

三． 全等在探究题中的运用
7、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
(1) 请你写出说明△ABC≌△ECF的理由；
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（2）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
（第2题图）
（3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

练习1、如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗？并说明理由；
图3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．
图1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )

练习2．
在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
A
B
C
D
E
图2
G
A
B
C
D
E
F
图1
活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边
AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF
是正方形，求阴影部分的面积．

小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积： ．
活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．
小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答： ．②AE的长是 ．
图5
B
C
D
A
E
E
A
B
C
D
G
图4
A
B
C
D
图3
E
活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．

四． 动点问题中的全等、
8如图，已知中，厘米，BC=16厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
A
Q
C
D
B
P
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动
速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多
长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？