第二章第八节幂函数与二次函数.doc

一、选择题
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　B．4
C. D.
解析：设f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2＝.
答案：C
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案：A
3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：当a<0时，a－7<1，
即2－a<23.∴a>－3.∴－3<a<0.
当a≥0时，<1，
∴0≤a<1.故－3<a<1.
答案：C
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)

解析：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.
答案：D
5．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值(　　)
A．正数 B．负数
C．非负数 D．与m有关
解析：法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，
而－m，m＋1关于对称，
∴f(m＋1)＝f(－m)＜0.
法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0，
∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0.
答案：B
二、填空题
6．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
答案：①②⑤⑥
7．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，∴t＝32＋.
在上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.
答案：
三、解答题
8．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
任取0<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2)．
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
9．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；
(3)求不等式f(x)≥0的解集．
解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，∴a＝2.
即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.
(2)f(x)＝2(x－1)2－8
当x∈[0,3]时，由二次函数图象知
f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.
(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)[理]当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．