使闭回路系统.pptx

2024/4/21狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 線性系統的控制性線性系統的控制性線性系統的控制性線性系統的控制性 1.控制性控制性(controllability)和觀測性和觀測性(observability)的觀念首先由的觀念首先由卡曼卡曼(Kalman)提提倡用於現代控制理論中，它在理論和實際兩方面都扮演著極重要的角色。倡用於現代控制理論中，它在理論和實際兩方面都扮演著極重要的角色。2.控制性和觀測性的條件常可決定最佳控制問題解答之存在性。此即最佳控理論與古控制性和觀測性的條件常可決定最佳控制問題解答之存在性。此即最佳控理論與古典控制理論的基本差異。典控制理論的基本差異。3.在古典控制理論中，設計的技巧以試誤法為主。古典控制理論是給定一組設計規格，在古典控制理論中，設計的技巧以試誤法為主。古典控制理論是給定一組設計規格，在開始時設計者並不知道解答是否存在。在開始時設計者並不知道解答是否存在。4.大多數的最佳控制理論針對系統參數與設計的目標，具有在設計之初就能判斷解答大多數的最佳控制理論針對系統參數與設計的目標，具有在設計之初就能判斷解答是否存在的標準。是否存在的標準。5.系統的控制性之條件與狀態回授的解之存在性關係密切，我們可任意放置系統的特系統的控制性之條件與狀態回授的解之存在性關係密切，我們可任意放置系統的特徵值使其達到控制目的。徵值使其達到控制目的。6.輸出變數通常是可量測的，故觀測性的觀念與是否可由輸出變數來觀測或估計狀態輸出變數通常是可量測的，故觀測性的觀念與是否可由輸出變數來觀測或估計狀態變數的條件有關。變數的條件有關。狀態回授控制系統狀態回授控制系統狀態回授控制系統狀態回授控制系統 1.1.系統方塊圖：系統方塊圖：系統方塊圖：系統方塊圖：圖圖圖圖 5-14 5-14。2.圖圖 5-14(a)中的系統，其動態特性方程式：中的系統，其動態特性方程式：(5-223)2024/4/22狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER3.狀狀態變數經由常數矩陣態變數經由常數矩陣 K 回授回來形成一閉迴路系統：回授回來形成一閉迴路系統：(5-224)K 為具有常數元件的為具有常數元件的 p n 回授矩陣回授矩陣 4.閉閉迴路系統可表示為迴路系統可表示為(5-225)圖圖圖圖 5-14 (a)5-14 (a)狀態回授控制系統，狀態回授控制系統，狀態回授控制系統，狀態回授控制系統，(b)(b)具有觀測器和狀態回授的控制系統具有觀測器和狀態回授的控制系統具有觀測器和狀態回授的控制系統具有觀測器和狀態回授的控制系統 這種問題也稱為經由狀態回授的極點配這種問題也稱為經由狀態回授的極點配置設計置設計(pole-placement design)。5.設計目標是找出回授矩陣設計目標是找出回授矩陣 K，使閉迴路系統，使閉迴路系統(ABK)的特徵值保持於某一事先設定的特徵值保持於某一事先設定 的值。的值。6.對於任意指定的極點，經由狀態回授的極點配置設計，其解的存在性直接與系統狀對於任意指定的極點，經由狀態回授的極點配置設計，其解的存在性直接與系統狀 態的控制性有關。態的控制性有關。7.若若(5-225)式的系統為可控制，則必存在一常數回授矩陣式的系統為可控制，則必存在一常數回授矩陣 K，使得，使得(ABK)的特徵值的特徵值 可任意配置。可任意配置。2024/4/23狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER8.設計和建構一個設計和建構一個觀測器觀測器(observer)，以便能從輸出向量，以便能從輸出向量 y(t)來估測狀態向量。圖來估測狀態向量。圖 5-14(b)所示為具有觀測器的閉迴路系統方塊圖。觀測或估測到的狀態向量所示為具有觀測器的閉迴路系統方塊圖。觀測或估測到的狀態向量 (t)，經由回授矩陣，經由回授矩陣 K 可產生控制可產生控制 u(t)。存在此種觀測器的條件稱為系統的觀測性。存在此種觀測器的條件稱為系統的觀測性。控制性的一般觀念控制性的一般觀念控制性的一般觀念控制性的一般觀念 1.1.線性非時變系統方塊圖：線性非時變系統方塊圖：線性非時變系統方塊圖：線性非時變系統方塊圖：圖圖圖圖5-155-15。2.若若系統的每個狀態變數可以在有限的時間內，被某一無限制系統的每個狀態變數可以在有限的時間內，被某一無限制(unconstrained)的的 控制控制 u(t)所控制來達到某些目的時，則稱此系統為完全可控制的所控制來達到某些目的時，則稱此系統為完全可控制的(completely controllable)。圖圖圖圖 5-15 5-15 線性非時變系統線性非時變系統線性非時變系統線性非時變系統 3.只要存在著一個不可控制的狀態，系統就稱為非完全可控制的或簡稱不可控制的。只要存在著一個不可控制的狀態，系統就稱為非完全可控制的或簡稱不可控制的。4.圖圖 5-16 說明具有兩個變數的線性系統狀態圖。因為控制說明具有兩個變數的線性系統狀態圖。因為控制 u(t)只影響狀態只影響狀態 x1(t)而而 x2(t)是不可控制的。換句話說，以任何的控制是不可控制的。換句話說，以任何的控制 u(t)不可能在有限的時間區間不可能在有限的時間區間(tf t0)由起始狀態由起始狀態 x2(t0)來推動來推動 x2(t)至所要的狀態至所要的狀態 x2(tf)。因此，整個系統稱為不可。因此，整個系統稱為不可 控制的。控制的。狀態控制性狀態控制性(state controllability)2024/4/24狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-16 5-16 非狀態可控制系統的狀態圖非狀態可控制系統的狀態圖非狀態可控制系統的狀態圖非狀態可控制系統的狀態圖 狀態控制性的定義狀態控制性的定義狀態控制性的定義狀態控制性的定義 1.線性非時變系統的動態方程式：線性非時變系統的動態方程式：(5-226)(5-227)x(t)為 n 1 的狀態向量，u(t)為 r 1 的輸入向量，y(t)為 p 1 的輸出向量，而 A，B，C 和 D 為適當維度的係數矩陣。2.若若在一有限時間在一有限時間(tf t0)0 內存在一片段連續輸入內存在一片段連續輸入 u(t)，驅使狀態，驅使狀態x(t0)至任何最至任何最 終狀態終狀態 x(tf)時，稱狀態時，稱狀態 x(t)在在 t=t0 為可控制的。若系統的每一個狀態為可控制的。若系統的每一個狀態 x(t0)在一在一 有限時間區間是可控制的，則稱此系統為完全狀態可控制的或簡稱可控制的。有限時間區間是可控制的，則稱此系統為完全狀態可控制的或簡稱可控制的。定理定理定理定理 5-1 5-1 若若(5-226)式的狀態方程式所描述的系統為完全狀態可控制的，則下列式的狀態方程式所描述的系統為完全狀態可控制的，則下列 n nr 矩陣的秩為矩陣的秩為 n 是其充分且必要的條件是其充分且必要的條件(5-228)有時稱 A，B 為可控制的，這表示 S 的秩為 n。2024/4/25狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 若若 S 不是方矩陣，我們可以建構一個不是方矩陣，我們可以建構一個 n n 的矩陣的矩陣 SS。若。若 SS 為非奇異的，則為非奇異的，則 S 的秩為的秩為 n。定理定理定理定理 5-2 5-2 對於以狀態方程式對於以狀態方程式(5-226)式式 r=1 所描述的單輸入所描述的單輸入-單輸出單輸出(SISO)系統，系統，若若 A 和和 B 是是 CCF 或可用相似轉換轉成或可用相似轉換轉成 CCF，則，則 A，B 是完全可控制是完全可控制的。的。定理定理定理定理 5-3 5-3 對於以狀態方程式對於以狀態方程式(5-226)式所描述的系統，若式所描述的系統，若 A 為為 DCF 或或 JCF，且對，且對應於每一個應於每一個喬頓喬頓方塊最後一列矩陣方塊最後一列矩陣 B 的列，其所有的元素皆不為零，則的列，其所有的元素皆不為零，則 A，B 為完全可控制的。為完全可控制的。Ex.針對一個針對一個 JCF 的系統，例如的系統，例如(5-229)式的矩陣式的矩陣 A 和和 B 要證明其為可控制的，僅須要證明其為可控制的，僅須 對應於對應於喬頓喬頓方塊最後一列矩陣方塊最後一列矩陣 B 的列，其所有的元素皆不為零即可。的列，其所有的元素皆不為零即可。(5-229)因此，因此，因此，因此，(5-229)(5-229)式中式中式中式中 A A 和和和和 B B 可控制性的條件為可控制性的條件為可控制性的條件為可控制性的條件為 b b3131 0 0，b b3232 0 0，b b4141 0 0 和和和和b b42 42 0 0。例題例題例題例題 5-18 5-18 某一系統狀態方程式的係數矩陣為某一系統狀態方程式的係數矩陣為(5-230)試問此系統是否為可控制？試問此系統是否為可控制？2024/4/26狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 這個系統是不可控制的，因其兩個狀態方程式是相依的，亦即要獨立地控制各這個系統是不可控制的，因其兩個狀態方程式是相依的，亦即要獨立地控制各個狀態是不可能的。我們可以很容易地證明個狀態是不可能的。我們可以很容易地證明 S=B AB 在此是奇異的。在此是奇異的。奇異的奇異的奇異的奇異的!例題例題例題例題 5-19 5-19 考慮圖考慮圖考慮圖考慮圖 5-16 5-16 中的系統，試討論此系統的可控制性。中的系統，試討論此系統的可控制性。中的系統，試討論此系統的可控制性。中的系統，試討論此系統的可控制性。1.系統的狀態方程式的係數矩陣：系統的狀態方程式的係數矩陣：(5-231)2.由由(5-228)式，控制性矩陣為式，控制性矩陣為(5-232)S是奇異的，因此系統為不可控制的。是奇異的，因此系統為不可控制的。例題例題例題例題 5-20 5-20 考慮一個三階的系統，其係數矩陣為考慮一個三階的系統，其係數矩陣為(5-233)試討論此系統的可控制性。試討論此系統的可控制性。試討論此系統的可控制性。試討論此系統的可控制性。2024/4/27狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER1.控制性矩陣為控制性矩陣為(5-234)S是奇異的，因此系是奇異的，因此系統為不可控制的。統為不可控制的。另一種檢測方法：另一種檢測方法：另一種檢測方法：另一種檢測方法：2.A 的特徵值為的特徵值為 1=2，2=2 和和 3=1。3.相似轉換：以相似轉換：以 x(t)=T(t)轉換可得到轉換可得到 A 和和 B 的的 JCF，其中，其中(5-235)(5-236)因為因為 的最後一列對應於特徵值的最後一列對應於特徵值 3 的的喬頓喬頓方塊，其中的元素值為零。所以轉換後方塊，其中的元素值為零。所以轉換後為不可控制的。為不可控制的。狀態變數狀態變數由由(5-235)式中的轉換矩陣式中的轉換矩陣 T 可知可知 x2=，其意為原系統的，其意為原系統的 x2 是不可控制的。是不可控制的。喬頓喬頓喬頓喬頓方塊內方塊內方塊內方塊內 1 1 前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。2024/4/28狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 線性系統的觀測性線性系統的觀測性線性系統的觀測性線性系統的觀測性 1.就本質上言，若系統的每一狀態變數都會影響到某些輸出，則系統為完全可觀測的。就本質上言，若系統的每一狀態變數都會影響到某些輸出，則系統為完全可觀測的。換言之，可由量測輸入和輸出以獲換言之，可由量測輸入和輸出以獲得關於狀態變數的資料。得關於狀態變數的資料。2.若任一狀態不能由測量輸出來觀測，則稱此狀態為不可觀測的，而稱系統為非完全若任一狀態不能由測量輸出來觀測，則稱此狀態為不可觀測的，而稱系統為非完全 可觀測的或簡稱不可觀測的。可觀測的或簡稱不可觀測的。3.圖圖圖圖 5-175-17 所示的線性系統狀態圖，其中狀態所示的線性系統狀態圖，其中狀態 x2 並沒有以任何方法連接至輸出並沒有以任何方法連接至輸出 y(t)。一旦我們測量一旦我們測量 y(t)，就可觀測，就可觀測 x1(t)，因為，因為 x1(t)=y(t)。但狀態。但狀態 x2 並不能由並不能由 y(t)觀觀 測出任何資料。因此，系統為不可觀測的。測出任何資料。因此，系統為不可觀測的。圖圖圖圖 5-17 5-17 不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖 觀測性的定義觀測性的定義觀測性的定義觀測性的定義 1.線性非時變系統動態方程式：線性非時變系統動態方程式：(5-226)(5-227)2024/4/29狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER2.如果已知任一輸入如果已知任一輸入 u(t)，存在一個有限時間，存在一個有限時間 tf t0，使得我們依據在，使得我們依據在 t0 t tf 的的 u(t)，及，及 A，B，C 和和 D 矩陣，以及在矩陣，以及在 t0 t tf 的輸出的輸出 y(t)即足以決定即足以決定 x(t0)，我們稱此，我們稱此 x(t0)狀態為可觀測的。狀態為可觀測的。觀測性的條件和系統的係數矩陣觀測性的條件和系統的係數矩陣 A 和和 C 有關有關 定理定理定理定理 5-4 5-4 以以(5-226)式和式和(5-227)式的動態方程式所描述的系統若為完全可觀測的，則下列式的動態方程式所描述的系統若為完全可觀測的，則下列 n np 觀測矩陣的秩為觀測矩陣的秩為 n 是其充要條件是其充要條件(5-237)此條件也稱為此條件也稱為 A，C 對為可觀測的對為可觀測的 若系統僅有一個輸出，若系統僅有一個輸出，C 為為 1 n 矩陣；則矩陣；則 V 為為 n n 方矩陣。若方矩陣。若 V 為非奇異的，則系統為完全可觀測。為非奇異的，則系統為完全可觀測。觀測性的其它測試法觀測性的其它測試法觀測性的其它測試法觀測性的其它測試法 定理定理定理定理 5-5 5-5 對於動態方程式對於動態方程式(5-226)式和式和(5-227)式所描述的單輸入單輸出式所描述的單輸入單輸出(SISO)系統系統(即即 r=1 與與 p=1)，若，若 A 和和 C 是是 OCF 或可用相似轉換變成或可用相似轉換變成 OCF，則，則 A，C 為完全可觀測的。為完全可觀測的。2024/4/210狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 定理定理定理定理 5-6 5-6 對於動態方程式對於動態方程式(5-226)式和式和(5-227)式所描述的系統，若式所描述的系統，若 A 是是 DCF 或或 JCF。且對。且對應於每一個應於每一個喬頓喬頓方塊第一列之方塊第一列之 C 的行，其所有元素皆不為零，則的行，其所有元素皆不為零，則 A，C 為完全可為完全可觀測的。觀測的。若系統的特徵值皆互不相同，亦即若系統的特徵值皆互不相同，亦即若系統的特徵值皆互不相同，亦即若系統的特徵值皆互不相同，亦即 A A 為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何 C C 的一行其元素全為零。的一行其元素全為零。的一行其元素全為零。的一行其元素全為零。例題例題例題例題 5-215-21 考慮圖考慮圖 5-17 中的系統，其早先被定義為不可觀測的。以中的系統，其早先被定義為不可觀測的。以(5-226)式式 和和(5-227)式的形式來表示系統的動態方程式，而有式的形式來表示系統的動態方程式，而有(5-238)試問此系統是否具有可觀測性？試問此系統是否具有可觀測性？圖圖圖圖 5-17 5-17 不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖不可觀測系統的狀態圖 2024/4/211狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 1.觀測性矩陣：觀測性矩陣：(5-239)它是奇異的。因此它是奇異的。因此 A，C 為不可觀測的。為不可觀測的。2.因因為為 A 為為 DCF 且且 C的第二行為零，所以狀態的第二行為零，所以狀態 x2(t)為不可觀測的。為不可觀測的。控制性，觀測性和轉移函數之間的關係控制性，觀測性和轉移函數之間的關係控制性，觀測性和轉移函數之間的關係控制性，觀測性和轉移函數之間的關係 定理定理定理定理 5-7 5-7 如果一個系統輸入如果一個系統輸入如果一個系統輸入如果一個系統輸入-輸出之間的轉移函數有極點輸出之間的轉移函數有極點輸出之間的轉移函數有極點輸出之間的轉移函數有極點-零點對消，則這個系統不是不可控制就零點對消，則這個系統不是不可控制就零點對消，則這個系統不是不可控制就零點對消，則這個系統不是不可控制就是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉移函數沒有極點移函數沒有極點移函數沒有極點移函數沒有極點-零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點-零點對消，則無論是如何導出狀態變零點對消，則無論是如何導出狀態變零點對消，則無論是如何導出狀態變零點對消，則無論是如何導出狀態變 數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。Ex.某一某一SISO 系統，其動態方程式的係數矩陣如下所示系統，其動態方程式的係數矩陣如下所示：(5-240)試問此系統是否具有可觀測性或可控制性？試問此系統是否具有可觀測性或可控制性？2024/4/212狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER1.因為因為 A 是對角矩陣，其四個狀態變數的控制性與觀測性的狀況可用目視法決定如下是對角矩陣，其四個狀態變數的控制性與觀測性的狀況可用目視法決定如下 x1：可控制且可觀測的：可控制且可觀測的(C 且且 O)x2：可控制但不可觀測的：可控制但不可觀測的(C 但但 UO)x3：不可控制但可觀測的：不可控制但可觀測的(UC 但但 O)x4：不可控制且不可觀測的：不可控制且不可觀測的(UC 且且 UO)2.代表系統代表系統 DCF 分解的系統方塊圖：分解的系統方塊圖：圖圖圖圖 5-185-18。3.此可控制且可觀測的系統，其轉移函數為此可控制且可觀測的系統，其轉移函數為(5-241)而對應於而對應於(5-240)式所描述的動態特性之轉移函數為式所描述的動態特性之轉移函數為(5-242)有三個極點有三個極點有三個極點有三個極點-零點對消。零點對消。零點對消。零點對消。這個單純的例子在說明這個單純的例子在說明這個單純的例子在說明這個單純的例子在說明沒有極點沒有極點沒有極點沒有極點-零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一可控制且可觀測系統的成分。可控制且可觀測系統的成分。可控制且可觀測系統的成分。可控制且可觀測系統的成分。2024/4/213狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-18 (5-240)5-18 (5-240)式所描式所描式所描式所描述系統的方塊圖，它顯示述系統的方塊圖，它顯示述系統的方塊圖，它顯示述系統的方塊圖，它顯示了系統可控制、不可控制、了系統可控制、不可控制、了系統可控制、不可控制、了系統可控制、不可控制、可觀測及不可觀測的成分可觀測及不可觀測的成分可觀測及不可觀測的成分可觀測及不可觀測的成分 2024/4/214狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 例題例題例題例題 5-225-22 試考慮轉移函數：試考慮轉移函數：(5-243)試問此轉移函數所代表的系統是否具有可觀測性或可控制性？試問此轉移函數所代表的系統是否具有可觀測性或可控制性？(5-243)式可分解成式可分解成 CCF 和和 OCF 如下：如下：AA CCF CCF:(5-244)1.因為可以找出因為可以找出 CCF 轉換，所以轉換，所以 CCF 的的 A，B 是可控制的。是可控制的。2.觀測性矩陣：觀測性矩陣：(5-245)它是奇異的，所以它是奇異的，所以 CCF 的的 A，C 是不可觀測的。是不可觀測的。BB OCF OCF:(5-246)1.因為可以做出因為可以做出 OCF 轉換，所以轉換，所以 OCF 的的 A，C 是可觀測的。是可觀測的。2.控制性矩陣：控制性矩陣：(5-247)它是奇異的，所以它是奇異的，所以 OCF 的的 A，B 為不可控制的。為不可控制的。2024/4/215狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 結論結論結論結論 給定一個以轉移函數建模的系統，該系統的控制性與觀測性的狀況視其狀態給定一個以轉移函數建模的系統，該系統的控制性與觀測性的狀況視其狀態給定一個以轉移函數建模的系統，該系統的控制性與觀測性的狀況視其狀態給定一個以轉移函數建模的系統，該系統的控制性與觀測性的狀況視其狀態 變數如何定義而定。變數如何定義而定。變數如何定義而定。變數如何定義而定。控制性與觀測性的不變定理控制性與觀測性的不變定理控制性與觀測性的不變定理控制性與觀測性的不變定理 定理定理定理定理 5-8 5-8 相似轉換的不變定理相似轉換的不變定理相似轉換的不變定理相似轉換的不變定理 1.1.系統的動態方程式：系統的動態方程式：系統的動態方程式：系統的動態方程式：2.相似轉換相似轉換 x(t)=P(t)P 為非奇異的為非奇異的 動態方程式轉成動態方程式轉成(5-248)(5-249)其中其中(5-250)的控制性與的控制性與的觀測性不受轉換的影響。的觀測性不受轉換的影響。在相似轉換之下，控制性與在相似轉換之下，控制性與觀測性可被保存下來。觀測性可被保存下來。2024/4/216狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 定理定理定理定理5-95-9 具有狀態回授之閉迴路系統的控制性定理具有狀態回授之閉迴路系統的控制性定理具有狀態回授之閉迴路系統的控制性定理具有狀態回授之閉迴路系統的控制性定理 如果開迴路系統如果開迴路系統(5-251)為完全狀態可控制，則經由狀態回授為完全狀態可控制，則經由狀態回授(5-252)所得的閉迴路系統其狀態方程式變成所得的閉迴路系統其狀態方程式變成(5-253)也是完全可控制。也是完全可控制。反之，若反之，若 A，B 為不可控制，則不可能有為不可控制，則不可能有任何任何 K 存在使得存在使得 A BK，B 為可控制。為可控制。換句話說，若開迴路系統為不可控制，則經換句話說，若開迴路系統為不可控制，則經換句話說，若開迴路系統為不可控制，則經換句話說，若開迴路系統為不可控制，則經 由狀態回授不可能使其成為可控制。由狀態回授不可能使其成為可控制。由狀態回授不可能使其成為可控制。由狀態回授不可能使其成為可控制。1.A，B 可控制的意義是指在區間可控制的意義是指在區間 t0，tf 中存在有一控制中存在有一控制 u(t)，使起始狀態，使起始狀態 x(t0)能能 在有限時間區間在有限時間區間 tf t0 內被驅至最終狀內被驅至最終狀x(tf)。2.將將(5-252)式寫成式寫成(5-254)此即閉迴路系統的控制。此即閉迴路系統的控制。3.若存在有一若存在有一 u(t)可在有限時間內將可在有限時間內將 x(t0)驅至任意的驅至任意的 x(tf)，則，則(5-254)式意指式意指 r(t)也也 存在，而閉迴路系統也是可控制。存在，而閉迴路系統也是可控制。4.若若 A，B 為不可控制，意指不可能有為不可控制，意指不可能有 u(t)存在使得在有限時間內可將存在使得在有限時間內可將 x(t0)驅至任驅至任 意的意的 x(tf)，則我們不可能找到一可驅動，則我們不可能找到一可驅動 x(t)之之 r(t)，否則，我們可如，否則，我們可如(5-252)式般設式般設 定定 u(t)來控制這個閉迴路系統。來控制這個閉迴路系統。2024/4/217狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 定理定理定理定理 5-10 5-10 具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性定理具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性定理具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性定理具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性定理 若一個開迴路系統為可控制及可觀測，則若一個開迴路系統為可控制及可觀測，則(5-254)式形式的狀態回授會破壞觀測性。換式形式的狀態回授會破壞觀測性。換句話說，開迴路系統的觀測性和具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性毫不相干。句話說，開迴路系統的觀測性和具有狀態回授之閉迴路系統的觀測性毫不相干。例題例題例題例題 5-23 5-23 令一線性系統的係數矩陣為令一線性系統的係數矩陣為(5-255)利用狀態回授，試證明利用狀態回授，試證明 A，B 為可控制的，而為可控制的，而 A，C 為可觀測的。為可觀測的。1.令狀態回授定義為令狀態回授定義為(5-256)其中其中(5-257)2.閉迴路系統是以下列狀態方程式來描述閉迴路系統是以下列狀態方程式來描述(5-258)(5-259)3.閉迴路系統的觀測性矩陣：閉迴路系統的觀測性矩陣：(5-260)2024/4/218狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER4.V 的行列式：的行列式：(5-261)因此，若因此，若 k1 和和 k2 的選擇是使的選擇是使 =0，這個閉迴路系統則成為不可控制的。，這個閉迴路系統則成為不可控制的。最後的說明例子最後的說明例子最後的說明例子最後的說明例子磁浮球系統磁浮球系統磁浮球系統磁浮球系統 1.考慮考慮圖圖圖圖 5-195-19 中的磁浮球系統。此系統的目的在於調制電磁鐵的電流，使得球能懸浮中的磁浮球系統。此系統的目的在於調制電磁鐵的電流，使得球能懸浮 在距電磁鐵末端一定距離之處。在距電磁鐵末端一定距離之處。2.系統的動態方程式：系統的動態方程式：(5-262)(5-263)(5-262)式為非線性的式為非線性的 3.系統的變數與參數如下系統的變數與參數如下 v(t)=輸入電壓輸入電壓(V)x(t)=球的位置球的位置(m)i(t)=繞組電流繞組電流(A)k=比例常數比例常數=1.0R=繞組電阻繞組電阻=1 L=繞組電感繞組電感=0.01 HM =球的質量球的質量=1.0 kgg=重力加速度重力加速度=9.8 m/sec2 4.狀態變數定義為狀態變數定義為 2024/4/219狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-19 5-19 球懸浮系統球懸浮系統球懸浮系統球懸浮系統 (5-264)5.狀態方程式：狀態方程式：(5-265)(5-266)(5-267)6.線性化線性化 參考平衡點參考平衡點 x1(t)=x(t)=0.5 m，將這些方程，將這些方程式線性化。在代入參數值後，線性化後的線性式線性化。在代入參數值後，線性化後的線性方程式為方程式為(5-268)x(t)與與 v(t)分別代表線性化系統分別代表線性化系統的狀態向量與輸入電壓。的狀態向量與輸入電壓。7.係係數矩陣：數矩陣：2024/4/220狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER(5-269)8.分析：分析：以下進行的所有計算，皆可以下進行的所有計算，皆可用計算機程式，如用計算機程式，如 MATLAB 工具盒來執行。工具盒來執行。1)特性方程式：特性方程式：(5-270)2)特徵值：特徵值：A*的特徵值，或特性方程式的根為的特徵值，或特性方程式的根為 3)狀態變換矩陣狀態變換矩陣 A*的狀態變換矩陣的狀態變換矩陣(5-271)或或(5-272)2024/4/221狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER狀態變換矩陣變成狀態變換矩陣變成(5-273)進行部份分進行部份分式展開並取式展開並取反反拉氏拉氏轉換轉換 因為因為(5-273)式的最後一項有正指數，所以式的最後一項有正指數，所以 (t)的響應隨時間而增加，即系統為不穩的響應隨時間而增加，即系統為不穩定的。定的。4)轉移函數：轉移函數：令磁浮球的位置令磁浮球的位置 x(t)當做輸出當做輸出 y(t)，v(t)為輸入為輸入(5-274)9.控制性：控制性：1)控制性矩陣為控制性矩陣為(5-275)2024/4/222狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER2)因為因為 S 的秩為的秩為 3，所以系統為完全可控制的。，所以系統為完全可控制的。10.觀測性觀測性 1)為了要做狀態回授控制為了要做狀態回授控制(於第十章討論於第十章討論)，完整的控制器須要回授三個狀態變數，完整的控制器須要回授三個狀態變數 x1，x2 和和 x3。2)討論：討論：a.y(t)=球的位置球的位置=x(t)C*=1 0 0 觀測性矩陣：觀測性矩陣：(5-276)秩為秩為秩為秩為 3 3，所以系統為完全可觀測的。，所以系統為完全可觀測的。，所以系統為完全可觀測的。，所以系統為完全可觀測的。b.y(t)=球的速度球的速度=dx(t)/dtC*=0 1 0 觀測性矩陣：觀測性矩陣：(5-277)秩為秩為 3，所以系統，所以系統為完全可觀測的。為完全可觀測的。2024/4/223狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTERc.y(t)=線圈電流線圈電流=i(t)C*=0 0 1 觀測性矩陣：觀測性矩陣：(5-278)秩為秩為 1，因此系統為不可觀測的。，因此系統為不可觀測的。若選擇電流若選擇電流若選擇電流若選擇電流 i i(t t)為可量測的輸出，則我們無法由所量測的資料來重建狀態變數。為可量測的輸出，則我們無法由所量測的資料來重建狀態變數。為可量測的輸出，則我們無法由所量測的資料來重建狀態變數。為可量測的輸出，則我們無法由所量測的資料來重建狀態變數。MATLAB MATLAB 工具與個案研究工具與個案研究工具與個案研究工具與個案研究 MATLAB MATLAB 工具可讓使用者來完成下列的工作：工具可讓使用者來完成下列的工作：工具可讓使用者來完成下列的工作：工具可讓使用者來完成下列的工作：輸入狀態矩陣。輸入狀態矩陣。求取系統的特性多項式、特徵值與特徵向量。求取系統的特性多項式、特徵值與特徵向量。求取相似變換矩陣。求取相似變換矩陣。檢查系統控制性與觀測性性質。檢查系統控制性與觀測性性質。求得步階，脈衝，及自然響應求得步階，脈衝，及自然響應(即針對初值條件的響應即針對初值條件的響應)，以及針對任何時間函數的，以及針對任何時間函數的 時間響應。時間響應。利用利用 MATLAB 符號工具便可以用反符號工具便可以用反拉氏拉氏命令來求出狀態變換矩陣。命令來求出狀態變換矩陣。將轉移函數轉換成狀態空間形式，反之亦然。將轉移函數轉換成狀態空間形式，反之亦然。2024/4/224狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 狀態空間分析工具的描述與用法狀態空間分析工具的描述與用法狀態空間分析工具的描述與用法狀態空間分析工具的描述與用法 1.狀態空間分析工具狀態空間分析工具(State-Space Analysis Tool,statetoolstatetool)是由一些是由一些 m-檔及可用檔及可用 來分析狀態空間的人機界面來分析狀態空間的人機界面(GUI)組成。組成。2.由由 MATLAB 命令列鍵入命令列鍵入 statetool statetool 或者從自動控制系統的啟動平台或者從自動控制系統的啟動平台(ACSYSACSYS)點選點選 適當按鍵均可呼叫適當按鍵均可呼叫 statetoolstatetool。Ex.考慮考慮 5-14 節的例題。節的例題。1.點選輸入參數點選輸入參數(Enter Parameters)按鍵，如按鍵，如圖圖圖圖 5-205-20 所示。所示。先輸入下列的係數矩陣先輸入下列的係數矩陣(5-279)2.圖圖圖圖 5-215-21 所示的狀態空間輸入視窗，點選適當的按鍵來輸入各係數矩陣。所示的狀態空間輸入視窗，點選適當的按鍵來輸入各係數矩陣。1)初始條件的預設值均定為零初始條件的預設值均定為零 2)矩陣的列元素可用空格隔開或逗號間隔，而每一列則是用分號加以區分矩陣的列元素可用空格隔開或逗號間隔，而每一列則是用分號加以區分 3)輸入矩陣輸入矩陣 A 的方式：的方式：4)輸輸入矩陣入矩陣 B 的方式：的方式：圖圖圖圖 5-225-22 2024/4/225狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-20 5-20 狀態空間分析視窗狀態空間分析視窗狀態空間分析視窗狀態空間分析視窗 2024/4/226狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-21 5-21 狀態空間輸入視窗狀態空間輸入視窗狀態空間輸入視窗狀態空間輸入視窗 2024/4/227狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER 本例的本例的 D 矩陣矩陣 設定為零設定為零(為預為預 設值設值)完成所有矩陣完成所有矩陣 的輸入，按下的輸入，按下 作用鍵便作用鍵便 可返回主視窗。可返回主視窗。3.為了求取為了求取(5-270)式的特性方程式的特性方程 式，特徵值及特式，特徵值及特 徵向量，可點選徵向量，可點選 A的特徵值與特的特徵值與特 徵向量徵向量 (Eigenvals&vects of A)鍵。鍵。圖圖圖圖 5-23 5-23 2024/4/228狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-23 5-23 在按下在按下在按下在按下A A的特徵值與特徵向量鍵後的狀態空間工具視窗的特徵值與特徵向量鍵後的狀態空間工具視窗的特徵值與特徵向量鍵後的狀態空間工具視窗的特徵值與特徵向量鍵後的狀態空間工具視窗 為了得出詳解，為了得出詳解，必須回到必須回到 MATLAB 命令視窗。命令視窗。4.A矩陣，矩陣，A的特徵的特徵 值，與值，與 A 的特徵的特徵 向量均示於向量均示於圖圖圖圖5-5-24 24。注意，特徵值的矩注意，特徵值的矩陣表示式等同於陣表示式等同於 A 的對角典型式的對角典型式(DCF)，而代表特，而代表特徵向量的矩陣徵向量的矩陣 T 則則呈呈 5-8-4 節所討論節所討論的的 DCF 轉換矩陣轉換矩陣形式。形式。2024/4/229狀狀 態態 變變 數數 分分 析析 CHAPTER圖圖圖圖 5-24 5-24 在按下在按下在按下在按下A A的特徵值與特徵向量的特徵值與特徵向量的特徵值與特徵向量的特徵值與特徵向量鍵後，鍵後，鍵後，鍵後，MATLABMATLAB命令視窗的顯示結果命令視窗的顯示結果命令視窗的顯示結果命令視窗的顯示結果 為了求出狀態變換矩陣為了求出狀態變換矩陣 (t)，必須使用，必須使用 tfsym tfsym 工具，此工具將在工具，此工具將在 5-15-2 節中節中討論。討論。(5-279)(5-279)式內式內式內式內 C C 的選取方式可使球位置的選取方式可使球位置的選取方式可使球位置的選取方式可使球位置為輸出為輸出為輸出為輸出 y y(t t)，而輸入為，而輸入為，而輸入為，而輸入為 v v(t t)。5.點選狀態空間計算點選狀態空間計算(State-Space Calculations)鍵便可得出系統的輸入鍵便可得出系統的輸入-輸出轉移函數。輸出轉移函數。出現在出現在 MATLAB 命令視窗的最後結命令視窗的最後結果便是同時以多項式及因式分解形式果便是同時以多項式及因式分解形式表示的轉移函數