杨顺亮多边形的内角和教案.doc

11．3 多边形的内角和

红旗区小店镇初级中学 杨顺亮
教学目标：
1．了解多边形的内角和与外角和。
2．能通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会进行有关的计算。
3. 理解多边形的外角和并会进行简单的运算。
4. 经历多边形内角和与外角和的探究过程，培养学生的观察能力与探究能力。
教学重点：
1、多边形的内角和定理的推导。
2、多边形的外角和。
教学难点：
多边形的内角和定理的推导及运用。
教学过程：
一、以旧探新
1．三角形的内角和是（ ）。
2．正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和是（ ），长方形的内角和是（ ）。
3. 任意一个四边形的内角和为多少度呢？n边形的内角和又是多少度呢?
二、探究新知
【 活动1 】
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果。
从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识。
【 活动2 】
1．你能借助三角形的内角和定理证明你的结论吗？
2. 从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？
3. 它们将四边形分成几个三角形？
4. 那么四边形的内角和等于多少度？

【 活动3 】
1. 你能用同样方法推出五边形的内角和吗？试说出你的推理过程。
2. 你能用同样方法推出六边形的内角和吗？试说出你的推理过程。
3. 那么， n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n一2）·180°。
【 活动4 】
刚才我们连接多边形的对角线，是从一个顶点出发与其他顶点相连，将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，进而得出多边形的内角和。
那么，我们能否在平面内找一点，不与顶点重合，再与多边形顶点连接，有几种情况呢？
然后将多边形转化为三角形，利用三角形的内角和，来求多边形内角和呢?下面，我们以五边形为例来研究多边形的内角和，以小组为单位，画图思考并讨论，最后推选一名代表发言。

由同学动手并推导与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去。∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。

如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°。
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°。
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°。
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法三：在五边形ABCDE外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得四个三角形．其五个三角形内角和为4×180°，而五边形外部的三角形的三个内交不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为4×180°一1×180°＝3×180°=540°。
【 活动4 】小试身手
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°。求：∠B与∠D的关系。
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
【 活动7 】
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角。
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值。
分析：1、∠1与它相邻的内角有什么关系？其它五个角呢？
2、此六边形的内角和与外交和之间有什么联系呢？
关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°。
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。
如果把六边形横成n边形。（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°。即
多边形的外角和等于360°。
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关。
【 活动8 】
如下图，小芳从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，她的身体转过多少度？

在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。
三、课堂练习
（一）、判断题
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加。（ ）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加。（ ）
3．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形。 （ ）
（二）、填空题
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形。
2．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形为 边形。
3．内角和等于外角和的多边形是 边形。
4．内角和为1440°的多边形是 。
5．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= 。
（三）、选择题
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
3．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
4.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
（四）、解答题
已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数。
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容。
六、课后作业
课本P90第4、5、6题。
备选题：
小玲从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，她的身体转过多少度？