15试卷综合分析.doc

上海应用技术学院2014—2015学年第二学期
《高等数学（工）2》期末试卷A（综合分析）
一、解析几何
知识概要：
一、向量
，则

注：
二、直线与平面
平面方程
（1）点法式：
其中为平面法向量，为平面上一点。
（2）一般式：，其中为平面法向量。
(3) 三点式：平面过三点 ，则平面方程为：
法向量
平面方程为：
直线方程：
（1）对称式（标准式、点向式）：
其中直线的方向向量为，为直线上一点。
（2）两点式：
（3）参数式：
（4）一般式：，其方向向量
考试题：
1．已知点，与，则的面积为 ．
A． B． C． D．
12.已知直线与平面平行，则．
17．求点在直线上的投影．
关联考题
11．曲面在点处的切平面方程为.
16．设为从到的直线段，则．
13．在点处沿方向的方向导数为．
要提醒的题目
例1、求过点A（1，2，3）和直线 的平面方程。
解：平面过直线和点A（1，2，3）
所以 平面过点（1，0，-1）和（3，1，-2）和点A（1，2，3）
(分别令 )
所以 平面方程为 （化简）
例2：求过点A（1，2，3）和B（1，-1，2）且平行于直线的方程。
例3：点A（1，-1，3）关于yoz面对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为
它到xoz面的距离为 它到x轴的距离为
多元函数微分学
知识概要
偏导数与全微分
求导法则
复合函数求导
隐函数求导 若由决定，则
（或两边同时对求导）
若由决定，则
方向导数 函数在点在方向的方向导数为

梯度 函数在点梯度
极值 求函数的极值
1） 求驻点， 2）求，
2） 判定 若，为极值点，A>0为极小值；A<0为极大值。
几何应用
1、 空间曲线在处的切线为
法平面为
2、 空间曲面在处的切平面为

法线为
考试题目
2．设函数，则 ．
A． B． C． D．
3．设，则 ．
A． B．
C． D．
4．对于函数，则下列结论正确的是 ．
A．在处偏导存在 且 B．在处连续
C．在处可微 D．在处偏导连续
5．二元函数 ．
A．有极大值 B．有极小值 C．无驻点 D． 有驻点但无极值
11．曲面在点处的切平面方程为.
13．在点处沿方向的方向导数为．
18．设，其中可微，求．
19．是由方程所确定的隐函数，求．
重积分问题
知识概要
1、定义：

2、计算 先画D，确定X-型或Y-型，或极坐标R型，然后计算（当一型不能计算时换另一型）
1、D为X-型

2、D为Y-型

3、极坐标 常见的区域为

应用 体积
表面积
三重积分
若 则
考试题目
6． ．
A． B．
C． 　　 D．
7．设是由平面，，以及平面所围成的有界闭区域，且在上连续，则 ．
A． B．
C． D．
14．=．
15．交换积分次序．
20．计算二重积分，其中是由直线所围成的有界闭区域．
22．计算三重积分，其中是由圆柱面及二平面所围成的有界闭区域．
25．求由三个平面所围的柱体被二平面截得的立体的体积．
曲线积分
知识概要
一、对弧长的曲线积分
解法：如图：
B
A
参数方程

若
则 原式=
对弧长的曲线积分
若
则 原式=
常见的参数方程为：

2
2

特别的：
二、对坐标的曲线积分
计算方法一： 若 起点处，终点处 则
原式=
对坐标的曲线积分
起点处，终点处 则
原式=
计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

三、格林公式 其中L为D的正向边界
特别地：当时，积分与路径无关，
且
全微分：是某个函数的全微分
且 （也可以用积分做）
考试题目
8．其中为连接及二点的直线段，则 ．
A． B． C． D．
16．设为从到的直线段，则．
21．计算曲线积分，其中是由点到点的曲线段．
曲面积分
知识概要
四、对面积的曲面积分
1、 当曲面为
例：设为部分抛物面：，，则曲面积分（ ）．
A． B． C． D．
五、对坐标的曲面积分
与X轴正向的夹角为锐角，则 原式=，否则为负；
计算方法：
=
注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。
六、高斯公式
其中是的边界曲面的外侧。
注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。
考试题目
9．设曲面：，，则曲面积分 ．
A． B． C． D．
10．设为上半球面的上侧，则 ．
A． B． C． D．
23．计算，其中是球面的外侧．
提醒内容：
例、设曲面：，，求曲面积分