直线与圆锥曲线习题答案.doc

直线与圆锥曲线
1．已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解析：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。
由题意知：与联立消去y得：。
设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
2．中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程
解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得
把直线方程代入椭圆方程整理得：。
设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：
，又AB的中点横坐标为，
，与方程联立可解出
故所求椭圆的方程为：。
3．已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
解析：设椭圆C的方程为，
由题意a=3，c=2，于是b=1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
由得10x2＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，
故线段AB的中点坐标为（）．
4．（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和。
（2）把代入整理得：……（1）
当时，。
由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。
若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或。
故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。
5．（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程
解析：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则，
∴，
且，
∴，

得或。
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即， 即（图象的一部分）
6．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。
解析：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则，
代入得
∴即得，
∴，即得到。
7．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解析：设与抛物线交于
由距离公式|AB|==
由

从而由于p>0，解得
8．直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.[
解法一：设直线y=x－1与抛物线y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）。
由题意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。
∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。
解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1，
=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。
故中点为P（3，2）。
9.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
10．已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=　(　　)
Ａ. 　　Ｂ. Ｃ. 　　Ｄ.