《概率论与数理统计》(B卷答案).doc

期末考试《概率论与数理统计》（B卷答案）

适用专业：

班 级：

考试形式：
闭 卷
考场要求：
笔试
考试时间：
120分钟
出 卷 人：

题号
一
二
三
四
总分
得分

得 分
判卷人
一、填空题（每小题3分，共15分）

1．已知，且与相互独立，则_0.5_.
2．设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则.
3．设，且，则0.4.
4．已知，，且和相互独立，则__6_.
5．设随机变量数学期望，方差，则由切贝谢夫不等式，__0.975_.
得 分
判卷人
二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是【 C 】
（A）0.125 （B）0.25
（C）0.375 （D）0.5
2．有个球，随机地放在个盒子中（），则某指定的个盒子中各有一球的概率为【 A 】
（A） （B）
（C） （D）
3．设），且，，则分别为【 B 】
（A） （B）
（C） （D）
4．掷一颗骰子600次，求“一点”出现次数的均值为【 B 】
（A）50 （B）100
（C）120 （D）150
5．设两个随机变量，相互独立且同分布，，则下列各式子中成立的是【 A 】
（A） （B）
（C） （D）
得 分
判卷人
三、计算题（每小题5分，共30分）

1．设连续型随机变量的概率密度函数为

又知，求常数的值。
解：因为 （1） （2分）
（2） （3分）
（3） （4分）
因为（2）=2（3）
即：=2（）
又由（1）解得 （5分）
2．设服从参数为的指数分布，求的概率密度。
解：指数分布密度函数 （ （2分）
因为，而是严格单调增的，其反函数也是严格单调增的，且有连续导数， （3分）
所以Y的密度函数为：
（5分）
3．甲、乙两人独立地各进行两次射击的二项分布,，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求和的联合概率分布。
解: 服从参数的二项分布,服从参数的二项分布,它们的概率分布分别为:

0
1
2

0.64
0.32
0.04

0
1
2

0.25
0.5
0.25
…………………………………………（2分）
由和的独立性知他们的联合概率分布为:
Y
0
1
2
0
0.16
0.08
0.01
1
0.32
0.16
0.02
2
0.16
0.08
0.01
……………………………………（5分）
4．一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数的期望和方差。
解:P（X=0)=(0.8)(0.7)(0.6)=0.336
P(X=1)=(0.8)(0.7)(0.4)+(0.8)(0.3)(0.6)+(0.2)(0.7)(0.6)=0.452
P(X=2)=(0.8)(0.3)(0.4)+(0.2)(0.3)(0.6)+(0.2)(0.7)(0.4)=0.188
P(X=3)=(0.2)(0.3)(0.4)=0.024………………（2分）
E(X)=(0)(0.336)+(1)(0.452)+(2)(0.188)+(3)(0.024)=0.9……（3分）
E(X2)=(0)(0.336)+(1)(0.452)+(4)(0.188)+(9)(0.024)=1.42
D(X)=1.42-(0.9)(0.9)=0.61 ………………（5分）
5．设随机变量服从正态分布，计算概率。
解： （3分）
（5分）
6．设随机变量具有概率密度

求
解： （2分）
（3分）
（5分）
得 分
判卷人
四、应用题（每小题10分，共40分）

1．设一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次，（1）求第二次才取到新球的概率；
（2）发现其中之一是新球，求另一个也是新球的概率。
解：（1）设是第i次取到新球
（5分）
（2）设表示至少取得一个新球,表示两个都是新球,则
(10分)
2．仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2%；乙厂生产的为2000支，次品率为3%；丙厂生产的为3000支，次品率为4%。（1）求这些灯管的次品率；
（2）如果从中随机抽取一支，发现是次品，问该次品是甲厂生产的概率为多少？
解：设，，分别表示抽得的灯管来自甲、乙、丙三厂，表示抽得的灯管为次品，于是
，，
，， （2分）
（1）由全概率公式得到：
（6分）
（2）由贝叶斯公式得到

即该次品是甲厂的概率为10%。 （10分）
3．某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率。
（注：）
解: 设机器出故障的台数为,则

经过计算有
由中心极限定理，有

4．某厂生产某产品1000件，其价格为元/件，其使用寿命（单位：天）的分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件。试由中心极限定理计算（1）若保费元/件，保险公司亏本的概率？
（2）试确定保费，使保险公司亏本的概率不超过1%.
（注：，，，）
解：的分布函数 ，
于是
记
则，，
由中心极限定理，，
于是
（1） 若保费元/件，则

（2）若保费为，则“保险公司亏本”=

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