《常微分方程》模拟考试试卷一.doc

《常微分方程》模拟考试试卷一
一 单项选择题(每小题2分, 共40分)
1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有(    )个. 
       (1)      (2)
       (3)           (4)
              A. 1         B. 2         C. 3          D. 4
2. 为确定一个一般的n阶微分方程 =0的一个特解, 通常应给出
的初始条件是(           ).
       A. 当 时,
       B. 当 时,
       C. 当 时,
       D. 当 时,
3. 微分方程 的一个解是(      ). 
       A.            B.        C.           D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是(         ). 
   A.      B.       C.     D.
5. 若方程 是恰当方程, 则 （          ）. 
       A.            B.          C.            D.
6. 若方程 有只与y有关的积分因子 , 则可取 为(  ). A.              B.  
C.                 D.
7. 可用变换(        )将伯努利方程 化为线性方程. 
       A.            B.         C.          D.
8. 是满足方程 和初始条件(         )的唯一解.
       A.                  B.
       C.    D.
9. 设 是n阶齐线性方程 的解,其中 是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是(         ).
A.      若 的伏朗斯基行列式为零, 则 线性无关
B.      若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性相关
C.      若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性无关
D.     由 的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定 的线性相关性
10. 设线性无关的函数 和 是方程 的解,则方程
的通解是(              )
A.         ( 是任意常数, 下同) 
B.     
C.      D.    
11. 三阶系数齐线性方程 的特征根是(            ).
       A. 0, 1, 1    B. 0, 1, -1    C. 1,   D. 1,
12. 方程 的基本解组是(            ).
       A.     B.     
C.        D.  
13. 方程 的待定特解可取如下(          )的形式: 
A.     B.     C.    D.
14. 已知 是某一三阶齐线性方程的解, 则 和的伏朗斯基行列式 (           ).
A. 3       B. 2          C. 1       D. 0
15. 可将三阶方程 化为二阶方程的变换为(       ). 
       A.       B.         C.      D.
16. 方程组 满足初始条件 的解为(         ).
       A.        B.         C.      D.
17. n阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有基解矩阵 ,如下叙述中, 正确的是(              ).
A.      的每个列向量是该方程组的解向量且 在某一点 为零
B.      的每个行向量是该方程组的解向量且
C.      的每个列向量是该方程组的解向量且 恒不为零 
D.     的每个行向量是该方程组的解向量且 恒不为零
18. 设A是n阶常数方阵, 是A的一个特征值,  则方程组有解为 ,其中 是(             )
A. 矩阵A的对应于 的特征向量     B. 任意向量
C. 矩阵A任意一个行向量       D. 矩阵A的任意一个列向量
19. n阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有两个基解矩阵 和 ,如下叙述中, 正确的是(              ).
A.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得
B.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得
C.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得
D.     存在非奇异的常数矩阵C, 使得
20. 设 和 都是由方程组 的n个解向量所组成的方阵, 其中 是在 上连续的函数方阵, 是连续的列向量, 则如下断言中正确的为(      ).
A.      必是方程组 的基解矩阵
B.      仍是方程组 的解矩阵
C.      是方程组 的解矩阵
D.     也是方程组 的解矩阵.
二 简答题(每小题3分, 共15分)
21. 写出把方程 化为变量分离方程的变换, 并将变换后的方程进行变量分离.
22. 试写出二阶欧拉方程 的一个基本解组
23. 写出初值问题 的第二次近似解.
24. 函数 和 都是初值问题 的解. 试用解的唯一存在性定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因.
25. 已知三阶方阵 的特征值为1, 1, 2, 对应的特征向量分别为 试写出方程组 的标准基解矩阵(既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵) .
三 计算题(一) (每小题5分, 共15分)
26. 解方程 . 
27. 解方程 . 
28. 求解方程 , 其中 . 
四 计算题(二) (每小题6分, 共18分)
29. 解方程 .  
30. 求方程组 的一个基解矩阵, 其中 . 
31. 求解方程 .
五 应用题 (6分)
32. 求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
六 证明题 (6分)
33. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明:
(i)    和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);
(ii)   和 没有共同的零点;
(iii)  和 没有共同的零点.
常微分方程模拟试题一 参考答案
一 单项选择题(每小题2分, 共40分)
1. C  2. A  3. D   4. D  5. C  6. A  7. B  8. C  9. C   10. A    
11. D  12. B  13. C  14.B  15. A  16. D  17. C  18. A  19. B  20. C
二 简述题(每小题3分, 共15分)
21.   , .
22. .
23. .
24. 不满足利普希茨条件.
25.  .
三 计算题(一) (每小题5分, 共15分)
26. 解: 对应齐方程为 ,易得其通解为: (C为任意常数) . 利用常数变易法: 令 , 则 .
代入原方程整理得 , 积分有 . 原方程的通解为 ,         (C是任意常数)
27. 解: 记 , . 则因 知原方程为恰当方程. 
       将原方程分项组合为
                                                 .                                      
       因而原方程的通解为(C是任意常数)
                                                 .                                                
28. 解: 引入参数 , 则原方程变为 .                                         
       在方程两边对x求导, 得到
                                                 .                                                
       若 , 可得 为解. 否之分离变量并积分可得到:
                                                 .                                                     
       由此可得原方程的参数解(C是任意常数):

四 计算题(二) (每小题6分, 共18分)
29. 解: 令 , 则 . 原方程化为  .
(对于 , 可得 也是原方程的解)分离变量后容易得解: .
利用 , 再次分离变量并积分, 整理可得原方程的通解( 是任意常数):
                            .  
30. 解: . 即A的特征根为
       所对应的特征向量可取为                                                                           
       所对应的特征向量可取为  
       则基解矩阵为
           .
31. 解: 特征方程为 , 特征根为 .
       对应齐方程的通解为 .
       设原方程的特解有形如
       代如原方程可得
               .
       利用对应系数相等可得 , 故 .
       原方程的通解可以表示为( 是任意常数)
               .
五 应用题 (6分)
32. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意
可得如下初值问题:
                                          .
       分离变量, 积分并整理后可得 .
       代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为
                          .
六 证明题 (6分)
33. 证明: 和 的伏朗斯基行列式为

       因 和 是基本解组, 故   . 
       若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即
       最多只能有简单零点. 同理对 有同样的性质, 故(i)得证.
       若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即
       与 无共同零点. 故(ii)得证.
       若存在 , 使得 , 则同样由行列式性质可得 , 矛盾.
即 与 无共同零点. 故(iii)得证.