导学案：圆－切线的性质.doc

第7课时 切线的性质

修改：杨佳容
【学习目标】理解切线的定义和性质，并进行相关的证明或计算.
【学习重点】切线的判定.
【学习过程】
一、学习准备
直线与圆的三种位置关系是：　　　　，　　　　　和　　　　　　　　.
二、教材解读
1．切线的定义
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定）
做一做：
如图1，已知⊙O和半径OA，根据切线的定义，请你作出过点A的圆的切线l.
符号表述： OA是⊙O的半径，若OA⊥l，则直线l是⊙O的切线.
此时，直线与圆有且只有　　　个交点，这个交点A叫做直线与圆的　　 　.
O
·
·
A
图1
O
·
图2
n
l
M

反之： 圆的切线垂直于经过切点的半径. （切线的性质）
符号表述：如图2，直线l是⊙O的切线，M是切点，则OM⊥l .
若直线n与⊙O相切，请你在图2中标出切点Q的位置.
当直线l与圆相切时，过圆心作切线的垂线，则垂足为　　　　 　，圆心O到直线l的距离等于　　　　 　.
2. 切线的判定
例1，如图3，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB = OA，∠ABO = 45°，
求证：直线AB是⊙O的切线.
O
·
·
A
图3
B
分析：要证是切线，必须要找到切点处半径与切线的垂直关系.
证明：

即时练习1：

如图4，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD = ∠B = 30°，边BD交圆于点D.
图4
求证：BD是⊙O 的切线.

3．切线性质的运用
例2，如图5，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过A作AD垂直于过C点的切线，垂足为D，连接AC. 求证：AC平分∠BAD.
A
B
C
O
D
图5
分析：利用切线的性质，我们经常连接圆心和切点，构造垂直关系. 故连结OC，则OC⊥CD，而AD⊥CD，故AD∥OC. ∴∠DAC = ∠ACO ，从而得证. 请你根据以上分析完成证明过程.
证明：

即时练习2：
如图6，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结BC，与⊙O交于D，连AD.
A
B
C
O
D
图6
·
求证：∠B = ∠DAC .

4. 弦切角
圆的切线和圆的弦所构成的夹角，称为弦切角.
如图6中，∠DAC 就是⊙O 的一个弦切角，即时练习2的证明过程，实际上论证了这样一个事实：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. （弦切角定理）
不过，刚才的情形较特殊，圆周角的一边经过了圆心，我们可以证明更一般的情形.
如图7，⊙O中，AB为⊙O的切线，A为切点，AC是弦，D是优弧AC 上一点.
A
B
D
C
·
图7
O
试说明：∠BAC =∠ADC. （提示：如图连结辅助线）

本课时达标检测
一、基础巩固
1. 如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，若AB=1.5cm，BC=2.5cm，则AC的长为 .
2. 如图，AB为半圆O的直径， 直线CD与半圆O相切于点C，连接AC、BC. 若∠DCB =
A
C
B
O
·
3题图
D
A
C
B
O
·
1题图
40°，则∠BAC = .
A
B
C
·
O
2题图
DC

3．如图，AB是⊙O的直径，∠B =∠CAD，证明：AC是⊙O的切线.

二、知识拓展
4. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦AD与切线BC交于点C，且AD = DC，则∠ABD =
度.
A
·
B
C
O
4题图
D
5.如图，已知AB切⊙O 于B，OA交⊙O 于C，又△OBA的面积为6cm2，⊙O 的半径为2cm，则AC的长为 .
A
·
B
C
O
5题图
A
B
C
O
D
6题图
·

6. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠A = 30°，延长OB到D，使BD = OB，则
∠D 的度数为 .
三、能力提升
A
P
C
O
B
7题图
D
·
7．如图，已知AB为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O 交于点C，D为AP的中点. 求证：直线CD是⊙O的切线.