资源描述
二次函数
一、选择题
1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A．
y=x2﹣1
B．
y=x2+1
C．
y=（x﹣1）2
D．
y=（x+1）2
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
几何变换．
分析：
先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），
所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A． abc＜0 B． ﹣3a+c＜0 C． b2﹣4ac≥0
D． 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
考点：二次函数的图象和符号特征．
分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；
D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．
解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=2a+b+c，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
4. （2014•山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．
y轴
B．
直线x=
C．
直线x=2
D．
直线x=
考点：
二次函数的性质
分析：
由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
解答：
解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x==．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
1
Ｂ
Ｏ
x
y
4
A． B． C． D．
【解析】由对称轴为，得，
再由一元二次方程在的范围内有解，得，
即，故选C．
7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，
其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
②③④
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答：
解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
b=2a，
∴b﹣2a=0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
又∵b=2a，
∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有①③④，
故选B．
点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．
解答： 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．
9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选B．
点评： 本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．
10.
考点：
二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答：
解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
11. （2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（ ）
A．
﹣3
B．
﹣1
C．
2
D．
5
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
分析：
把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答：
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣2
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答： 解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数时一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
13. （2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（ ）
A．
1个
B．
1个或2个
C．
1个或2个或3个
D．
1个或2个或3个或4个
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．
解答：
解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，
C2图象是x=﹣y2﹣2y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；
直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；
直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出C2的图象，再求出交点个数．
14. （2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B． y=x2﹣x+2 C． y=x2+x﹣2 D． y=x2+x+2
考点： 待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．
解答： 解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，
解得：b=﹣1，c=﹣2，
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．
故选A．
点评： 此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15. （2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．
解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B． ②④ C． ②⑤ D． ②③⑤
分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，
∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，
∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．
（﹣1，﹣1）
B．
（1，﹣1）
C．
（﹣1，1）
D．
（1，1）
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x﹣1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可．
解答：
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．
18．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．
y轴
B．
直线x=﹣1
C．
直线x=1
D．
直线x=﹣3
考点：
二次函数的性质．
分析：
根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
解答：
解：抛物线y=（x﹣3）2﹣1的对称轴是直线x=3．
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．
19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．
y=﹣2（x+1）2+2
B．
y=﹣2（x+1）2﹣2
C．
y=﹣2（x﹣1）2+2
D．
y=﹣2（x﹣1）2﹣2
考点：
二次函数图象与几何变换
分析：
根据图象右移减，上移加，可得答案．
解答：
解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
c＞0
B．
2a+b=0
C．
b2﹣4ac＞0
D．
a﹣b+c＞0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．
解答：
解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．
故选D．
点评：
在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
二、填空题
1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
分析：
根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
解答：
解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，
则，
解得，
所以，y=（x﹣1）2+=x2﹣x+2，
当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，
则，
解得，
所以，y=﹣（x﹣3）2+=﹣x2+x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
故答案为：y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
2. *( 2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为 .
答案：8.
解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.
3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ﹣1 ℃．
考点： 二次函数的应用．
分析： 首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．
解答： 解：设 y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组
，
解得：，
所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，
当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．
3.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；
（2）分两种情况：当AC∥EF时；当AF∥CE时；两种情况讨论得到点F的坐标；
（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．
解答：
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），
∴，
解得．
故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可知，点E（1，0），A（﹣1，0），C（0，﹣2），
当AC∥EF时，直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2，
∴直线EF的解析式为y=﹣2x+2，
当x=1时，y=0，此时点F与点E重合；
当AF∥CE时，直线CE的解析式为y=2x﹣2，
∴直线AF的解析式为y=2x+2，
当x=1时，y=4，此时点F的坐标为（1，4）．
综上所述，点P的坐标为（1，4）；
（3）点B（3，0），点D（1，﹣），
若△BDP和△CDP的面积相等，
则DP∥BC，
则直线BC的解析式为y=x﹣2，
∴直线DP的解析式为y=x﹣，
当y=0时，x=5，
∴t=5．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
2. （2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．
解答：
解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC==．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，
∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴=，∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
∴，
yBC=﹣x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得
0=﹣×（﹣1）+n
∴n=﹣，
yAD=﹣x﹣．
∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，
解得：x1=﹣1，x2=5
∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=，BC=2，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．
点评：
本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．
（3）PF的长度即为yF﹣yP．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．
解答：
解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+2），
∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，
∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，S△HBD=•HD•HB=4，
∴S四边形OCDB=．
∴S△OCE=S四边形OCDB==，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
设lDE：y=kx+b，
∵D（1，﹣4），E（5，0），
∴，
解得，
∴lDE：y=x﹣5．
∵DE交抛物线于P，设P（x，y），
∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，
解得 x=2 或x=1（D点，舍去），
∴xP=2，代入lDE：y=x﹣5，
∴P（2，﹣3）．
（3）如图2，
设lBC：y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得 ，
∴lBC：y=x﹣3．
∵F在BC上，
∴yF=xF﹣3，
∵P在抛物线上，
∴yP=xP2﹣2xP﹣3，
∴线段PF长度=yF﹣yP=xF﹣3﹣（xP2﹣2xP﹣3），
∵xP=xF，
∴线段PF长度=﹣xP2+3xP=﹣（xP﹣）2+，（1＜xP≤3），
∴当xP=时，线段PF长度最大为．
点评：
本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习．
5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=－x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，－x2+2x+3），根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =
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