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点击与圆的性质有关的中考题

圆的有关性质是初中几何的重要内容，也是各省市中考考查的内容之一，这部分内容是学习以后圆部分内容的基础．本文选取近年部分省市的中考题，举例说明如下，希望对同学们有所启迪和帮助．
考点1 垂直于弦的直径
例1．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C． 若AO=5，OC=3，则弦AB的长为（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 4
评析：垂直于弦的直径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，有关弦长、弦心距的计算问题，往往需要作垂直于弦的直径（半径或弦心距），利用垂直于弦的直径平分弦的结论以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的．
在垂直于弦的直径定理中，若一直线具有：1过圆心；2垂直于弦；3平分弦（这条弦不能为直径）；4平分这条弦所对的一条弧；5平分这条弦所对的另一条弧，之中的任两条性质，则可以推出剩余三条性质也成立．
此例中，AB为弦，OC⊥AB，恰好满足1，2，因此OC平分AB，即AC=CB（或AB=2AC），在Rt中，AO=5，OC=3，由勾股定理可得AC=4，故AB=8，应选择答案B．
A
B
C
O
···
m
·
O
考点2 圆周角定理及其推论
例2 ．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在圆上，则∠C的度数是 　 ．
评析：此题已知AB的长等于⊙O的半径，故连接OA，OB后可得是等边三角形，则∠AOB=60°，利用圆周角定理，可得∠C==30°．
O
C
D
B
A
100°
考点3 圆内接四边形
例4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=，则∠DAB的度数为（　　）
　A． B． C． D．
O
B
C
A
D
E
评析：圆内接四边形的性质是，对角互补和一个外角等于它的内对角． 此题中要求∠DAB的度数，由圆内接四边形的性质可得∠DAB=180°－∠BCD，根据圆周角定理可得== 50°，因此∠DAB=180°－50°=130°，故应选择答案D．
例5．如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，则等于（ ）
A． 30° B． 60° C． 75° D． 90°
评析：此题中要求的度数，观察图形可以知道是四边形ACOB的一个外角，但四边形ACOB不是圆内接四边形，由此为了应用圆内接四边形的性质，我们可以作出圆的内接四边形ACEB（在优弧BC上任取一点E，连接EB，EC得到ACEB），由圆内接四边形的性质可知=，再根据圆周角定理可得== 60°，故应选择答案B．
A
B
C
D
2
5
8
7
1
3
4
6
考点4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例5．圆内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有________．
评析：同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中，只要其中有一组量相等，那么其余对应的三组量也分别相等． 此题可以利用此性质与圆周角定理的推论（同弧所对的圆周角相等），得到与∠1相等的角有共有三个，分别是∠2，∠5，∠6．
考点5 圆的性质综合题
例6．如图，边长为3的正△ABC中，M，N分别位于AC，BC上，且AM=1，BN=2． 过C，M，N三点的圆交△ABC的一条对称轴于另一点O，求证：点O是正△ABC的中心．

评析：此题考察的是圆与等边三角形、全等三角形、轴对称等有关知识，在解题中要综合运用所学知识来解决问题．
如图，连接AO．
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1．
∵CD是正△ABC的一条对称轴，
∴∠ACO=∠NCO，∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．
∴∠MAO=∠NCO=30．
∴O是正△ABC两个内角平分线的交点．
∴点O是正△ABC的中心．