高考数学一轮总复习函数模型及应用练习.doc

一、选择题
1．(2015·兰州模拟)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图像不正确，②中的变化率是越来越慢的，正确；③中的变化规律是逐渐变慢再变快，正确；④中的变化规律是逐渐变快再变慢，也正确，故只有①是错误的. 故选A.
[答案]　A
2．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
[解析]　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
[答案]　D
3．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
[解析]　由题意得 解之得
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．
[答案]　B
4．(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
[解析]　利用三角形相似求出矩形的边长，再利用面积关系求解自变量的取值范围．设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x.
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
[答案]　C
5．(2015·石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是(　　)

[解析]　由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)＝80＋x，“速度差函数”u(x)＝x.
当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80.
当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20.
当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”
u(x)＝160－60＝100，结合所给的图像，故选D.
[答案]　D
6．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)

A．上午10∶00 B．中午12∶00
C．下午4∶00 D．下午6∶00
[解析]　当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，
得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.
把(4,320)，(20,0)代入得
解得∴y＝400－20x.
∴y＝f(x)＝
由y≥240，得或
∴3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.
[答案]　C
二、填空题
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
[解析]　设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
[答案]　9
8．(2015·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
[解析]　依题意有a·e－b×8＝a，∴b＝，
∴y＝a·e－·t若容器中只有开始时的八分之一，
则有a·e－·t＝a，解得t＝24，
所以再经过的时间为24－8＝16 min.
[答案]　16
9．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为________．
[解析]　设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a.∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x (x∈N＋)．
[答案]　y＝x (x∈N＋)

10．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
[解析]　当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N＋)．
当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．
[答案]　y＝(x∈N＋)　16
三、解答题
11．(2015·珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图像的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求p＝f(t)的函数关系式．
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
[解]　(1)t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将(14,81)代入得c＝－，t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－(t－12)2＋82；t∈[14,40]时，将(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝，
所以p＝f(t)＝
(2)t∈(0,14]时，由－(t－12)2＋82≥80，
解得12－2≤t≤12＋2，所以t∈[12－2，14]，t∈(14,40]时，由log(t－5)＋83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，所以t∈[12－2，32]，即老师在t∈[12－2，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
12．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积．

[解]　设四边形EFGH的面积为S，
由题意得S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DHG＝(a－x)·(b－x)．
由此得S＝ab－2[x2＋(a－x)(b－x)]
＝－2x2＋(a＋b)x＝－2(x)2＋.
函数的定义域为{x|0<x≤b}，因为a>b>0，
所以0<b<.
若≤b，即a≤3b，x＝时面积S取得最大值；
若>b，即a>3b时，函数S＝－2(x－)2＋在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.
综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.