非线性微分方程解的稳定性.pptx

本论文内容提要一、非线性方程的基本概念二、李雅普诺夫函数的稳定性三、按线性近似决定微分方程的稳定性四、李雅普诺夫第二方法五、结论一、非线性微分方程的基本概念 1.1.自然界绝大部分现象是非线性现象，非线自然界绝大部分现象是非线性现象，非线 性现象是一种非常复杂的现象。性现象是一种非常复杂的现象。2.2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。3.3.线性问题是非线性问题的基础线性问题是非线性问题的基础,在一定条件在一定条件 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 个难题。个难题。19世纪末20世纪初Poincare(法国)创立微分方程定性理论Liapunov(俄国)创立微分方程稳定性理论Logistic方程 LogisticLogistic方程方程方程方程两个常数解(平衡解):问题：该方程的其它解与这两个平衡解有何关系？具体地说，初值在两个平衡解附近的解的长期行为怎样？这就是解的稳定性问题。现在假设那么容易得到满足初值条件的特解为微分方程解的稳定性严格定义:考虑微分方程组或其向量形式其中注:对 阶方程 可取变换 化为（1）式的特殊形式问题:（1）式的解存在唯一吗？解能延拓吗？解对初值、参数有连续依赖性和可微性吗？当向量值函数 满足下面的Lipschitz条件时，上述问题的回答是肯定的。这一点从前面的基本定理可以推得。L 称为利普希茨常数，范数定义为二、李雅普诺夫函数的稳定性 如果对于任意给定的 和 都存在 只要使得 就有 对一切 成立，则称微分方程 的解是稳定的，否则是不稳定的。定义1 如果对任意给定的 存在 （一 般与 和 有关）,使得当任一 满足 时，方程组（3）满足初始条件 的 解，均有 对一切 成立，则称方程组（3）的零解 为稳定的。定义2 如果方程组（3）的零解 稳定，且存在这样的 ，使当 时，满足初始条件 的解 均有 ,则称零解 为渐近稳定的。定义3 如果 渐近稳定，且存在域 ,当且仅当 时满足初始条件 的解 均有 ，则称域 为（渐近）稳定域或吸引域。若稳定域为全空间，即 则称零解 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。当零解 不是稳定时，称它为不稳定的。即是说：如果对某个给定的 不管 怎样小，总有一个 满足 ，使得由初始条件 ,所确定的解 ，至少存在某个 使得 则称方程组（3）的零解 为不稳定的。三、按线性近似决定微分方程的稳定性 考虑n维常系数线性方程组 其中为n阶常数矩阵。它的任意解均可表现为形如：的线性组合，这里 为方程组的系数矩阵 的特征方程 的根，为零或正整数，由根的初级因子的次数决定。定理1 若特征方程（5）的根均具有负实部，则方程组（4）的零解是渐近稳定的.若特征方程具有正实部的根，则方程组（4）的零解是不稳定的.若特征方程（5）没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组（4）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的。这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1。考虑非线性方程组 其中,且满足条件 显然是方程组（6）的解，亦是方程组的奇点。定理2 若特征方程（5）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（4）的零解的稳定性态一致，这就是说，当特征方程（5)的根均具有负实部时，方程组（6）的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部根时，其零解是不稳定的。(当 时）（6）四、李雅普诺夫第二方法 讨论如何应用函数来确定非线性微分方程组的稳定性态问题，为简单起见，我们只考虑非线性自治微分方程组 其中 假设 且 在某域 (为正常数)内连续的偏导数，因而方程组（7）的由初始条件 所确定的解在原点的某个邻域内存在且唯一。显然 是其特解。定义4 假设 为在域 内定义的一个实连续函数，如果在此域内恒有 ，则称函数 为常正的。如果对一切 都有 ，则称函数 为定正的。如果函数是 定正（或常正）的，则称为 定负(或常负）。（7）例 1 函数 是常正的。而函数 是定正的。函数 在域 上定正。在全平面上是变号的。二次函数 当 且 时是定正的；而当 且 时是定负的。定理3 如果对微分方程组（7）可以找到一个定正函数 ，其通过（7）的全导数 为常负函数或恒等于零，则方程组（7）的零解为稳定的。如果有定正函数 ，其通过（7）的全导数 为定负的，则方程组（7）的零解为渐近稳定的。定理4 （零解稳定判别定理）对系统 若在区域 上存在李雅普诺夫函数 满足 (1)正定；(2)常负。则（8）的零解是稳定的。注意：（8）试中 在 上连续，满足利普希茨条件，且 。引理 1 若 是正定（或负定）的李雅诺夫函数，且对连续有界函数 有 定理5（零解渐近稳定判别定理）若区域 上存在李雅诺夫函数 满足 （1）正定，（2）负定，则(8)的零解渐近稳定。（8）定理6（零解不稳定判别定理）若存在李雅诺夫函数 满足 （1）正定，（2）不是常负函数，则系统（8）的零解是不稳定的。例 3 给定二阶微分方程 其中 ，而当 时 ，是将其化为平面微分方程组，并用形如 的李雅普诺夫函数讨论方程组零解的稳定性。解:令 将该方程化为等价的平面微分方程组 由条件 而当 时 可知，是正定函数，计算沿着该方程组轨线的全导数得 由此可知该方程组的零解是稳定的。五、结论 本文简述了非线性系统，根据非线性稳定性定理对方程解的稳定性作了分析，非线性系统主要采用李雅普诺夫第二方法进行稳定性判断。李雅普诺夫第一方法是将非线性方程线性化，然后根据线性化后的方程的稳定性就可以知道原非线性方程在定点邻域内的稳定性。李雅普诺夫第二方法是构造李雅普诺夫函数不求解方程，用类似能量函数直接做出判断。