初中数学奥赛学案2.doc

第二讲：平行四边形（一）
【知识梳理】
1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
（1）平行四边形对角相等；
（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形

【例题精讲】
【例1】填空题：

平行四边形具有的是：

矩形具有的是：

菱形具有的是：

正方形具有的是：
在下列特征中，
（1） 四条边都相等
（2） 对角线互相平分
（3） 对角线相等
（4） 对角线互相垂直
（5） 四个角都是直角
（6） 每一条对角线平分一组对角
（7） 对边相等且平行
（8） 邻角互补

【巩固】
1、下列说法中错误的是（ ）
A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）

Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
E
D
C
F
B

【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．

四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

【例3】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．
求证：四边形AECD是菱形．

【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.
C
B
A
D
F
E
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.