21静电场的标势及其微分方程.pptx

第二章第二章静电场静电场结结 束束 静电场静电场 Electrostatic field第二章第二章 第二章第二章静电场静电场结结 束束本本章章研研究究的的主主要要问问题题是是：在在给给定定的的自自由由电电荷荷分分布布以以及及周周围围空空间间介介质质和和导导体体分分布布的的情情况况下下，如如何何求求解电场。解电场。静电问题一般通过静电势求解。静电问题一般通过静电势求解。本本章章求求解解静静电电场场的的方方法法有有：分分离离变变量量法法;镜镜像像法；法；格林函数法；格林函数法；电多极矩法。电多极矩法。求解的依据是：唯一性定理。求解的依据是：唯一性定理。等均与时间无关。等均与时间无关。静电场的特点静电场的特点基本方程：基本方程：第二章第二章静电场静电场结结 束束边值关系：边值关系：静电平衡时的导体：静电平衡时的导体：导体内导体内外表面外表面电荷分布在表面上，电场电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面处处垂直于导体表面 均匀各向同性线性介质均匀各向同性线性介质：介电磁性质方程：介电磁性质方程：第二章第二章静电场静电场结结 束束本章重点：本章重点：静电势及特性、分离变量法、镜象法。静电势及特性、分离变量法、镜象法。本章难点：本章难点：分离变量法、格林函数法分离变量法、格林函数法(简介简介)、电多极矩法。、电多极矩法。第二章第二章静电场静电场结结 束束本本章章主主要要内内容容静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程唯一性定理唯一性定理拉普拉斯方程，分离变量法拉普拉斯方程，分离变量法镜象法镜象法格林函数法格林函数法电多极矩电多极矩第二章第二章静电场静电场结结 束束2.1 2.1 静电场的标势静电场的标势 及其微分方程及其微分方程 Scalar potential and differential equation for electrostatic field第二章第二章静电场静电场结结 束束1 1、静电场的标势、静电场的标势(Scalar potential for electrostatic field)静电现象满足以下两个条件：即静电现象满足以下两个条件：即 电荷静止不电荷静止不动；动；场量不随时间变化场量不随时间变化，故：，故：把静电条件代入把静电条件代入Maxwells equations中去，即得电场中去，即得电场满足的方程：满足的方程：这两方程连同介质的电磁性质方程这两方程连同介质的电磁性质方程 是解决是解决线性介质静电问题的基础。线性介质静电问题的基础。第二章第二章静电场静电场结结 束束根据电场方程根据电场方程 （即（即 的无旋性）的无旋性），可引入，可引入一个标势：一个标势：若矢量场的旋度处若矢量场的旋度处处为处为0，称为，称为无旋场无旋场或纵场或纵场，此时存在，此时存在标量场标量场，使得，使得 实际上在电磁学中，已实际上在电磁学中，已知知 两点间的电势差为：两点间的电势差为：称为静电场的电势。称为静电场的电势。因而相距为因而相距为 两点的电势差为两点的电势差为第二章第二章静电场静电场结结 束束又又既：电场强度是电势的负梯度。既：电场强度是电势的负梯度。所以所以讨论讨论空间某点电势无物理意义，空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有只有两点的电势差才有物理意义。物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1移到移到P2点所作功负值。点所作功负值。第二章第二章静电场静电场结结 束束真空中电荷连续分真空中电荷连续分布的带电体电势：布的带电体电势：真空中点电荷电势：真空中点电荷电势：为了计算方便，常选取某个参考点，规定其上电势为了计算方便，常选取某个参考点，规定其上电势为为 0。参考点的选择是任意的，当电荷分布于有限区。参考点的选择是任意的，当电荷分布于有限区域的情况下，常选取无穷远点作为参考点。域的情况下，常选取无穷远点作为参考点。电荷分布在有限区域时几种情况的电势：电荷分布在有限区域时几种情况的电势：第二章第二章静电场静电场结结 束束无限大均匀线性介质中点电荷的电势无限大均匀线性介质中点电荷的电势：产生的电势产生的电势 产生的电势产生的电势 QfQp第二章第二章静电场静电场结结 束束点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面等等势势面面：电电势势处处处处相相等等的的点构成的曲面。点构成的曲面。与等势面垂直，即与等势面垂直，即第二章第二章静电场静电场结结 束束2 2、静电势的微分方程、静电势的微分方程(differential equation of electrostatic potential)给定电荷分布给定电荷分布求空间一点求空间一点电场分布电场分布而场引起导体上而场引起导体上感感 应电荷分布应电荷分布而感应电荷分布反过来引起而感应电荷分布反过来引起 为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用微为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件处理。分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件处理。这样这样把求解静电场问题转化为把求解静电场问题转化为解一定边界条件下的微解一定边界条件下的微分方程问题分方程问题。因因 是标量，求解是标量，求解 的微分方程比直接的微分方程比直接求解电场强度要简单。求解电场强度要简单。如果电荷周围有如果电荷周围有导体导体，那么物理机制为：，那么物理机制为：第二章第二章静电场静电场结结 束束在各向同性线性介质中，在各向同性线性介质中，则有，则有对均匀介质，对均匀介质，为常数，为常数，=0 ，故有，故有PoissonPoissons equation equation若在无源区域内（若在无源区域内（=0），上式化为），上式化为此方程称为此方程称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplaces equation)即即第二章第二章静电场静电场结结 束束 在求解电势在求解电势 的的微分方程时，如果求解区域内微分方程时，如果求解区域内存在多种介质，则需要知道两介质存在多种介质，则需要知道两介质交界面两侧的交界面两侧的电电势之间的关系势之间的关系即电势的边值关系即电势的边值关系。3 3、用静电势表示的边值关系、用静电势表示的边值关系在介质的分界面上，电场满足的边值关系为在介质的分界面上，电场满足的边值关系为由此，可导出电势所满足的边值关系：由此，可导出电势所满足的边值关系：第二章第二章静电场静电场结结 束束 在界面两边附近任取在界面两边附近任取两点两点P1和和P2 ，它们与界面，它们与界面距离分别为距离分别为 h1和和 h2 ，则，则令令P1和和P2无限接近分界面，即无限接近分界面，即 h10和和 h2 0，则在，则在电场强度有限的情况下：电场强度有限的情况下：即在分界面处电势连续即在分界面处电势连续由于由于P1和和P2可取遍整个分界面，则有可取遍整个分界面，则有任意两种介质分界面情况任意两种介质分界面情况第二章第二章静电场静电场结结 束束注注意意：可可代代替替 ，即即可可以以代替代替可见可见即即而而故有故有即得即得p2p1P1P2第二章第二章静电场静电场结结 束束另外，由方程另外，由方程 可得到：可得到：即即总之，在两种介质的分界面上，总之，在两种介质的分界面上，满足的关系为：满足的关系为：第二章第二章静电场静电场结结 束束导体表面：导体表面：导体表面总电量导体表面总电量有导体界存在时边值关系有导体界存在时边值关系导体内部电场为导体内部电场为0，导体为等势体，表面为等势面；，导体为等势体，表面为等势面；导体内部无电荷分布，电荷只分布于导体表面；导体内部无电荷分布，电荷只分布于导体表面；导体表面电场必沿法线方向。导体表面电场必沿法线方向。导体导体1介质介质2(1)静电场情况静电场情况第二章第二章静电场静电场结结 束束 此时导体内此时导体内有稳恒电流有稳恒电流，导体内电场强度不为零，导体内电场强度不为零，不是等势体，但稳恒电场性质与静电场类似，散度、不是等势体，但稳恒电场性质与静电场类似，散度、旋度均为零。旋度均为零。电介质与导体交界面处电介质与导体交界面处(2)导体内有稳恒电场时导体内有稳恒电场时导导体体电介质电介质第二章第二章静电场静电场结结 束束导体导体与导体交界面处与导体交界面处第二章第二章静电场静电场结结 束束4 4、利用静电势来描述静电场的能量、利用静电势来描述静电场的能量在线性介质中静电场的在线性介质中静电场的总总能量为能量为在静电情形下，能量在静电情形下，能量W 可以用电势可以用电势 和电荷和电荷 表出。表出。由由得得因此因此第二章第二章静电场静电场结结 束束若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积分是若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷远处对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷远处的电势的电势 ，电场，电场 ，而面积，而面积r2，故在故在r时，面积分项的值时，面积分项的值=0，故有，故有 讨论：在运用上式时注意几点讨论：在运用上式时注意几点适用于静电场，线性介质；适用于静电场，线性介质；第二章第二章静电场静电场结结 束束适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分项项 ）；）；不能把不能把/2看成是电场能量密度，静电能量是以密看成是电场能量密度，静电能量是以密度度 的形式在空间连续分布的；的形式在空间连续分布的；中的中的 是由电荷分布是由电荷分布 激发的电势；激发的电势；若全空间充满了介电常数为若全空间充满了介电常数为 的介质，则得到电荷的介质，则得到电荷 分布分布 所激发的电场总能量所激发的电场总能量式中式中r为为 与与 点的距离。点的距离。第二章第二章静电场静电场结结 束束5 5、举例讨论、举例讨论1.1.求均匀电场求均匀电场的电势的电势解：因为均匀电场中每一点解：因为均匀电场中每一点强度强度 相同，其电力线为平相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原行直线，选空间任一点为原点，点，并设原点的电势为并设原点的电势为 。这里不能选无限远为电势参考点。这里不能选无限远为电势参考点。xyzP第二章第二章静电场静电场结结 束束2.2.电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势解：两相距为解：两相距为2l的等量异的等量异号点电荷构成的系统号点电荷构成的系统P点电势点电势：(选无穷远为零点选无穷远为零点)系统系统偶极矩偶极矩 Pzxy-QQ第二章第二章静电场静电场结结 束束同理同理 若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：第二章第二章静电场静电场结结 束束注注意意：由由 ，考考虑虑了了束束缚缚电电荷荷，即即已已经经考考虑虑了了介介质质的的作作用用，介介电电常常数数应应当当用用 0，而而不不是是。在均匀介质中，在均匀介质中，自由自由点电荷点电荷在其周围在其周围产生束缚电荷产生束缚电荷分布，分布，自由偶极子在其周围产生束缚偶极子分布，自由偶极子在其周围产生束缚偶极子分布，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加。设子产生的势的迭加。设Qp为为束缚电荷，则束缚电荷，则第二章第二章静电场静电场结结 束束3.均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空，求空间的电势。间的电势。场点场点pRozz电荷电荷解：选柱坐标：源点的坐标为解：选柱坐标：源点的坐标为(0,0,z)，场点的坐标为，场点的坐标为(R,/2,0),),考虑到导线是无限考虑到导线是无限长，电场强度显然与长，电场强度显然与z 无关。无关。这里，先求场强这里，先求场强 ，后求电势，后求电势 。因为因为电荷元为电荷元为(1)由叠加原理求由叠加原理求则则第二章第二章静电场静电场结结 束束令令则则第二章第二章静电场静电场结结 束束而而故故(2)由高斯定理求，作高斯面如图由高斯定理求，作高斯面如图第二章第二章静电场静电场结结 束束设设P0点与导线的垂直距离为点与导线的垂直距离为R0，则则P点与点与P0点的电势差为：点的电势差为：PdzRP0R0再求电势：再求电势：第二章第二章静电场静电场结结 束束若选若选p0为参考点（即为参考点（即 ），则），则注意：这里也不能选无穷远为零电势点，否则，由注意：这里也不能选无穷远为零电势点，否则，由本节例本节例3：自学：自学第二章第二章静电场静电场结结 束束Class is Over!Thank you!