整式乘法与因式分解---数学活动.docx

第十四章 整式的乘法与因式分解
----数学活动
霞坑中心学校 钱伟 2016.12.1

教学目标
1.通过计算，从中发现有趣的规律，并能利用学过的知识进行证明。
2.计算--观察--发现--猜想--证明。
3.感悟数学的严谨性，激发学生学习的兴趣。
重点：通过计算找出其中的规律。
难点：证明所发现的规律。
教学过程
数学活动1
探究：十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律:
观察下列各式
15×15 =1×2×100+25 =225； 2 =1×2
25×25 =2×3×100+25 =625； 6 =2×3
35×35 =3×4×100+25 =1225 12 =3×4
问题1　结果中的25与两个乘数中的个位数字有什么关系呢？
问题 2　结果中的百位数字或千位数字与两位数的十位数字有什么关系呢？
问题3　请你再举几个具有共同特征的例子，并验证其正确性。
问题 4 根据上面的共性，你可以得出什么猜想呢？
原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果乘以100 ，再加上25，就是个位数字为5的两位数的平方数的结果．
问题5 请把你的猜想用等式表示出来
设这个两位数的十位数字为a，个位数字为5，则这个两位数为（10a +5）
(10a+5) (10a+5)=100a(a+1)+25
问题6 我们的猜想正确吗？请用本章的知识进行证明。
　　 (10a+5) (10a+5)
=100a² +100a +25
=100a（a+1）+25 ．
数学活动2
探究 十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘的积的规律：
问题3　类比上道题探究规律的过程，继续计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你能发现有什么规律？你能尝试用本章所学的知识解释这个规律吗？
53×57 =5×6×100+3×7 =3 021 30 =5×6 21 =3×7；
38×32 =3×4×100+2×8 =1 216 12 =3×4 16 =2×8；
84×86 =8×9×100+4×6 =7 224 72=8×9 24 =4×6
71×79 =7×8×100+1×9 =5 609 56=7×8 09=1×9
猜想

原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果乘以100 ，再加上两个个位数的积，就是这两位数相乘的结果．
设十位数字为a，个位数字为b，则一个两位数为（ 10a +b ），另一个两位数为（ 10a +10-b ）
表示为：(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)
证明：
（10a +b）[10a +(10 –b)]
= 100a²+100a -10ab + 10ab+ 10b -b²
=（100a²+100a ） +（ 10b -b² ）
= 100a（a+1）+b（10-b）
小结
回顾刚才探究规律的过程，请思考：数学活动1与数学活动2所得到的规律之间有什么相同的地方？
课堂练习
练习1　利用刚才所学的规律 ，计算下列算式的结果：
（1）78×72； （2）93×97；
练习2　拓展： 103×107
思考题
观察下列等式：
12×92 =（ 1×9+2）×100+2×2=1104
23×83 =（ 2×8+3）×100+3×3=1909
34×74 =（ 3×7+4）×100+4×4=2516
45×65 =（ 4×6+5）×100+5×5=2925
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）填空64×44 =___
（2）写出你的猜想，并验证其正确性