直线和圆的位置关系——切线长定理.doc

24.2.2 直线和圆的位置关系——切线长定理
北海九中 雷华蕾
学情分析：
本班学生大部分基础较差，课堂注意力难持久,自控能力差。有不少学生由于怕苦怕累、懒惰、不肯动脑动手数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。会的嫌简单, 稍难又嫌烦,总不想动手。对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁。
因此在教学过程中，积极的引导学生参与课堂互动，让学生能够主动去观察，实验，猜想，在给予点评，分析，共同完成证明等数学活动，发展期合情推理能力和初步演绎推理能力，让学生能慢慢能有条理地、清晰的写出推理过程，掌握数学的集体技巧。
教学目标知识技能：
1.了解切线长的概念.
2.切线长定理的导出及其证明.
3.切线长定理的运用.
4.了解三角形的内切圆和三角形你内心的概念，熟练掌握并能应用.
数学思考与问题解决：
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理，知识迁移到切线长的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形内心的概念，最后应用它们解决一些实际问题.
情感态度
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合理推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程.
学时重点：切线长定理及其运用.
学时难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.

教学过程：
一、让学生了解本节课的学本节课学习目标：
1.了解切线长的概念.
2.切线长定理的导出及其证明.
3.切线长定理的运用.
4.了解三角形的内切圆和三角形你内心的概念，熟练掌握并能应用.
重点：切线长定理及其运用.
难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.习目标，重难点
二、复习回顾知识回顾：
1.一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 .
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
提出思考，给出切线长的概念下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系，请同学们思考以下问题：
问题1：切线是直线，无法度量，那么什么是切线长？
师生活动：教师直接给出切线长的定义，学生识记，讨论交流。
经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
三、探究切线长定理
问题2：如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO
验证1：请同学们可在一张半透明的纸上画出这个图形，沿直线PO将图形对折.
验证2：可对PA与PB，∠APO与∠BPO进行长度和角度的测量.（利用几何画板演示）
验证3：能否用所学的理论知识证明PA=PB，∠APO=∠BPO.
师生活动：学生先自主探究，再写出推理过程，教师再进行引导，点拨，点评。
分析：1.PA，PB是⊙O的两条切线， A，B是切点，则必然会有垂直于过切点的半径.所以连接OA，OB,并由此可知 OA=OB，∠OAP=∠OBP=90°.
2.证明线段相等，角相等一般的都是利用三角形全等这一理论.只要证明：Rt△AOP≌Rt△BOP，问题就解决了.
证明：连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线.
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.(∠POA=∠POB)
由此，我们得到切线长定理：
由圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（同时，平分两条对应半径的夹角.）
几何语言：
∵PA和PB为⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.(∠POA=∠POB)
四、巩固练习
1.已知⊙O的半径为6，圆心O到圆外一点P的距离为10，则点P到圆的切线长PM为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：因为PM是切线，即点M是切点，故 连接OM可得OM⊥PM，OM=6，则△OMP是直角三角形，所以根据勾股定理可得PM²=OP²-OM²，代入数据解得PM=8.所以答案应选B.
2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C在⊙O上.如果∠P=50°，那么∠C=（ ）.
解析：∵PA,PB是切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
又∵∠P=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠C=∠AOB=65°
五、探究三角形的内切圆及其内心
思考：如图是一块三角形铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？分析：假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径
如图所示：OD=OE=OF.
那么如何找到这个圆心呢？
由图可知，点O到∠B和∠C两边的距离相等，则点O在∠B 和∠C角平分线上，故分别做∠B∠C的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O.点O到BC的距离OD为半径作圆，则⊙O与△ABC三边都相切，⊙O为所求作的圆.
总结：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的角平分线交点，叫做三角形的内心。 .

六、例题讲解
P100 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
师生活动：教师引导学生进行分析，解答
分析：AF=AE，BF=BD，CD=CE
又AF+BF=AB,CE+AE=AC，
∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF
∵BD+CD=BC
∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC
∴（9-AF）+（13-AF）=14，即可求出AF,再求出BD，CE.
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，BF=BD，CD=CE
又AF+BF=AB,CE+AE=AC，
∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF
∵BD+CD=BC
∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
即（9-AF）+（13-AF）=14，解得AF=4
∴BD=5，CE=9.
七、巩固练习
1.P100练习1：如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.

2. P100练习2：△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设△ABC的内心为O，连接OA,OB,OC.）

3.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
4.已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，
∠BAC=30°．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．
​提示：（1）∠PAC=∠PAB-∠BAC=90°-30°=60°，且PA=PC.
(2)连接BC，则BC=3，在利用勾股定理求出AC.[来源:Zxxk.Com]
八、课堂小结
师生共同小结：
1.切线长定理：
由圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（同时，平分两条对应半径的夹角.）
2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的角平分线交点，叫做三角形的内心。
九、布置作业：[来源:Z.xx.k.Com]
必做题：教材P102习题24.2第12题
选做题：
1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
求其内切圆的半径r.

2.如图，已知P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，
切点分别是A，B，BC是直径.
求证：AC∥OP

3.如图，已知⊙O的半径是2，直线PA，PB分别切⊙O于点A，B两点.(1)当OP为何值时，∠APB=90°？(2)若∠APB=60°，求AP的长？
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