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探索计算“渐开线”的长的公式
题1　（常州市）如图1，正三角形ABC的边长为，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至形成扇形；将线段绕点B顺时针旋转120°至形成扇形；将线段绕点C顺时针旋转120°至形成扇形；将线段绕点A顺时针旋转120°至形成扇形，……。设为扇形的弧长（n=1、2、3、……），回答下列问题：
①按照要求填表
②按照上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形的弧长能绕地球赤道一周？（设地球赤道半径为6400Km）
解：①

②根据上表可发现规律，则≥2л×6400×100000，所以n≥，答n至少应为。
题2　如图2，四边形ABCD是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、……的圆心依次按A、B、C、D循环，它们依次连接。取AB=1，则曲线的长是 （结果保留л）．
解析：由于弧、弧、……、弧所在的扇形的中心角相等都是90°，而各个扇形的半径增长的规律为1、2、3、4、……，这里所求的弧共有8段，根据弧长公式,那么所求的曲线长为
题3　如图3，五边形ABCDE是正五边形，曲线叫做“正五边形的渐开线”，其中弧、弧FG、弧GH、弧HI、弧IJ……的圆心依次按A、B、C、D、E循环，它们依次连接。取AB=1，则曲线EFGHIJ的长度是 （结果保留л）．
解析：由于弧、弧FG、弧GH、弧HI、弧IJ所在的扇形的中心角相等都是72°，而各个扇形的半径增长的规律为1、2、3、4、……，这里所求的弧共有5段，根据弧长公式,那么所求的曲线长为
题4　（广西）如图4，六边形ABCDEF为正六边形，曲线FGHIJKL…叫做“正六边形ABCDEF的渐开线”，其中弧AB、弧GH、弧HI、弧JK、弧KL、…的圆心依次按A、B、C、D、E、F循环。如果AB=2，则曲线FGHIJKL的长度为 （结果保留）．
解析：由于弧AB、弧GH、弧HI、弧JK、弧KL所在的扇形的中心角相等都是60°，而各个扇形的半径增长的规律为2、4、6、8、……，这里所求的弧共有6段，根据弧长公式，那么所求的曲线长为
题5　在上面各题的条件下，若正多边形是边长为R的正n边形，这样的曲线就叫“正n边形的渐开线”，设由前m段弧组成的渐开线的长为，求．
解析：各段弧所在的扇形的中心角都是度，前m段弧所在的扇形的半径的变化规律为R、2R、3R、4R、……、．根据弧长公式，则
前m段弧所组成的渐开线的长为：
．
其中第K段弧的弧长为：
由渐开线的公式可知渐开线的长只与正多边形的边长、边数及弧的段数有关．