麦克斯韦速率分布备课讲稿.ppt

2.3 麦克斯韦速率分布,平衡态时，,是只决定于温度的物理量,任意分子任意时刻的动能、速率各不相同，在很大范围内变动。,可见：由于分子间的频繁碰撞，任一分子在任一瞬时所具有的速度是完全偶然的，但是,由大量分子组成的整体,（每个分子具有某种速度这个偶然事件的集合）,在一定温度下,，就,表现为其速度或速率平方的平均值是确定的常数,。,这是一种统计规律性的反映。,根据平均值的意义，这种统计规律可以由气体分子按速率的概率分布来描述，,即著名的麦克斯韦分布率。,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879),19世纪伟大的英国,物理学,家、,数学,家。,经典电磁理论,的奠基人，,气体动理论,的创始人之一。,他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。,1873,年，他的电磁学通论问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。,在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。,2.3.1 分子射线束实验,用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。,最早是德国物理学家,斯特恩,于,1920,年做的银蒸气分子射线束实验。,后来不断改进，,包括,1934年葛正权,测定铋蒸汽分子速率分布，,1955年精确验证,麦氏分布率的,密勒库士,的铊蒸汽原子束实验。,这里仅介绍朗缪尔的实验,1.分子束,又称分子射线。,平衡态,由于气体分子热运动，会有少部分气体分子从,S,缝中逸出，,但因数量较少，并不影响,A,中气体分子所处的平衡态。,逸出气体分子带有容器中气体分子运动性质的信息。,测出逸出分子的速率分布，即可得到容器内气体分子随速率的分布情况。但二者不相等。,3.实验原理,2.朗缪尔实验装置,由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个速率大小，而是某一个速率范围：,v,v,+,v,令,N,表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数，,N,表示速率在,v,v,+,v,范围的分子数，,即从速度选择器射出被探测器探得的分子数,则在总分子中分子速率介于,v,v,+,v,的分子的概率为：,当,v,0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：,相应地，分子速率介于,v,v,+d,v,的概率即为：,在总分子中分子速率介于,v,v,+,v,的分子的概率为：,分子速率介于,v,v,+d,v,的概率即为：,当,v,0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：,例如，取,则图中每一细长条面积均表示单位时间内射出的分子束中。分子速率介于相应速率区间的概率,N,/,N,当,v,0 时，得到一条光滑曲线，称,分子束,速率分布曲线,当,v,0 时，得到一条光滑曲线，称,分子束,速率分布曲线,其中在速率区间,v,v,+d,v,的细条面积，,表示分子速率介于速率区间,v,v,+d,v,的概率,4.说明：,分子束速率分布 与真空加热炉中的金属蒸汽,分子速率分布 不相等。,2.3.2 麦克斯韦速率分布,早在,1859年,，英国物理学家麦克斯韦由概率论、统计力学确定了气体按速率分布的统计规律，即麦克斯韦速率分布，有3种表述方法：,具有,N,个分子的气体处于平衡态(,P,V,T,)时，以容器为参考系的速率分布函数为：,N,个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在,v,v,+d,v,间的平均分子数等于：,N,个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在,v,v,+d,v,间的分子占总分子数,N,的百分比（概率）,麦克斯韦速率分布,概率密度,概率,即分子处于速率,v,附近单位速率区间内的概率,1.麦氏速率分布：,但速率很大或很小的分子数较少,2.麦氏速率分布函数曲线：,曲线下的细窄条面积,表示了分子出现在,v,v,+d,v,区间段的概率,曲线下,v,1,v,2,区间的阴影面积为：,表示分子速率处于,v,1,v,2,区间的概率,对全部分子可出现的速率求和，即,f,(,v,)曲线下总面积：,说明麦氏速率分布是规一化的,二、几点说明：,1.,实际上任何物体的运动速率都不会超出真空中的光速,麦氏分布中取0可以简化计算。,2.只有当定量气体处于平衡态时，分子才有按速率的确定分布。,因而麦氏分布适用于平衡态气体。,分子间的碰撞是处于平衡态的气体分子具有确定速率分布的原因。,3.称概率密度取极大值时的速率为,最概然速率,v,p,，,也称,最可几速率,意义：,若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间，,则在最可几速率,v,p,所在区间中分子数所占比率最大。,3.称概率密度取极大值时的速率为最概然速率,v,p,，,也称最可几速率,温度升高时分布曲线的极大值向速率大的区域移动；,分布曲线下的总面积=,，是常量。,同时，其高度必然降低,同样温度下，重的分子运动得慢，,因而重的分子中速率小的分子所占比重大,分子质量增加时分布曲线的极大值向速率小的区域移动；,同时，其高度必然升高,最可几速率仅决定于所考察气体的种类和气体分子热运动的,剧烈程度,4.麦克斯韦速率分布本身是统计平均的结果，,因而理论上必须使之应用于大数粒子。,但实际上,可以用于处于平衡态的一切宏观容器中的理想气体,。,5.公式可以采用量纲来帮助记忆。,6.混合气体的分子没有统一的速率分布。,但组成混合气体的各组分分别遵守各自的麦氏分布率：,注意,混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：,混合气达到平衡后，各组分的温度,T,必然相同。,7.统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于,一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，,只要系统的能量可写成：,分子的动量分量,分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和,广义坐标,气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。,三、三种速率,利用附录公式：,（二）方均根速率,v,rms,：,（三）最概然速率,v,p,：,（四）三种速率之比：,（一）平均速率 ：,1.前面讨论理想气体,和,P,时曾用到,v,rms,v,但应用该近似后，数学处理简单得多,误差,8.5%,2.三种速率各有用处：,v,p,讨论速率分布时用到,v,rms,讨论分子平均平动动能时用到,v,讨论分子平均自由程、,时,用到,注意,3.若所给速率分布不是麦克斯韦速率分布，则,但由前面 知，,例,1,速率分布函数 的物理意义为：,（）具有速率,v,的分子占总分子数的百分比,（）速率分布在,v,附近的单位速率间隔中的,分子数占总分子数的百分比,（）具有速率,v,的分子数,（）速率分布在,v,附近的单位速率间隔中,的分子数,解：,（,）,若用,N,表示一定量气体的总分子数，d,N,表示速率分布在,v,v,+d,v,区间的分子数，则,f,(,v,)可以写成：,例,2,：,下列各式的物理意义分别为:,(1),(2),(3),(4),速率在,v,附近,d,v,间隔内的分子数占总分子数的比率。,分布在速率,v,附近d,v,间隔内的分子数。,分布在速率区间,v,1,v,2,内的分子数占总分子数的比率,分布在速率,v,1,v,2,区间的分子数,或：分子速率介于,v,v,+d,v,的概率,或：分子速率介于,vv+,d,v,内的分子数,或：分子速率介于,v,1,v,2,内的概率,(5),分布在速率,v,1,v,2,区间内的分子的速率总合与总分子数之比,分布在速率,v,1,v,2,区间内的分子的速率总合,例,3,已知分子总数为,N,，它们的速率分布函数为,f,(,v,)，,则速率分布在区间,v,1,v,2,内的分子的平均速率为,（A）,（C）,（B）,（D）,解：（B）,例4,在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为,f,(,v,)、,分子质量为,m,、,最可几速率为,v,p,，,试说明下列各式的物理意义：,表示,_；,表示,_,分子平动动能的平均值,分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的比率，,或：分子速率介于,v,p,内的概率,例,5.下,图为同一种气体处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问,（1）,哪一条曲线对应的温度高？,（2),如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1),T,1,v,0,的分子数为,(2,N,/3),同理,v,5,v,0,时分子数为零。,根据,N,和,v,0,，求常数,a,的值,求速率在,2,v,0,3,v,0,间隔内的分子数,求分子的平均速率,解：,速率分布可表示为：,由规一化条件：,则：,速率在2,v,0,3,v,0,间隔内的分子数,分子的平均速率,75 麦克斯韦气体速率分布律,引言：,气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律,气体速率分布律,。,气体分子按速率分布的统计规律最早是有,麦克斯韦,于1859年在概率论的基础上导出的，1877年,玻耳兹曼,由经典统计力学中导出，1920年,斯特恩,从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。,一、测定气体分子速率的实验,1、实验装置,O蒸汽源,S 分子束射出方向孔,R 长为,l,、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒,D 检测器，测定通过细槽的分子射线强度,2、实验原理,当圆盘以角速度转动时，每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能通过S达到D,3、实验结果,分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关；,速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；,在某一速率附近的分子数的比率最大；,改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。,二、麦克斯韦气体分子速率分布律,速率分布函数的定义：,一定量的气体分子总数为,N，,dN,表示速率分布在某区间,vv+dv,内的分子数，,dN/N,表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。,实验规律：,dN/N,是,v,的函数；,当速率区间足够小时（宏观小，微观大）,，,dN/N,还应与区间大小成正比。,1、速率分布函数,速率分布函数,物理意义：,速率在,v,附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。,表示速率分布在,v,v,+d,v,内的分子数占总分子数的概率,表示速率分布在,v,1,v,2,内的分子数占总分子数的概率,速率分布曲线,归一化条件,2、麦克斯韦速率分布律,在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间,vv+,d,v,的分子数占总分子数的比率为,麦克斯韦,速率分布函数,m,分子的质量,T,热力学温度,k,玻耳兹曼常量,v,P,v,v,+d,v,v,面积=d,N,/,N,f(v),f(v,P,),曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N。,定义：,与,f,(,v,)极大值相对应的速率，称为最概然速率。,物理意义：,若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在,v,P,所在区间的分子数比率最大。,v,P,的值：,三、三种统计速率,1、最可几速率,2、平均速率,定义：,大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。,计算：,3、方均根速率,定义：,大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。,计算：,4、讨论,v,p,随,T,升高而增大,，,随,m,增大而减小,。,三种速率的大小顺序为,三种速率的意义,讨论速率分布时用最概然速率,讨论分子碰撞时用平均速率,讨论分子平均平动动能时用方均根速率,都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。,m,2,m,1,T,1,T,2,说明下列各量的物理意义：,分布在速率,v,附近,v,v,+d,v,速率区间内的分子数。,单位体积内分子速率分布在速率,v,附近,v,v,+d,v,速率区间内的分子数。,解：,分布在速率,v,附近,v,v,+d,v,速率区间内的分子数占总分子数的比率。,分布在有限速率区间v,1,v,2,内的分子数占总分子数的比率。,分布在有限速率区间 v,1,v,2,内的分子数。,分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）,v,2,的平均值。,