弧-弦-圆心角.doc

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.1.1 圆
教学目标
1.了解圆的有关概念。
2.从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念
教材分析
重点：圆的有关概念。
难点：圆的定义.

教 学 过 程
备注
创设情境
探究1：（学生活动）请同学观察图片得出结论？
探究2：
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

协同探索

学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
问题：车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？

同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

练习反馈
1、教材P80 练习 1.2
2、提高练习：例：如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/小时．
（1）当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）
（2）班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能接收到信号吗？请说明理由．

小结提高
课堂小结：
1．圆的有关概念；
补充练习；（见幻动片）
1．（2008。湖南邵阳）计算机把数据存储在磁盘上，磁盘上有一些同心圆转道，现有一张半径为45毫米的磁盘，磁盘的最内磁道半径为毫米，磁盘的最外圆周不是磁道，磁道上各磁道之间的宽度必须不小于0.3毫米，这张磁盘最多有 条磁道．
2．（2007。杭州）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，记纸板的面积为，试计算求出　　　　；　　　　　；并猜测得到　　　　　．（）

P4
P3
P1
P2

作业
全效学习

教学后记

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课
题
24.1.2 垂径定理
教学目标
1.理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
2.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解
教材分析
1. 重点：垂径定理及其运用．
难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

教 学 过 程
备注
创设情境
（学生活动）请同学们回答下面两个问题．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．．
因此，我们可以得到：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

协同探索
（学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM， ，，
即直径CD平分弦AB，并且平分及．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM，，.
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称
∵⊙O关于直径CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴，
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（本题的证明作为课后练习）
例1：如图， 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．

例2：如图，已知弧AB ，请你利用尺规作图的方法作出弧AB的中点，说出你的作法

例3．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．
解：不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18
R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324
解得R=34（m）
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0
解得x1=4，x2=64（不合设）
∴DE=4
∴不需采取紧急措施．

练习反馈
P82 练习．1，2 补充练习 3、4（见幻动片）
银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如下左图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米. 现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由.

小结提高
课堂小结：
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理及其推论以及它们的应用．
作业：全效学习

教学后记

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课
题
24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后勇圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
教材分析
重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
难点：探索定理和推导及其应用

教 学 过 程
备注
创设情境
【探究】
按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合

协同探索
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
【活动方略】
学生动手操作，观察操作结果；
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
例1．如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
例2．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴=，∠AOB=∠COD
思考题：如图，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

练习反馈
课堂练习
教材P83 练习1 、2 教材P90 练习2．
补充练习：
　如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

小结提高
课堂小结：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
作业 《 全效学习》

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.1.4 圆周角（1）
教学目标
1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
教材分析
重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．

教 学 过 程
备注
创设情境
探究：
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

协同探索
观察：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
问题1
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？
问题2
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？

【活动方略】．
教师结合示意图，构造出圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题
探究：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：www.1230.org 初中数学资源网
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
问题1
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？
问题2
当圆心在圆周角的一边上时，如何证明探究中所发现的结论？
问题3
另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，
∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，
而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
A
C
O
B
例1：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
求证：∠ACB=2∠BAC.

练习反馈
课堂练习
课本P86 练习1，2　
补充练习：
1。如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
2。一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

小结提高
课堂小结：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

作业：
全效学习

教学后记

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课
题
24.1.4 圆周角（2）
教学目标
1、 了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
2、 掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
3、 通过观察图形，提高学生的识图能力。通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力
教材分析
重点：通过活动探究四点共圆的条件。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

教 学 过 程
备注
创设情境
问题
演示课件：
1、向学生展示一组圆在生活中的图片。
2、一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？
问题
1、过一个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？
2、过两个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？
3、过三个点能作圆吗？能作几个圆，圆心和半径能确定吗？过四个点呢？

协同探索
【活动1】
1、过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？
2、这里有一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？
3、作圆的方法有几种？怎样去判断这四点共圆？
4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？
5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。还有没有另外的方法也能做到呢？
【活动2】
1、通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？
2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？
3、圆周角定理有哪些内容？
4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢？

练习反馈
练习：见幻动片

小结提高
1、通过这节课的活动，你有哪些收获？
2、你还能借助第三种载体探究四点共圆的条件吗？
作业：课后探究：
1、过四个点还可以作出这样的图形，同学们观察一下，它们有什么特征？
2、先观察具有公共斜边的两个直角三角形，这四个点共圆吗？为什么？

3、再观察一般的图形，探究过这两个三角形顶点的四点共圆的条件？
4、仿照活动1、2中的方法和步骤，对推测出来的条件应该如何证明？

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.2.1点与圆位置关系
教学目标
1．理解并涨握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d<r及其运用．
2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
4．了解反证法的证明思想．
教材分析
重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．
难点：讲授反证法的证明思路．

教 学 过 程
备注
创设情境
探究1：爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？

A
B
C

协同探索
由上面的画图以及所学知识，我们可知：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d
则有：点P在圆外d>r
点P在圆上d=r
点P在圆内d<r
反过来，也十分明显，如果d>r点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果d<r点P在圆内．
这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
练习：（幻动片）
下面，我们接下去研究确定圆的条件：
（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．
（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
老师在黑板上演示：
（1）无数多个圆，如图1所示．
（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．
其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．

(1) (2) (3)
（3）作法：①连接AB、BC；
②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；
③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．
在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．
在某些情景下，反证法是很有效的证明方法

练习反馈
1、练习（见幻动片）
1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在
2、教材P93练习1、2、3、4．

小结提高
归纳总结（学生总结，老师点评）
本节课应掌握：
1、 点和圆的位置关系： 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用．
作业：全效学习

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.2.2 直线与圆的位置关系（1）
教学目标
1. 了解直线和圆的位置关系的有关概念．
2. 理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：直线L和⊙O相交d<r；直线L和⊙O相切d=r；直线L和⊙O相离d>r．
3. 理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
教材分析
重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
难点：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价

教 学 过 程
备注
创设情境
探究：（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

则有：点P在圆外d>r，如图（a）所示；
点P在圆上d=r，如图（b）所示；
点P在圆内d<r，如图（c）所示．

协同探索
前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线L呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？
（学生活动）固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
（老师口答，学生口答）直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
（老师板书）如图所示：

如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？
（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？
老师点评直线L和⊙O相交d<r，如图（a）所示；

直线L和⊙O相切d=r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离d>r，如图（c）所示．
因为d=r直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线．
例1．例、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，分别以2cm，2.4cm，3cm长为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
练习：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
理由是：直线AB为⊙C的半径CD的外端并且CD⊥AB，所以AB是⊙C的切线．
刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？
实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙O于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．
因此，我们有切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径

练习反馈
巩固练习
1、教材P94 练习，．2、练习（见幻动片）

小结提高
归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）
本节课应掌握：
1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：
直线L和⊙O相交d<r
直线L和⊙O相切d=r
直线L和⊙O相离d>r
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用上面的知识解决实际问题．
作业：全效学习

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.2.2直线与圆的位置关系（2）
教学目标
1.理解切线的判定定理，并能灵活运用.2.会过圆上一点画圆的切线. 以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理，领会知识的延续性，层次性. 让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
教材分析
教学重点：探索切线的判定定理，并运用
教学难点：探索切线的判定方法

教 学 过 程
备注
创设情境
复习引入：
1、从交点情况看直线和圆的位置关系(形)：
2、从直线与圆心的距离和半径的大小情况看直线和圆的位置关系(数)：

协同探索
问题：1、下雨天，当你飞快地转动雨伞时，雨珠是怎样飞出的？
2、在砂轮上打磨工件时，火星是怎样飞出的？
切线的判定定理
1.推导定理：根据“直线和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线的距离，即垂直，并由d=r就可得到经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
分析：垂直于一条半径的直线有几条？
经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？
去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？
思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？
总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线．
思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？
①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③上面的判定定理.
思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
2. 定理应用
①完成课本例1
分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC,作出半径. 知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可.
练习：96 、1
②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O.
求证：⊙O与AC相切.
分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可.不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段等于半径，从而证明直线是圆的切线.
例2、如图，点A在⊙O上，AB不是 ⊙O的直径，且∠CAE=∠B。试证明：EF是⊙O的切线（图见幻动片）
3：怎样作切线：

练习反馈
1、如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

小结提高
小结：
1.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的作法：
3.常见作辅助线方法
作业：全效学习

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
教学目标
1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用.2.会过圆上一点画圆的切线. 以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性. 让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
教材分析
教学重点、难点：探索切线的判定定理和性质定理，并运用

教 学 过 程
备注
创设情境
复习：
1、切线的判定定理
2、切线的作法：
3、切线的证法：

协同探索
探究：一、如图，直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA，那么OA与直线l
O
A
l
B
有什么关系？
切线的性质定理：
1.阅读课本96页思考
因此，可得切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．
2.切线的性质归纳：
①切线和圆只有一个公共点.②切线和圆心的距离等于圆的半径.
③上面的性质定理.④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
3、巩固练习：1：P96 、2
2：如图（见幻动片），AB是⊙O的弦，过点A作⊙O的切线AC，如果∠BAC=55°，则∠AOB的度数是( )
55° B. 90° C. 110° D. 120°
例1、如图，AB切⊙O于点B，AB=4，AO=6，求⊙O的半径。（图见幻动片）
例2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB=CD，且AB与小圆切于点E。求证：CD也是小圆的切线（图见幻动片）
例3、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的半径。（图见幻动片）

练习反馈
3、如图，以O为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，切点为P。求证：AP=BP。
4、如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，若PB=2，AB=6，则PC=
5、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边的中点，⊙O与腰AB相切于点D。
求证：AC与⊙O也相切
6、如图，AB是⊙O的直径，直线PQ过⊙O上的点C，∠BCP=∠A。求证：PQ是⊙O的切线。
7、如图，OA⊥OC，且交⊙O于点B，E为⊙O上的一点，AE交OC于点D，
且CD=CE。求证：CE是⊙O的切线。
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交斜边为点E，F为
BC的中点。求证：EF是⊙O的切线。（图见幻动片）

小结提高
小结：
切线的性质定理：
切线的用
作业：全效学习

教学后记

长郡雨花外国语学校数学教案
课
题
24.2.2直线与圆的位置关系（4,5）（共两节课）
教学目标
1、 掌握切线长定理的概念和性质。
2、 会运用切线长定理解决简单的实际问题
3、通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
4、 培养学生自主探究，勇于发现，善于解决问题的能力。
教材分析
教学重点：
切线长定理的概念和性质
教学难点：
会运用切线长定理解决简单的实际问题.

教 学 过 程
备注
创设情境
一）观察、猜想、证明，形成定理
动手做一做：在纸上画出⊙O的切线PA，
A为切点（复习如何作切线），而后连结PO，
并沿PO将纸对折，你们能够发现什么