二次函数专题--线段问题.doc

西青区2017年中考复习数学
教学研讨课

专题复习：二次函数综合题-----线段问题

工作单位：杨柳青二中
姓名：姜洪

复习专题 二次函数综合题—线段问题
一、内容和内容解析
1. 内容
二次函数综合题---线段问题
2. 内容解析
本节课是对二次函数综合题解题思路的研究。以2016年天津市中考第25题为例，通过对这道题的剖析，引导学生在解题时借助二次函数图象直观反映函数的基本性质，以及通过图形变换与二次函数问题的结合使学生深刻理解二次函数图象平移的规律及其本质特征，在数形结合中实现“以数表形”的转化。另外本节课还将二次函数与几何知识如线段的垂直平分线、勾股定理及一次函数等有机结合，抓住由点的坐标，表示图象或几何图形中的相关线段的长度这一通法，使学生体会到数形结合思想、方程思想以及转化思想是重要性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：二次函数综合题中的等长线段问题．
二、目标与目标解析
1. 目标
（1）通过求二次函数的顶点坐标及对称轴，进一步掌握二次函数性质；
（2）深入理解二次函数图形的变换规律，体会图象上点的坐标满足函数关系式的作用，并能利用相关知识进行计算；
（3）通过综合运用二次函数与几何图形等知识问题解决线段问题.
（4）进一步体会数形结合、方程以及转化等思想方法．
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是：会通过配方法将数字系数的二次函数的解析式化为 的形式，并由此得到二次函数图象的顶点坐标及特殊点的坐标.
达成目标（2）的标志是：画出二次函数图象理解二次函数变换规律，利用待定系数法求二次函数的解析式.
达成目标（3）的标志是：用点的坐标表示线段的长度解决相关的问题.
达成目标（4）通过二次函数与几何知识的结合，体现数形结合、方程以及转化等数学思想方法．
三、教学问题诊断分析
二次函数问题是近几年来中考的压轴题，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对这一知识的要求一方面掌握函数的基本知识，另一方面以二次函数为载体把数 (计算、证明 )与形 (图象 )融合起在几何的计算问题中，就是已知其中的一些量，对其它的量进行计算，其本质是在几何图形的位置或形状发生变化过程中，这些量具有某种数量关系．而对于对于一般情况，需要用字母表示数，用到方程等思想方法，综合性比较强，学生会遇到一些困难．
基于以上分析，本节课的难点是：运用二次函数，几何等知识问题解决线段问题的方法．
四、教学过程设计：
（一）单元导入，明确目标
（1）通过求二次函数的顶点坐标及对称轴，进一步掌握二次函数性质；
（2）深入理解二次函数图形的变换规律，体会图象上点的坐标满足函数关系式的作用，并能利用相关知识进行计算；
（3）通过综合运用二次函数与几何图形等知识问题解决线段问题；
（4）进一步体会数形结合、方程以及转化等思想方法．
（二）创设情境，知识回顾
问题1 二次函数平移的规律是什么？

图1
师生活动：学生课前回顾本章相关知识，填空，课上一名同学回答，教师和其他学生进行评价或作适当的补充．
设计意图：回顾二次函数图形平移的规律，复习巩固学生对基本知识的认识，为本节课综合应用知识解决问题做好知识准备．
（三）巩固基础 提高能力
问题2 求出抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点坐标P，与y轴的交点为Q，并画出二次函数的大致图象.
师生活动：教师出示问题，并用配方法求出顶点坐标及y轴的交点，教师指导.在学生画出图象的过程中，可提出以下问题．
教师追问：如何描点更有针对性？
师生活动：关注学生是否知道：在配方转化的基础上，确定顶点，与y轴交点，利用特殊点及图象的对称性画出图象.
设计意图：再次感受画二次函数图象的一般过程，把“形”问题转化为“数”的问题，数形结合是数学解题的基本思想方法，体会到二次函数与方程之间的关系.
（四）综合应用 能力提升
问题3：将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，抛物线发生了什么变化？
学生：位置改变，形状大小没变．
教师追问：这两条抛物线自变量和函数值有什么变化？
师生活动：教师几何画板动态演示两条抛物线的平移变化，引导学生进行观察，体会．
设计意图：引导学生从函数的图象以及变换操作上理解平移的特征，为综合应用知识解决问题做好铺垫．
问题4 已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．将抛物线C向上平移得到抛物线C′，且FQ′=OQ′．求抛物线C′的解析式；
教师追问1：平移后的抛物线的解析式怎么表示？点Q平移后的对应点为Q′怎么表示？
教师追问2：线段OQ′与FQ′怎么表示？

图2 图3
师生活动：学生思考后回答问题，教师引导学生将点的坐标转化成表示线段的长度，作出辅助线得到△FQ′H教师利用几何画板将△FQ′H移出， 学生通过线段之间的关系建立方程，求出Q′点的坐标，从而二次函数的解析式得求.
设计意图：引导学生由点的坐标表示图象或几何图形中的相关的线段的长度，利用勾股定理建立参数方程，进一步体会方程的数学思想.
归纳：平面直角坐标系中，任意两点间线段的长度，需构造直角三角形，利用勾股定理建立方程解决问题.
（五）链接中考 拓展训练
问题5若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．
教师追问1：点A的具体位置是什么？
学生活动：二次函数与一次函数图象的交点坐标.
设计意图：引导学生画出题目要求的图形，讨论分析点的坐标与函数之间的关系，进一步体会数形结合的思想。
教师追问2：如何求出点A的坐标？不妨设过点A作x轴的垂线，交FQ′于点N ?
师生活动：教师引导学生思考作出辅助线将点的坐标转化到线段的长度的问题上，再把图形中相关线段用式子表示出来.
教师追问3：如何表示线段AF？
师生活动：教师引导学生把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，利用勾股定理表示出线段的表达式，在化简过程中与二次函数的再次结合，从得出AF的表达式.
教师追问4：题目中有哪些等量关系式，求出点A的坐标？
师生活动：教师引导学生找出与线段AF相等的线段AN,建立方程，求出，将点A的横坐标代入二次函数解析式. 所有同学在学案上书写解答结果，一名学生在投影仪展示自己的解答结果，教师和其他学生对这名学生的答案进行评价．
设计意图：引导学生体会点的坐标问题 线段的长度 图形的特征以及二次函数点的坐标这一解题思路，引导学生经历求点的坐标的两个重要步骤（1）定位（2）计算的过程．将数形结合、转化、方程思想应用到综合问题中.
（六）课堂小结
师生活动：学生在教师的引导下，回顾本节课的主要内容．回答以下问题：
问题6（1）通过本节课的复习，你都有哪些收获；
（2）在解题过程中，我们用到哪些数学思想？
关键点的坐标
函数解析式
线段的长度
数
形
结
合
方程
二次函数之线段问题的通法
几何特征
转化
几何图形

图4
设计意图：通过小结，归纳提升，理清二次函数综合问题中线段问题的通法，有利于学生深刻认识函数与几何图形之间的联系，体会数学思想，积累基本的数学活动经验．
6 作业布置
五、目标检测设计：
（2017年西青一模．25题）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
设计意图：考查学生用待定系数法求解析式及用配方法求顶点坐标.
（Ⅱ）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
设计意图：考查学生二次函数图象的平移变换的规律及应用，特别注意自变量的取值范围.
（Ⅲ）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，
请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
A
B
C
D
O
M
x
y
第（25）题
设计意图：考查学生应用相似三角形的性质定理解决二次函数中线段的问题的能力.
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