高中数学试题：平面向量单元复习题(一).doc

平面向量单元复习题（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列命题正确的是 （ ）
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b
D.对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
2．如图，四边形ABCD中，＝，则相等的向量是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3．下列命题中，正确的是 （ ）
A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若a＝b，则a与b是平行向量
C.若|a|＞|b|，则a＞b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3（a－b），则 （ ）
A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线
5．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是 （ ）
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
6．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，
，，，，，，，，中与
共线的向量有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7．若M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是 （ ）
A. ＋＋ B. ＋＋
C. ＋＋ D.3＋
8．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于（ ）
A.0 B.3 C. D.2
9．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD
为平行四边形，则 （ ）
A.a＋b＋c＋d＝0 B.a－b＋c－d＝0
C.a＋b－c－d＝0 D.a－b－c＋d＝0
10．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
且＝a，＝b，＝c，则下列各式：①＝
c－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0
其中正确的等式的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，
若＝a，＝b，则＝__ _____.
12．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式
3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____.
13．设a表示“向东走4 km”，b表示“向北走3 km”，
则a＋b表示_____________.
14．a、b是给定的不共线的向量，且，则向量x＝_________，y＝________.
15．已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，则用a，b表示为___________.
16．已知四个力F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（4，－3），F4作用于物体的同一点，若物体受力后保持平衡，则F4＝_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a、b表示和.

18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证＋＋＋＝4.

19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：＝（＋）

20．（本小题满分15分）在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，试用a，b表示.

21． (本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

平面向量单元复习题（一）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（b－a） 12．4 2 13．向东偏北arcsin方向走5 km.
14．a＋b，－a＋b 15．a－b 16．(1，2)
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，
试用a、b表示和.
【解法一】 连结CN，则AN DC
∴四边形ANCD是平行四边形.
＝－＝－b，又∵＋＋＝0
∴＝－－＝b－a
∴＝－＝＋＝－b＋a＝a－b
【解法二】 ∵＋＋＋＝0
即：a＋＋（－a）＋（－b）＝0，∴＝b－a
又∵在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，
即：b＋a＋＋（－a）＝0，∴＝a－b.
【评注】 比较两种解法，显然解法二更简捷.
18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证＋＋＋＝4.
【证明】 ∵E是对角线AC与BD的交点，∴＝＝－，＝＝－.
在△OAC中，＋＝，
同理有＋＝，＋＝，＋＝.
四式相加可得：＋＋＋＝4.
19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：＝（＋）
【证法一】 ∵E、F分别为DA、BC的中点.
∴＝，＝
又∵＋＋＋＝0 ①
＋＋＋＝0 ②
①＋②，得2＋（＋）＋（＋）＋（＋）＝0
∴2＝－＋（－）＝＋
∴＝（＋）
【证法二】 连结EC，EB
∵＋＝ ①
＋＝ ②
①＋②，得2＋0＝＋
∴＝（＋）
又∵＝＋ ③
＝＋ ④
③＋④，得＝（＋＋＋），又∵＋＝0，
∴＝（＋）.
20．（本小题满分15分）在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，试用a，b表示.
【解】 因为M为BC的中点，所以有
＝＝（－）＝（b－a）
＝＋＝（a＋b），因为∥，∥.
根据向量共线的充要条件，存在实数λ和μ，使得
＝λ＝λ（b－a），＝μ＝μ（a＋b）
因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝(－)a＋b
根据基本定理有，解方程得λ＝μ＝，可得＝（b－a）.
21． (本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【证明】 （1）若a、b中有一个为0时，不等式显然成立.
（2）若a，b都不等于0时，作＝a，＝b，
则＝a＋b.
①当a、b不共线时，如图（1）有
|||－|||＜||＜||＋|| （1）
即：||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
②当a、b共线时
1°若a、b同向，如图（2）有 （2）
||＝||＋||
即：|a＋b|＝|a|＋|b|.
2°若a，b反向时，如图（3）有 （3）
|||－|||＝||
即：||a|－|b||＝|a＋b|
综上可知：
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.