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(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(1,2) D.
【解析】 依题意得
解得a的取值范围是≤a<2，故选D.
【答案】 D
2．函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么( )
A．a∈(－∞，－1) B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
【解析】 ∵函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b为二次函数且开口向上，
其对称轴方程为x＝－＝.
若使y＝3x2＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数，
则≥1，解得a≤－2.
【答案】 C
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，
∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.
【答案】 D
4．(2010年邵武模拟)定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
【解析】 由题意知
当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，
又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
【答案】 C
5．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是( )
A．a＝－1或3 B．a＝－1
C．a＞3或a＜－1 D．－1＜a＜3
【解析】 若a2－2a－3≠0，则f(x)为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．
若a2－2a－3＝0，即a＝－1或3；
当a＝3时，f(x)＝1不合题意；
当a＝－1时，f(x)＝－4x＋1符合题意．
【答案】 B
6．函数y＝f(x)对于任意x、y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则( )
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
【解析】 设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－1－f(x2)
＝f(x1－x2)－1＞1－1＝0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)为增函数．
又∵f(3)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－1－1
＝3f(1)－2，
∴f(1)＝2.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知f(x)＝ 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．
【解析】 ∵当x≥1时，y＝logax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减，
∴a＜；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x＝1时，(3a－1)x＋4a＞logax，得a＞，
综上可知，＜a＜.
【答案】 ＜a＜
8．y＝的递减区间是________，y＝的递减区间是________．
【解析】 y＝＝－1＋，
定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．
对于函数y＝，其定义域为－1＜x≤1.
由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]．
【答案】 (－∞，－1)和(－1，＋∞)(－1,1]
9．(2008年湖南高考)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a＞0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)由3－ax≥0且a＞0，a≠1，得x≤，
∴定义域为(－∞，]．
(2)当a＜0时，f(x)＝在(0,1]上是减函数，符合题意．当a＝0时，f(x)＝－，不符合题意．
当0＜a＜1时，f(x)在(0,1]上是增函数，不符合题意．
当a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则≥1，
∴1＜a≤3.
综上所述，a的取值范围为(－∞，0)∪(1,3]．
【答案】 (1)(－∞，] (2)(－∞，0)∪(1,3]
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．判断f(x)＝在(0,1]上的单调性．
【解析】 f(x)＝在(0,1]上为减函数．
证明如下：
方法一：设x1，x2∈(0,1]，且x1＜x2.
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
∵x1，x2∈(0,1]且x1＜x2，
∴－＞0,1－＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)＝在(0,1]上是减函数．
方法二：∵f(x)＝＝＋＝x－＋x，
∴f′(x)＝－x－＋x－
＝－＋
＝.
又∵0＜x≤1，∴≤0(当且仅当x＝1时取等号)，
∴f(x)在(0,1]上为减函数．
11．(2010年广州模拟)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．
(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；
(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．
【解析】 (1)若n＜0，则n＝f(0)＝0，矛盾．
若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1，
所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．
(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，
所以2＋m＞0，即m＞－2，
令g′(x)＝1－＞0，得x＞1－m，
所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，
同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．
若2≤1－m即m≤－1时，
则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．
若m＞－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．
所以满足条件的m值为－1.
12．(2010年临沂模拟)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有＞0.
(1)解不等式f(x＋)＜f(1－x)；
(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x2＞x1，
则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝(x2－x1)＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，所以f(x)是增函数．
故由f(x＋)＜f(1－x)，
得
即不等式f(x＋)＜f(1－x)的解集为[0，)．
(2)由于f(x) 为增函数，
所以f(x)的最大值为f(1)＝1，
所以f(x)≤t2－2at＋1对x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立，
即t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．
令g(a)＝t2－2at＝－2ta＋t2，
可得，即，
解得t≤－2或t＝0或t≥2.
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