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可靠度作业参照答案

1. 已知一伸臂梁如图所示。梁所能承担的极限弯矩为Mu，若梁内弯矩M>Mu时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及原则差为：荷载记录参数，；跨度记录参数，；极限弯矩记录参数，，。试用中心点法计算该构件的可靠指标。

习题1图
解：（1）荷载效应记录参数

（2）抗力记录参数

（3）计算可靠指标

2. 假定钢梁承受确定性的弯矩M=128.8kNm，钢梁截面的塑性抵御矩W和屈服强度f都是随机变量，已知分布类型和记录参数为：
抵御矩W：正态分布，mW=884.9´10-6m3，dW=0.05；
屈服强度f：对数正态分布，mf=262MPa，df=0.10；
该梁的极限状态方程：Z= Wf -M =0
试用验算点法求解该梁可靠指标。
解：

（1）取均值作为设计验算点的初值

（2）计算ai的值

（3）计算Xi*

(4)求解b值
代入功能函数W*f*-M=0

得： b1=4.32 b2=51.60(舍去)
（5）求Xi*的新值
将b=4.32代入

反复上述计算，有
aW=0.322 af=0.946
W*=824.1´103mm3 f*=156.3N/mm2
b=4.262
进行第三次迭代,求得b=4.261，与上次的b=4.262比较靠近，已收敛。
取b=4.26，对应的设计验算点
W*=827.4´103mm3 f*=155.7N/mm2

3. 某随机变量X服从极值I型分布，其记录参数为：mX=300，dX=0.12。试计算x*=mX处的当量正态化参数。
解：

令
有

4. 某构造体系有4种失效也许，其功能函数分别g1、g2、g3和g4。经计算对失效模式1，b1=3.32，Pf1=(3.32)=4.5´10-4；失效模式2，b2=3.65，Pf1=(3.65)=1.33´10-4；失效模式3，b3=4.51，Pf3=(4.51)=3.25´10-6；失效模式4，b4=4.51，Pf3=(4.51)=3.25´10-6。已知g1与g2的有关系数为0.412，g1与g3的有关系数为0.534，g1与g4的有关系数为0.534；g2与g3的有关系数为0.856，g2与g4的有关系数为0.534。试用窄界线估算公式计算该构造体系的失效概率。
解：（1）选用失效模式代表
按失效概率由小到大依次排列，分别为失效模式1、失效模式2、失效模式3和失效模式4。以失效模式1为根据，g1(x)与g2(X)、g3(X)、g4(X)的有关系数，分别为：
r12=0.412；r13=0.534；r14=0.534
取r0=0.8，失效模式2、3、4均不能用失效模式1代表。
以失效模式2为根据，g2(X)与g3(X)、g4(X)的有关系数，分别为：
r23=0.856；r24=0.534
失效模式2、3可用失效模式2代表
因此，4种失效模式可由失效模式1、失效模式2和失效模式4代表
（2）计算共同事件发生的概率
对失效模式1和2， 有：

Max[P(A)，P(B)]£P（E1E2）£P(A)+P(B)
3.033´10-6 £P（E1E2）£5.789´10-6
对失效模式1和4， 有：

Max[P(A)，P(B)]£P（E1E4）£P(A)+P(B)
4.540´10-7 £P（E1E4）£7.230´10-7
对失效模式2和4， 有：

Max[P(A)，P(B)]£P（E2E4）£P(A)+P(B)
2.294´10-7 £P（E1E2）£3.897´10-7
（3）求解失效概率窄界线范围
P(E1)+max{[P(E2)-P(E2E1)+P(E4)-P(E4E1)-P(E2E4)]，0}
£ P £ P(E1)+ P(E2) +P(E4)-{ P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]}
即:
P(E1)+P(E2) +P(E4)-[P(E2E1)+P(E4E1)+P(E2E4)]
£ P £ P(E1)+ P(E2) +P(E4)-{P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]}
P(E1)+P(E2) +P(E4)= 4.5´10-4+1.33´10-4+3.25´10-6=5.8625´10-4
P(E2E1)+P(E4E1)+P(E2E4)= 5.789´10-6+7.230´10-7+3.897´10-7=6.9017´10-6
P(E2E1)+max[P(E4E1), P(E4E2)]= 3.033´10-6+mxa(4.540´10-7 , 2.294´10-7)
=3.033´10-6+4.540´10-7=3.487´10-6
5.8625´10-4-6.9017´10-6 £ Pf £ 5.8625´10-4-3.487´10-6
5.7935´10-4 £ Pf £ 5.8276´10-4

5. 单跨2层刚架如图 9.14(a)所示。已知各随机变量及记录特性，竖向杆的抗弯力矩M1=(111，16.7)kNm；水平杆的抗弯力矩M2=(277，41.5)kNm；荷载F1=(91，22.7)kN，F2=(182，27.2)kN，P=(15.9，4)kN。刚架也许出现塑性铰的位置如图9.14(b)所示，共14个，重要失效机构为8个，对应的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率列于表9-3中。试用PNET法求该刚架体系的可靠度。
表9-3 重要机构的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率
机 构
塑 性 铰
功能函数

1
5、6、7
4M2-F2L2/2
2.98
1.44´10-3
2
1、2、4、6、8、9
6M1+2M2-3L1P-F2L2/2
3.06
1.11´10-3
3
1、2、4、6、7、8
4M1+3M2-3L1P-F2L2/2
3.22
0.64´10-3
4
3、4、6、8、9
4M1+2M2-F2L2/2
3.28
0.52´10-3
5
1、2、3、4
4M1-3L1P
3.38
0.36´10-3
6
1、2、4、6、9、10、11
8M1+2M2-4L1P-F2L2/2
3.50
0.23´10-3
7
1、2、6、7、11、13
4M1+6M2-4L1P-F1L2/2-F2L2/2
3.64
0.14´10-3
8
1、2、6、7、10、11
4M1+4M2-4L1P-F1L2/2
3.72
0.10´10-3

(a)
(b)
图9.14 习题5图
[解] (1)各机构间的有关系数计算
sZi计算
机构
功能函数Zi
sZi
1
4M2-F2L2/2
=185.58
2
6M1+2M2-3L1P-F2L2/2
=160.24
3
4M1+3M2-3L1P-F2L2/2
=169.44
4
4M1+2M2-F2L2/2
=135.03
5
4M1-3L1P
=79.55
6
8M1+2M2-4L1P-F2L2/2
=181.24
7
4M1+6M2-4L1P-F1L2/2-F2L2/2
=285.41
8
4M1+4M2-4L1P-F1L2/2
=200.32

r0=0.7时计算的有关系数
机构
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1.0
0.69
0.88
0.83
0.00
0.60
0.91
0.90
2

1.0
----
----
0.67
0.99
----
----
5

1.0
----
----
----
(2) 刚架体系的可靠度
显然，代表机构为1、2和5。用PNET措施计算刚架体系的可靠度，得：

概率极限状态设计法作业

1. 已知某钢拉杆，其抗力和荷载的记录参数为=237kN，=19.8kN，=0.07，ΚR=1.12，且轴向拉力N和截面承载力R都服从正态分布。当目的可靠指标为β=3.7时，不考虑截面尺寸变异的影响，求构造抗力的原则值。
[解]

mR=355.55kN

2. 一简支板，板跨l0=4m，荷载的原则值：永久荷载(包括板自重)gk=10kN/m，楼板活荷载qk=2.5kN/m，构造安全等级为二级，试求简支板跨中截面荷载效应设计值M。
[解] (1)由可变荷载效应控制的组合：

=1.0×(1.2×20+1.4×5)= 31.0kN·m
(2)由永久荷载效应控制的组合：

=1.0×[1.35×20+1.4×5] = 34.0kN·m

3. 当习题2中荷载的准永久值系数为0.5时，求按正常使用计算时板跨中截面荷载效应的原则组合和准永久组合弯矩值。
[解] (1)荷载效应的原则组合Mk
=20+5 = 25 kN·m
(2)荷载效应的准永久组合Mq

= 20+0.5×5 = 22.5 kN·m

风荷载作业参照答案
1. 已知一矩形平面钢筋混凝土高层建筑，平面沿高度保持不变。H=100m，B=33m，地面粗糙度为A类，基本风压W0=0.44kN/m2。构造的基本自振周期T1=2.5s。求风产生的建筑底部弯矩。(注：为简化计算，将建筑沿高度划分为5个计算区段，每个区段20m高，取其中点位置的风荷载值作为该区段的平均风载值)
解：(1）体型系数ms=1.3
(2)风压高度变化系数mz
在各区段中点高度处的风压高度变化系数值分别：
mz（10）=1.38；mz（30）=1.80；mz（50）=2.03；mz(70）=2.20；mz(90）=2.34
(3)风振系数b
①第一振型函数f1(z)
；
；

②脉动影响系数n
H/B=3，n=0.49
③脉动增大系数x
W0T12=1.38´0.44´2.52=3.795 查表得：x=2.2795
④风振系数b(z)
各区段中点高度处，风振系数
b(10)=1.130；b(30)=1.217；b(50)=1.292；b(70)=1.355；b(90)=1.425
（4）计算各区段中点处的风压原则值
Wk（z）=bzmsmzW0
Wk（10）=0.8916；Wk（30）=1.2532；Wk（50）=1.5000；Wk（70）=1.7056；Wk（90）=1.9071
(5) 风产生的建筑底部弯矩Mk
Mk=(0.8916´10+1.2532´30+1.5000´50+1.7056´70+1.9071´90) ´20´33=272272.5kN.m
2. 钢筋混凝土烟囱H=100m，顶端直径为5m，底部直径为10m，顶端壁厚0.2m，底部壁厚0.4m。基本频率f1=1Hz，阻尼比=0.05。地貌粗糙度指数a=0.15，空气密度r=1.2kg/m3。10m高处基本风速v0=25m/s。问烟囱与否发生横风向共振，并求横风向风振等效风荷载。

[解]（1）横风向风振鉴别
烟囱顶点风速：
取构造2/3高度处计算共振风速，该处直径D=6.67m。
临界风速为：
近似取烟囱2/3高度处的风速和直径计算雷诺数，该处风速为：

雷诺数Re=69000vD=15.29´106>3.5´106
属跨临界范围，会出现强风共振。
（2）共振区范围
共振区起点高度H1：
共振区终点高度H2：
取H2=H，即该烟筒共振区范围为68.06-100m
(3)强风共振等效风荷载
跨临界强风共振引起在z高度处的等效荷载：

由H1/H=0.68，查表l1=0.982。
对应于H1的第1振型系数jz1=0.564，对应于烟囱顶点H的第1振型系数jz1=1.00。
混凝土构造的阻尼比z1=0.05。
共振起点处等效风荷载：wc1=0.961kN/m2
烟囱顶点H处等效荷载：wc2=1.705kN/m2
共振区范围等效风荷载按指数规律变化。

3. 在某大都市中心有一钢筋混凝土框架——关键筒构造的大楼(图1)，外形和质量沿房屋高度方向均基本呈均匀分布。房屋总高H=120m，通过动力特性分析，已知T1=2.80s，房屋的平面L´B=40m´30m，该市基本风压为0.6kN/m2。试计算该楼迎风面顶点(H=120m)处的风荷载原则值。

图1

解: (1)风压高度变化系数mz
地面粗糙度为C类，H=120m处风压高度变化系数mz=0.616（z/10）0.44=1.84
(2)风荷载体型系数ms
迎风面风荷载体型系数ms=0.8
(3)风振系数bz
0.62W0T12=0.62´0.6´2.82=2.92 查表得：脉动增大系数x=1.59
H/B=120/40=3， 查表得：脉动影响系数n=0.49
振型系数

(4)风荷载原则值Wk
Wk=bzmsmzW0=1.42´0.8´1.84´0.6=1.254kN/m2
地震作用作业参照答案

1. 某二层钢筋混凝土框架如图1所示，集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值相等(房屋假定为框-剪体系)，G1=G2=1200kN，场地为II类，设防烈度为8度罕遇地震，设计分组为第二组。Tg=0.4s，T1=1.028s，=0.05，试按底部剪力法计算水平地震作用。

解：（1）地震影响系数a
特性周期Tg=0.4s
抗震设防烈度8度，罕遇地震，地震影响系数系数最大值amax=0.90
Tg<T1<5Tg
阻尼比x=0.05时，取g=0.9，h2=1.0

（2）水平地震作用原则值FEK

(3)水平地震作用
T1>1.4Tg 顶部附加地震作用系数dn=0.08T1+0.01=0.09224

2. 已知一种三层剪切型构造，如图2所示。已知该构造的各阶构造周期和振型T1=0.433s、T2=0.202s、T3=0.136s。{f1}={0.301，0.648，1.000}T、{f2}={-0.676，-0.601，1.000}T、{f3}={2.47，-2.57，1.000}T。设计反应谱的有关参数为Tg=0.2s，=0.9，=0.16。试采用振型分解反应谱法求该三层剪切型构造在地震作用下的底部最大剪力和顶部最大位移。

解：(1)求底部最大剪力

①第一振型水平地震作用
5Tg>T1=0.433s>Tg 阻尼比x=0.05时，取g=0.9，h2=1.0

②第二振型水平地震作用
5Tg>T1=0.202s>Tg 阻尼比x=0.05时，取g=0.9，h2=1.0

③第三振型水平地震作用
0.1s<T1=0.136s<Tg 阻尼比x=0.05时，取g=0.9，h2=1.0

④底部最大剪力Vmax
通过振型组合求最大底部剪力：

若取前两阶振型反应组合，可取：

（2）求顶部最大位移
各振型地震作用产生的顶部位移：

通过振型组合求最大顶部位移：

前两阶振型组合顶部位移：

通过上述分析：
（1）构造的低阶振型反应比高阶振型反应大，一般状况下，振型反应随振型的阶数增大而减小。
（2）高阶振型反应对构造最大地震反应的奉献相对较少，一般可忽视。

3. 高度H=150m的钢筋混凝土烟囱，抗震设防烈度8度，基当地震加速度为0.15g，设计地震分组为第一组，III类场地，各质点的重力荷载代表值如图3所示。烟囱的阻尼比x=0.05，自振周期 T1=2.63s，第一振型如图3所示。试采用振型分解反应谱法，计算第一振型水平多遇地震作用下烟囱的底部剪力。

习题3图
解：（1）地震影响系数a1
设计地震分组为第一组，III类场地，特性周期Tg=0.45s
抗震设防烈度8度，多遇地震，地震影响系数系数最大值amax=0.16
T1=5.84Tg >5Tg
阻尼比x=0.05时，取g=0.9，h1=0.02，h2=1.0

（2）第一振型参与系数g1
（3）第一振型水平多遇地震作用下烟囱的底部剪力V1

重力作业一
1、 某地基由多层土构成，各土层的厚度、容重如图所示，试求各土层交界处的竖向自重应力，并绘出自重应力分布图。

习题1厚度和容重图
解：（1）各土层交界处的竖向自重应力：
sc1=18.23´2.5=45.6kN/m2
sc2=sc1+18.62´2.0=82.8kN/m2
sc3=sc2+9.80´1.5=97.5kN/m2
sc4=sc3+9.40´2.0=116.3kN/m2
（2）自重应力分布如下图：

2、 已知某市基本雪压S0=0.5kN/m2，某建筑物为拱形屋面，拱高f=5m，跨度l=21m，试求该建筑物的雪压原则值。
解：(1)屋面积雪分布系数
(2) 该建筑物的雪压原则值Sk=mrS0=0.525´0.50=0.2625kN/m2