高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分.doc

高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分
曲边梯形的面积与定积分
【知识网络】
1． 了解定积分的实际背景。
2． 初步了解定积分的概念，并能根据定积分的意义计算简单的定积分。
【典型例题】
[例1]（1）已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为 （ ）
A． B． C． D．
（2）下列定积分为1是 （ ）
A． B． C． D．
（3）求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 （ ）
A．［0，］ B．［0，2］　 C．［1，2］　 D．［0，1］
（4）由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　 　．
（5）计算= 。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？
（1）； （2）； （3）．
②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．
， ， 。

[例3]计算下列定积分：
； ；

； 。

[例4] 利用定积分表示图中四个图形的面积：
x
O
a
y = x2
l (1)
x
O
2
–1
y = x2
(2)
y
y
y=(x-1)2 -1
O
x
–1
2
(3)
x
a
b
O
l y = 1
(4)
y
y

【课内练习】
1． 下列定积分值为1的是 （ ）
A． B。 C。 D。
2． = （ ）
A．0 B。
C． D。
3． 设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分的符号 （ ）
A．一定是正的 B．当0<a<b时为正，当a<b<0时为负
C．一定是负的 D．当0<a<b时为负，当a<b<0时为正
4． 由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）
A． B。
C． D。
5． 和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为 。
6． 曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为　　　　　．
7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+…+n2=）

8． 求由曲线与所围的图形的面积.

9． 计算，其中,

10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。

曲边梯形的面积与定积分
A组
1． 若是上的连续偶函数，则 （ ）
A． B．0 C． D．
2． 变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为 （ ）
A． B． C． D．
3． 由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4． 设且，，给出下列结论：
①A＞0；
②B＞0；
③；
④。
其中所有正确的结论有 。
5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积。已知函数y＝sinnx在[0，]（n∈N*）上的面积为。
①y＝sin3x在[0,]上的面积为　 　；
②y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　 。
6． 求由曲线与所围的图形的面积。

7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实：
①；
②。

8． 物体按规律（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x=0到x=2阻力所做的功的积分表达式．

曲边梯形的面积与定积分
B组
1． 如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为 （ ）
A．0.18kg·m B．0.26kg·m C．0.12kg·m D．0.28kg·m
2． 已知b＞a，下列值：，，||的大小关系为 （ ）
A．||≥≥
B。≥||≥
C．= ||=
D．= ||≥
3． 若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积 （ ）
A． B．
C． D．
4． 给出下列命题：
①若＞0，b＞a，则f(x)＞0；
②若f(x)＞0，b＞a，则＞0；
③若=0，b＞a，则f(x)=0；
④若f(x)=0，b＞a，则=0；
⑤若=0，b＞a，则f(x)=0。
其中所有正确命题的序号为 。
5． 给出下列定积分：
① ②
③ ④
其中为负值的有 。
6． 求由曲线所围图形的面积。

7． 计算：。

8． 试问下面的结论是否成立？
若函数f(x)在区间[a，b]上是单调增函数，则
。
若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。

参考答案
曲边梯形的面积与定积分
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
3． B。
（4）或。
（5）。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。
[例2]①（1）正 (2)正 (3)负。
②≥ ≥。
[例3] (1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。
[例4] (1) ； (2) ； (3) ；
(4) ．
【课内练习】
1． C。
2． A。提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。
3． A。
4． C。
5． 。
6． 。
7． 。提示：请参看教材P42~44。
8． 6。
9． 6。
10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：。

曲边梯形的面积与定积分
A组
1． C。
2． B。
3． C。
4． ①③④。
5． ①；②。
6． 。
7． 定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可尝试用这四步进行说明或证明。
8． 变力作功公式中，F(x)是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将F表示出来．
依题意得：F＝kv，但这不是x的函数，应将v用x表示．
∵v=x＇=8t，而， ∴．
另外，此题F是与物体运动方向相反的，∴．

B组
1． A。
2． B。
3． A。
4． ②④⑤。
5． ②③。
6． 。
7． 2π。提示：问题即求上半圆的面积。
8． 结论成立。说明可按照定积分的定义进行。