正余弦图像和性质.doc

正弦函数、余弦函数的图像与性质

从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:

通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,关键点也有五个,
它们是
例1 画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π].
解:(1)按五个关键点列表:
x
0

sinx

1
0

0
1+sinx
1

1

1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).
图4
x

2π
cosx
1

-1
0

-cosx

0

-1

(2)按五个关键点列表:
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).
图5

定义:对于函数f(x),如果存在一个 T,使得当x取定义域内的 值时,都有 ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的 .
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的 .正弦函数是周期函数, (k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函数的周期.
例1 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; (3)y=2sin(-),x∈R.

总结规律：一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期为T=.

变式训练
1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11)，f(-9)

2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(7)，f(8)

3.求函数y=2sin(π-x)的周期.
4.已知函数y=2sin的周期为，求的值.
对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值 .(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.
对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值 .

如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-,］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.

图3 图4 图5

结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是 函数,其值从-1增大到1;
在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;
在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是 函数,其值从1减小到-1.

三角函数的性质

例 函数y=3sin(x+)的性质.
解：
函数y=3sin(x+)的值域是
函数y=3sin(x+)的周期是
函数y=sint的单调递增区间是［+2kπ,+2kπ］，k∈Z..
由-+2kπ≤x+≤+2kπ, --+2kπ≤x≤-+2kπ,
+2kπ≤x≤+2kπ,两边同时乘以2，得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
因此,函数y=3sin(+)的单调递增区间是［, ］，k∈Z..
函数y=sint的单调递减区间是［+2kπ,+2kπ］，k∈Z..
由+2kπ≤x+≤+2kπ,得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
因此,函数y=3sin(+)的单调递减区间是
最值：
,
此时解出
,
此时解出