高2017届高一下期末复习资料(数列).docx

高2017届高一下期末复习资料(数列)
一、基础知识梳理：
1． 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2． 数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1__>__an
其中n∈N*
递减数列
an＋1__<__an
常数列
an＋1＝an
按其他
标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3. 数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4． 数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5． 已知Sn，则an＝.
二、典型例题讲解:
题型一　由数列的前几项求数列的通项
【例1】　写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；(2)，，，，，…；(3)－1，，－，，－，，…；(4)3,33,333,3 333，….
【变式训练1】根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)，，－，，－，，…；(2)，1，，，…；(3)0,1,0,1，….
题型二　由数列的递推关系求通项公式
【例2】　(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
【变式训练2】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1 (n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.
题型三　由数列的前n项和求通项公式
【例3】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
【变式训练3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．
§5-6　等差数列及其前n项和
一、基础知识梳理：
1． 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3． 等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．
7． 等差数列的最值：在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．
8． 等差数列的判断方法：(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.
9． 等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.
10． 等差数列与函数：在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.
二、典型例题讲解：
题型一　等差数列基本量的计算
【例1】　(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【变式1】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足
S5S6＋15＝0 . (1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．
题型二　等差数列的前n项和及综合应用
【例2】　(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
【变式2】 (2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
题型三　等差数列性质的应用
【例3】　设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180 (n>6)，求数列的项数n.
【变式3】 (1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2 (n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.
(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．
§5-7　等比数列及其前n项和
一、基础知识梳理：
1． 等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．
2． 等比数列的通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3． 等比中项：若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
4． 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5． 等比数列的前n项和公式：等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
6． 等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
二、典型例题讲解：
题型一　等比数列的基本量的计算
例1　等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【变式1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．
题型二　等比数列的性质及应用
例2　在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
【变式2】 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 (　　)
A．5 B．7 C．6 D．4
(2)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.
题型三　等比数列的判定
例3　 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
§5-8数列求和
一、基础知识梳理：
1． 等差数列前n项和Sn＝＝na1＋d，推导方法：倒序相加法；
等比数列前n项和Sn＝推导方法：错位相减法．
2． 数列求和的常用方法
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3． 常见的拆项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.
二、典型例题讲解：
题型一　分组转化求和
例1　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq (n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：
(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
【变式】 求和Sn＝1＋＋＋…＋.
题型二　错位相减法求和
例2　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【变式2】 (2011·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．
题型三　裂项相消法求和
例3　在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
【变式3】 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.