周考2016[1]1030答案.doc

DBACC CDDDC BA
13．已知函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点等于____________．
【答案】
14.已知为第三象限的角，，则 .
【答案】
【解析】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 因为为第三象限角，所以，又<0，所以，于是有,
，所以.
15．在中，，。若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 。
【答案】
【解析】结合余弦定理求，即
，解得，然后结合椭圆的定义和焦距求离心率。
16．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．
【答案】
【解析】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．
（2）a≠1，构造函数y1=（a-1）x-1，y2=x 2-ax-1，它们都过定点P（0，-1）．
考查函数y1=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），
∴a＞1；
考查函数y2=x 2-ax-1，显然过点M（，0），代入得：()2−−1＝0，
解之得：a=，或a=0（舍去）．
故答案为：
17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，
sinB＝cosC．
(1)求tanC的值；
(2)若a＝，求ABC的面积．
【解析】解：(1)∵0<A<π，cosA＝，
∴sinA＝＝．
又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC，
∴tanC＝．
(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝．
于是sinB＝cosC＝．
由a＝及正弦定理＝，得c＝，
设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝．
18．如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

解法一：

(Ⅰ)连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知 即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，，
故平面EDC，内的两条相交直线都垂直.

,
,
所以，.

(Ⅱ) 由知
.
故为等腰三角形.
取中点F，连接，则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG，AG=，,
,
所以，二面角的大小为120°.

解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，

设则,,.
(Ⅰ),
设平面的法向量为,
由,
故
令，
又设，则
,

设平面的法向量，
由,得
，
故 .
令，则.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中点F，则,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量与的夹角等于二面角的平面角.
于是 ,
所以，二面角的大小为120°.
19.已知数列中，．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
试题解析：（1）由知，，
又是以为首项，为公比的等比数列，
（2） ，
，
两式相减得，

若n为偶数，则
若n为奇数，则

20．设函数。
若，求的单调区间；
若当时，求的取值范围
【解析】（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
21．如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．
【解析】(Ⅰ)由题：； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)
由(1) (2)可解得：．∴所求椭圆C的方程为：．
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴．
设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，
代入椭圆：．
显然．
∴﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
∴|AB|＝||＝＝．
∵点P(2，1)到直线l的距离为：．
∴SABP＝d|AB|＝，其中﹣＜m＜且m≠0．
利用导数解：令，
则
当m＝时，有(SABP)max．
此时直线l的方程
22．（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（2）已知正数满足，求的最小值.
【解析】
（1）由绝对值的性质得，
所以的最小值为，从而，解得，
因此的最大值为.
（2）由于，所以

当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为.