函数的概念1.docx

2．1.1　函数的概念和图象(一)
明目标、知重点　1.理解函数的概念，明确决定函数的三个要素.2.学会求某些函数的定义域.3.掌握判定两个函数是否相同的方法.4.理解静与动的辩证关系．

1．函数的概念
设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
2．求函数定义域的基本方法
求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．已知函数y＝f(x)：
(1)若f(x)为整式，则定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；
(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．

[情境导学]
初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．
探究点一　函数的概念
思考1　分析课本上的实例，谈谈函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域是怎么定义的？
答　一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
思考2　理解函数的定义，我们应该注意什么？
答　①函数是非空数集到非空数集上的一种对应．
②符号“f：A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应法则，三者缺一不可．
③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性．
④f表示对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样．
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积．
⑥在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
例1　判断下列对应是否为函数：
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
解　(1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，
所以当x≠0时x→是函数，
这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．
(2)考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
反思与感悟　判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x对应两个或两个以上的y值．
跟踪训练1　判断下列对应是否为集合A到B的函数，若不是，说明原因．
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,6,8,10}，f：x→2x；
(2)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,2,4,6,8}，f：x→2x；
(3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝N，f：x→2x.
解　(1)是A到B的函数；(2)不是，因为A中的元素5在B中没有值对应；(3)是A到B的函数．
探究点二　求函数的定义域
思考1　函数概念用集合对应的语言叙述后，思考y＝1(x∈R)是函数吗？y＝x与y＝是同一个函数吗？
答　y＝1(x∈R)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应法则“函数值是1”，在R中y都有唯一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数．y＝x与y＝不是同一个函数，因为尽管它们的对应法则一样，但y＝x的定义域是R，而y＝的定义域是{x|x≠0}．所以y＝x与y＝不是同一个函数．
思考2　如果两个函数的对应法则和定义域相同，这两个函数相等吗？
答　由于函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，所以当两个函数的对应法则和定义域相同时，这两个函数相等．
例2　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝.
解　(1)因为当x－1≥0，即x≥1时，在实数范围内有意义；当x－1<0，即x<1时，在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是{x|x≥1}．
(2)因为当x＋1≠0，即x≠－1时，有意义；
当x＋1＝0，即x＝－1时，没有意义，
所以这个函数的定义域是{x|x≠－1，且x∈R}．
反思与感悟　函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域．那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函数的定义域可用两种方法表示：集合、区间．
跟踪训练2　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解　(1)当x－2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．
(2)当3x＋2≥0，即x≥－时，有意义，
∴函数y＝的定义域是[－，＋∞)．
(3)由⇒，
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1}∩{x|x≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞)．
探究点三　求抽象函数的定义域
例3　(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
解　(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，须使0<x2<1，
即－1<x<0或0<x<1，
∴函数f(x2)的定义域为{x|－1<x<0或0<x<1}．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
即其中的函数自变量x的取值范围是0<x<1，
令t＝2x＋1，∴1<t<3，∴f(t)的定义域为1<t<3，
∴函数f(x)的定义域为{x|1<x<3}．
反思与感悟　函数f(x2)或函数f(2x＋1)的自变量仍然是x，所以求f(x2)或f(2x＋1)的定义域，依然是求自变量x的取值范围，可以把x2或2x＋1看作一个整体，这个整体的取值范围相当于f(x)中的x的取值范围．
跟踪训练3　已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
解　∵f(x＋1)的定义域为－2≤x≤3，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，
∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]．
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，须使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
∴函数f(2x2－2)的定义域为{x|－≤x≤－或≤x≤}．

1．对应f：x→，x∈R________(填“是”或“不是”)函数．
答案　不是
解析　因为x＝0时没有元素与之对应．
2．函数y＝＋的定义域是________．
答案　{2}
解析　要使原式有意义，则，解得x＝2，即函数定义域是{2}．
3．记函数f(x)＝的定义域为A，则A∩N中有______个元素．
答案　4
解析　由3－x≥0，得x≤3，即A＝{x|x≤3}，所以A∩N＝{0,1,2,3}，有4个元素．
4．已知全集U＝R，函数y＝＋的定义域为集合A，函数y＝的定义域为集合B.
(1)求集合A和集合B；
(2)求集合(∁UA)∩(∁UB)．
解　(1)因为所以x≥2，
所以A＝[2，＋∞)．
因为所以x≥－2且x≠3，
所以B＝[－2,3)∪(3，＋∞)．
(2)因为A＝[2，＋∞)，所以∁UA＝(－∞，2)．
因为B＝[－2,3)∪(3，＋∞)，
所以∁UB＝(－∞，－2)∪{3}，
所以(∁UA)∪(∁UB)＝(－∞，2)∪{3}．
[呈重点、现规律]
1．函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；y＝f(x)表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，或定义域和对应法则一样才是同一函数．
2．在y＝f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数．

一、基础过关
1．下列对应：
①M＝R，N＝N*，对应法则f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”；
②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；
③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应法则f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”．
是集合M到集合N上的函数的有________个．
答案　1
解析　①M中有的元素在N中无对应元素．如M中的元素0；③M中的元素不是实数，即M不是数集；只有②满足函数的定义．
2．设f：x→ax－1为从集合A到B的函数，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
答案　5
解析　∵f(2)＝3，∴2a－1＝3，解得a＝2.
∴f(3)＝3a－1＝5.
3．在对应法则：x→y，y＝|x|＋b，x∈R，y∈R中，若2→5，则－2→________，________→6.
答案　5　±3
解析　由2→5得b＝3，故x＝－2时，y＝5；y＝6时，x＝±3.
4．下列各组函数中，表示同一函数的有________个．
①y＝x－1和y＝；
②f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；
③f(x)＝和g(x)＝.
答案　1
解析　①中两函数的定义域不同；②中两函数的对应法则不同，③中两个函数都能化为f(x)＝1(x>0)，表示同一个函数．
5．下列关于符号y＝f(x)表示的意义解释正确的是______．(填序号)
①y等于f与x的积；
②y是x的函数；
③对于同一个x，y的取值可能不同；
④f(1)表示当x＝1时，y＝1.
答案　②
解析　①显然不对；③不符合函数的定义；④中f(1)表示当x＝1时的函数值，并不一定等于1；只有②正确．
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有______个．
答案　0或1
解析　当x＝2在函数y＝f(x)的定义域中时，公共点是1个；当x＝2不在函数y＝f(x)的定义域中时，公共点是0个．
7．判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，
故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应法则f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，故在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
二、能力提升
8．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是________．

答案　③
解析　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知③中图象不表示y是x的函数．
9．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是________．
①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；
③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.
答案　③
解析　将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．
对于①，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于②，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于③，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于④，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有③不满足f(2x)＝2f(x)，所以填③.
10．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是________．
答案　1
解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f[f(－1)]＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．
11．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
12．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，B＝{x|x<a}．
(1)求集合A；
(2)若A⊆B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求∁UA及A∩(∁UB)．
解　(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3}，使有意义的实数x的集合是{x|x>－2}．
所以，这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>－2}＝{x|－2<x≤3}．
即A＝{x|－2<x≤3}．
(2)因为A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x<a}且A⊆B，
所以a>3.
(3)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x≤3}，
所以∁UA＝(－∞，－2]∪(3,4]．
因为a＝－1，所以B＝{x|x<－1}，
所以∁UB＝[－1,4]，所以A∩∁UB＝[－1,3]．
三、探究与拓展
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)

(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
解　(1)∵横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0<A<6.84.
故值域为{A|0<A<6.84}．
(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．