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第一章 行列式,【主要内容】二阶和三阶行列式、n 阶行列式、行列式性质、行列式按行(列)展开、克莱默法则。,第一节 二阶与三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,用二阶行列式可表示为,例1-1,解,二、三阶行列式,定义1-1,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例1-2,解,按对角线法则，有,例1-3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,第二节 排列及其逆序数,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,二、全排列及其逆序数,问题,定义1-2,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义1-3,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义1-3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数的个数之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这 n 个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1-4 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列,当 为奇数时，排列为奇排列.,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,第三节 n 阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n 阶行列式的定义,定义,说明,1、 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,第四节 行列式的性质,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,0,8,-10,0,-10,15,0,5/2,例 2,解,例3 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,课堂练习,注意: 后一次的运算是作用在前一次运算结 果之上,例如, 下面的运算是错误的, 出错的原因是第二次运算找错了对象,例4,证明,证明,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,第五节 行列式按行(列)展开,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,a23 的余子式为:,a23 的代数余子式为:,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,这个定理叫做行列式按行(列)展开法则,利用它可对行列式进行降阶计算.,例1 计算行列式,例2 计算行列式,解,按第一行展开，得,另解,按第二行展开，得,课堂练习,例3 计算行列式,解,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,2.,第七节 克拉默法则,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,例1 用克拉默则解方程组,解,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,第二章 矩阵及其运算,【主要内容】矩阵概念、矩阵的运算、矩阵的初等变换、矩阵的秩、逆矩阵。,第一节 矩阵,一、矩阵概念的引入,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,由 个数排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,主对角线,副对角线,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,例2 设,解,三、小结,(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,第二节 矩阵的运算,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中,例,设,例2,故,解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,注意矩阵不满足交换律，即：,例 设,则,但也有例外，比如设,则有,例3 计算下列乘积：,解,解,=(,）,解,例4,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,例5 已知,解法1,解法2,2、方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,方阵的行列式,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,第三节 矩阵的初等变换和矩阵的秩,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,二、阶梯形矩阵,定义2,例如:,定义3,例如:,解:,三、矩阵的秩,例2,解,例3,解,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,练习:,四、小结,初等行变换：对调两行；以不为零的数 k 乘以某一行各元素；某行的 k 倍加到另一行各对应元素上.阶梯形矩阵行阶梯形矩阵;行最简形矩阵;用矩阵初等行变换将矩阵化为上述两种形式的矩阵.,矩阵的秩矩阵的最高阶非零子式的阶数即为该矩阵的秩.通常用下述方法求矩阵的秩:把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,第四节 逆矩阵,一、逆矩阵的概念,例 设,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,二、逆矩阵的性质,性质1 若矩阵 可逆，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,证明：,性质2,性质3,性质4,性质5,性质6,三、逆矩阵存在的充要条件,由以上定义和定理可得结论:,四、逆矩阵求法,我们分别用两种方法来求A的逆矩阵:,五、矩阵方程的求解,六、小结,逆矩阵概念A 可逆, 有逆矩阵的性质(6个)逆矩阵存在的充要条件为逆矩阵的求法:用公式矩阵初等行变换法矩阵方程,第三章 线性方程组,【主要内容】线性方程组求解、线性方程组解的结构。,第一节 线性方程组的消元法,线性方程组的矩阵表示,当 b 不是零向量时,为非齐次线性方程组; 当 b 是零向量时,为齐次线性方程组.,一、非齐次线性方程组的解法,非齐次线性方程组解有三种情形：定理1 n 元非齐次线性方程组 Ax = b： 无解的充要条件是 R(A) R(A,b);(2) 有惟一解的充要条件是 R(A) = R(A,b) = n;(3) 有无限多解的充要条件是 R(A) = R(A,b) n;,例4 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例5 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,二、齐次线性方程组的解法,定理2 对n元齐次线性方程组 Ax=0 有:(1) R(A)=n 时, 方程组只有零解;(2) 方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A)n.推论2 n元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是 R(A)n.,例6 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,三、小结,n 元非齐次线性方程组 Ax = b：(1) 无解的充要条件是 R(A) R(A,b);(2) 有惟一解的充要条件是 R(A) = R(A,b) = n;(3) 有无限多解的充要条件是 R(A) = R(A,b) n;对n元齐次线性方程组 Ax=0 有:(1) R(A)=n 时, 方程组只有零解;(2) 方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A)n.应用矩阵初等行变换和秩来解方程组,第二节 线性方程组解的结构,向量组的线性相关性,注意:一个向量组的极大无关组可能不惟一, 但极大无关组所含的向量的个数总是相同的.,一、齐次线性方程组解的结构,二、非齐次线性方程组解的结构,三、小结,向量组的线性相关和线性无关向量组的极大无关组齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组解的结构：非零解为基础解系的线性组合非齐次线性方程组的解的结构：通解为对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解,第四章 随机事件与概率,【主要内容】随机事件、概率的定义和性质、古典概型、条件概率、全概公式、逆概公式和独立试验序列概型。,4.1 随机事件,一、随机试验,有一类现象, 在一定条件下必然发生,这类现象称为确定性现象.在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象, 我们称之为随机现象.在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性, 就是我们以后所说的统计规律性.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.,上述试验具有以下特点:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个, 并且事先明确试验的所有可能结果;(3)每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.把具有上述三个特点的试验称为随机试验. 以后所说的试验都是随机试验.,二、样本空间,将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素, 即E的每个结果, 称为样本点.,三、随机事件,我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件, 简称事件. 在每次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.例如, 实验E1中有两个基本事件H和T;试验E4有6个基本事件1, 2, , 6.样本空间S包含所有的样本点, 称为必然事件. 空集?不包含任何样本点, 称为不可能事件.,四、事件间的关系与运算,定义1 设有事件A及B, 如果A发生, B必然发生, 那么称事件B包含事件A. 并记作A B或B A.如果事件A包含事件B, 同时事件B也包含事件A, 那么就称事件A与事件B相等, 并记作A=B。,定义2 事件“A或B”称为事件A与B的和, 记作A+B或AB; 事件“A且B”称为事件A与B的积, 记作AB或AB.由定义, A+B发生就是A与B中至少有一个发生; AB发生就是A和B都发生.例如, 投掷两枚均匀的硬币. 设A为“正好一个正面朝上”, B为“正好两个正面朝上”, C为“至少一个正面朝上”, 于是有 A+B=C, AC=A, BC=B, AB= ? (不可能事件).,定义3例如, 投掷两枚硬币, 事件“至少一个正面朝上”是事件“两个都是正面朝下”的对立事件.,定义4 事件A与B的差表示A发生而B不发生的事件, 记作A-B.定义5 如果事件A与B不能同时发生, 即AB=?, 那么称A与B是互不相容的事件.例如, 投掷一枚硬币, “正面朝上”与“正面朝下”就是互不相容的事件, 另外, 对任意事件A, A与A的对立事件是互不相容的.如果n个事件A1,A2,An中两两互不相容, 则称该事件组是互不相容的（这与前面提到的“互相排斥”是一回事）.,事件间的运算规律,五、小结,随机试验样本空间 样本点随机事件 基本事件 事件间的关系和运算事件的包含、相等和事件、积事件对立事件、互不相容事件,4.2 概率的定义及其性质,一、概率的统计定义,引例 在一定条件下, 抛掷一硬币10次, “正面朝上”这个事件(记作A)是一个随机事件.若A发生6次, 它与试验总次数之比为0.6.当大量重复试验时, 事件A发生的次数（也称为频数）能够体现出一定的规律性, 约占总试验次数的一半. 这也可以写成 A发生的频率=频数/试验次数, 它接近于二分之一. 在我们的心目中, 由长期经验积累所得的, 所谓某事件发生的可能性的大小, 不就是这个“频率的稳定值”吗?,大量试验证实, 当重复试验的次数逐渐增大时, 频率呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个常数, 而且偏差随着试验次数的增大而越来越小. 频率的这种稳定性即通常所说的统计规律性. 频率具有稳定性的事实说明了刻画随机事件A发生的可能性大小的数-概率的客观存在性.定义1 在相同条件下, 重复进行n次试验, 记是n次试验中事件A发生的次数. 如果A发生的频率/n随着试验的次数n的增大而稳定在某一常数p(06 p6 1)的附近摆动, 则常数p称为随机事件A的概率. 记作P(A)=p.,二、概率的性质,性质1 对任一事件A, 有06 P(A)6 1.性质2 P(S)=1, P(?)=0.性质3性质4 如果事件A与B互不相容, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B).根据上述性质, 设n个事件A1,A2,An互不相容, 则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 该式称为概率的有限可加性.,性质5 对任意两个随机事件A和事件B, 有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).上述性质可推广到任意n个事件的并的情形, 如n=3时, 有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).,例1 甲、乙同时向一架敌机实施炮击, 已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率（设甲、乙都击中时敌机才坠毁, 已知敌机坠毁的概率是0.3）.解: 记事件A为“甲击中”, B为“乙击中”, C为“敌机被击中”, D为“敌机坠毁”, 则P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(D)=0.3是已知的. 目的是求P(C). 容易看出C, D与A, B之间有如下关系：C=A+B, D=AB. 因此有 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(D)=0.6+0.5-0.3=0.8.,例2 生产某种零件需要经过甲、乙两台机器加工, 每台机器正常运转的概率是0.85, 两台机器同时正常运转的概率是0.72, 试求两台机器至少有一台正常运转的概率.解: 设事件A1为“甲机器正常运转”, A2为“乙机器正常运转”, A为“两台机器至少有一台正常运转”. 显然, A=A1+A2, 于是有 P(A)=P(A1+A2) =P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =0.85+0.85-0.72 =0.98.,三、小结,概率的统计定义概率的性质概率的范围是0到1之间必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0对立事件的概率和事件的概率,4.3 古典概型,一、古典概型,一个随机试验若满足 (1) 随机试验只有有限个可能的结果; (2) 每一个结果发生的可能性大小相同. 则该试验称为等可能概型.等可能概型在概率论发展初期曾是主要的研究对象, 所以也称为古典概型.古典概型在数学上可表述为: (1) 试验的样本空间只包含有限个元素, 记S=e1,e2,en; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同, 记Ai=ei(i=1,2,n), 即 P(A1)=P(A2)=P(An).,定义1 对给定的古典概型, 若其样本空间中基本事件的总数为n, 事件A包含其中k个基本事件, 则事件A的概率为例1 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件A1为“恰有一次出现正面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求P(A2).,解: (1) 我们考虑第一节中的E2的样本空间: S2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 而 A1=HTT,THT,TTH. S2中包含有限个元素, 且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同. 故有P(A1)=3/8.(2) 由于A2=TTT, 于是 P(A2)=1-P(A2)=1-1/8=7/8.,例2 盒中装有五个球（三白两黑）, (1) 从中任取一个, 问取到白球的概率是多少? (2) 从中任取两个, 问两个球全是白球的概率是多少?解: (1) 从5个球中任取一个, 共有5种结果, 而盒中白球有3个, 则取到白球的结果有3个, 设A为“任取一球, 恰好是白球”, 则 P(A)=3/5.(2) 从5个球中任取2个, 有C52种结果, 盒中有白球3个, 则任取两个都是白球的结果有C32个, 设B为“任取两球全是白球”, 则P(B)=C32/C52=3/10.,例3 设有一批产品共100件, 其中有5件次品. 现从中任取50件, 问无次品的概率是多少?解: 首先, 从100件产品中任取50件, 共有C10050个不同的结果, 现在来看B为“任取50件其中无次品”这个随机事件由哪些基本事件所构成? 多少个? 显然, 要所取的50件中无次品, 必须是从95件正品中取来的, 可见这种无次品的取法共有C9550个基本事件. 因此有,例4 同上例, 还是100件产品, 其中有5件次品, 从中任取50件, 现在问恰有两件次品的概率是多少?解: 等概率基本事件组中所含基本事件数与例3相同, 即n=C10050. 现在关键是求出随机事件A为“恰有两件次品”所包含的基本事件数. A中共包含了C9548 C52个基本事件. 于是得:,二、小结,古典概型定义古典概型的求解公式古典概型的典型例题,4.4 条件概率、乘法公式与事件的独立性,一、条件概率,例1 盒中球如下表: 已知取到的是蓝球, 该球是玻璃球的概率是多少呢?也就是求在事件A已经发生的前提下事件B发生的概率, 此概率记作P(B|A).,例2 五个乒乓球（三个新, 二个旧）, 每次取一个, 无放回的取两次. 求: （1）第一次取到新球的概率; （2）第二次取到新球的概率; （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率.,二、乘法公式,例3 一批零件共100个, 次品率为0.1, 接连两次从这批零件中任取一个零件, 第一次取出的零件不再放回去, 求第二次才取得正品的概率.,例4 在例3中, 若无放回的取三次, 每次取一直零件, 求第三次才取到正品的概率.,三、独立性,四、小结,条件概率乘法公式独立性,4.5 全概公式与逆概公式,一、全概率公式,例1 五个乒乓球（三新二旧）, 每次取一个, 无放回的取两次, 求第二次取得新球的概率.,例2 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占15%, 80%, 5%, 各厂产品的次品率分别为2%, 1%, 3%, 现从中取一件, 求取到的是次品的概率.,例3 甲乙丙三人向同一飞机射击, 设甲乙丙射中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7, 又设若只有一人射中, 飞机坠毁的概率为0.2; 若二人射中, 飞机坠毁的概率为0.6; 若三人射中, 飞机必坠毁. 求飞机坠毁的概率.,二、逆概率公式,4.6 独立试验序列概型,第五章 随机变量及其分布,【主要内容】随机变量、离散型随机变量及其分布、分布函数、连续型随机变量及其分布。,5.1 随机变量,一、随机变量概念的引入,将随机试验的结果数量化, 即把随机试验的结果与实数对应起来.(1) 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 例如, 抛掷一颗骰子, 观察其出现的点数, 该试验的结果就可分别由数1,2,3,4,5,6来表示.(2) 在另一些随机试验中, 试验的结果看起来与数量无关, 但可以指定一个数量来表示之. 例如, 在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中, 若规定“出现正面”对应数1, “出现反面”对应数-1, 则该试验的每一种可能结果, 都有唯一确定的实数与之对应.上述例子表明, 随机试验的结果都可用一个实数来表示, 这个数随着试验的结果不同而变化, 因而, 它是样本点的函数, 这个函数就是我们要引入的随机变量.,二、随机变量的定义,三、引入随机变量的意义,随机变量的引入, 使随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.随机事件是从静态的观点来研究随机现象的, 而随机变量则以动态的观点来研究.引入随机变量后可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入地研究.随机变量通常分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而后者经常遇到的是连续型随机变量。,5.2 离散型随机变量及其分布规律,一、离散型随机变量及其分布规律,二、常见离散分布,5.3 随机变量的分布函数,一、随机变量的分布函数,二、离散型随机变量的分布函数,5.4 连续型随机变量及其概率密度,一、概率密度函数,二、常用连续型分布,第六章 随机变量的数字特征,【主要内容】期望、方差、常见离散型随机变量分布的期望和方差、常见连续型随机变量分布的期望和方差。,6.1 离散型随机变量的期望,一、期望的概念,二、几个常见分布的期望,6.2 连续型随机变量的期望,一、连续型随机变量的期望,二、常见连续型分布的期望,三、小结,了解连续型随机变量期望的定义熟记常见连续型分布的期望,6.3 数学期望的性质,6.4 方差及其性质,一、方差的概念,二、常用分布的方差,三、方差性质,四、小结,理解方差的概念会用方差的计算公式计算简单分布的方差熟记常见分布的方差会用方差的性质,第七章 集合与关系,【主要内容】集合概念、集合运算、二元关系、二元关系性质及运算。,7.1 集合,一、集合,集合是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.例如： A=1，2，3 B=x|x2-1=0空集，全集集合相等；子集；真子集.,求A=a,b,c的幂集。P(A)=, a, b, c, a,b, a,c, b,c, a,b,c结论：若集合A是由n个元素构成的集合, 则其幂集P(A)有2n个元素.练习：求A =, B =, C=1,2的幂集,二、集合运算,A=1,2,3, B=2,3,4,5, E=1,2,3,4,5并 AB=1,2,3,4,5交 AB=2,3差 A-B=1补 Ac =E-A=4,5,7.2 二元关系,一、有序对与笛卡尔积,定义7-10 由两个元素x和y按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对或者序偶.记作, 其中x称为它的第一元素, y称为它的第二元素.对于有序对和, 当且仅当x=u且y=v时, 才有=; 当x y时, .,例 已知=，求x和y.,解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5 2x+y=4 解得 x=3，y=-2.,设A，B是两个集合，所有有序对做成的集合(其中xA，yB)，称为A，B的笛卡儿积，记以AB.AB= xA且yB.,【定义7-11】笛卡儿积(Cartesian product),AB=, , , , , ；BA =, , , , , ；AA =, , , ；BB =, , , , , , , , ,例如：设A=1,2，B=a,b,c,则,例7-4 设A=1,2, 求P(A) A.,P(A) A=, 1, 2, 1,2 1, 2 =, , , , , , , ,【定义7-12】从A到B的二元关系,设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则叫做A上的二元关系.,例如，A=0，1，B=1，2，3.R1 =R2 =A B R3 =R4=,都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的二元关系。,关系的特点,AA上的任一子集都是A上的一个关系;若A=n，则A上的关系有 个。A上的三个特殊关系，即 空关系；全域关系EA=AA；恒等关系IA=(x, x) xA。,例如，A=1,2,3，求A上的全域关系， 恒等关系。,则 EA=， ， ，, ， ， ， IA=，, ,练习: 设A=a,b,c, 写出A上的全域关系 和恒等关系.,例7-6 设A=1，2，3，4，下面各式定义的R都是A上的关系，试用列举法表示R.,（1）R=|x是y的倍数（2）R=|(x-y)2 A（3）R=|x/y是素数（4）R=|x y,解: (1)R= , , (2)R= , , (3)R= , , (4)R=EA-IA = , , ,关系的表示方法：集合，关系矩阵，关系图,1、集合表示： 例题7-6中关系就是用集合表示的.,2、关系矩阵： 设有限集合A=x1, x2, , xn， R是A上的关系，则R的关系矩阵MR =rijnn ，其中当R 时，rij =1; 当R 时, rij =0.,例如：A=1，2，3，4，R=, 则R的关系矩阵为,(1)空关系的关系矩阵的所有元素为0。(2)全关系的关系矩阵的所有元素为1。(3)恒等关系的关系矩阵的所有对角元为1，非对角元为0，此矩阵为单位矩阵。,3、关系图：设A=x1，x2，xn， R是A上的关系，令图G=：定点集合V=A，边集为E， 如果R ，则可自结点xi至xj作一有向弧，如果R ，则xi至xj没有线段联结。,例如：A=1，2，3，4，R=, ,第七章 集合与关系,7.2.3 关系的性质,【定义7-15】 自反关系(reflexive),集合A 上的关系R称为是自反的(反身的)，如果对每一个xA，都有xRx, 即R。 例：A=a, b, c, A 上的关系 R1=, R2=,R1不是自反关系.R2是自反关系.结论: R是自反的当且仅当IAR， R是自反的当且仅当R-1是自反的 。,【定义7-15】对称关系(symmetric),集合A上的关系R称为对称的，如果xRy，则yRx。其中xA，yA。 例：A=a, b, c, A上的关系R1=, R2=,R是对称的当且仅当R-1=R 。,【定义7-15】 传递关系(transitive),集合A上的关系R称为是传递的，如果xRy，yRz，则xRz。 其中xA，yA，zA。 例：A=a, b, c, A上的关系R1=, , , ， R2=, , R3=, , , 数的相等关系、大于关系、小于关系都具有传递性。,例 设A=1,2,3,R1,R2,R3都是A上的关系.判断是否是传递关系.,R1=, R2=, R3=,传递不传递传递,集合A上三个特殊关系的性质,空关系A: 是对称的, 反对称的, 传递的全域关系EA: 是自反的, 对称的, 传递的恒等关系IA: 是自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,例7-10 设A=1,2,3, 讨论下列关系性质,R1 =, , , , 是自反的, 不是对称的, 不是传递的 R2 =, , 不是自反的, 是对称的, 不是传递的R3 =, , 不是自反的, 不是对称的, 是传递的R4 =, , , , , , 是自反的, 是对称的, 不是传递的R5 =, 不是自反的, 是对称的, 是传递的R6 =, , , 是自反的, 不是对称的, 是传递的,例7-11 设A=1,2,3,4, R=|x整除y, 判断其性质,解 R=, , , , , , , 是自反的不是对称的是传递的,【定义7-17】定义域，值域，域,设R是二元关系.（1）R中所有的有序对的，第一元素构成的集 合，称为R的定义域，记作domR.（2）R中所有有序对的，第二个元素构成的集 合，称为R的值域，记作ranR.（3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作 fldR.,例7.5 设R=,domR=1,2,4ranR=2,3,4fldR=1,2,3,4,【定义7-18】逆关系,设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆，记作R-1 ，其中R-1 =| R,例 A=1,2,3, R=, ,则R-1=, , ,【定义7-19】复合关系,例：A=a, b, c, d , A上的关系R和S， R=, , ， S=, , , ，则,R S =, , , S R =, , 显然，R SS R，结论:关系的复合不满足交换律。,小结,关系的性质: 自反性, 对称性, 传递性.逆关系R-1.复合关系R S.,第七章 二元关系,7.1 有序对与笛卡儿积7.2 二元关系 7.3 关系的运算7.4 关系的性质7.6 等价关系与划分,一. 等价关系(equivalence relation),定义7.15设R是非空集合上二元关系.如果R具有自反性，对称性，传递性，则称R是一个等价关系。 设R是一个等价关系，若 R，称x等价与y，记为xy.例：整数的同余关系，几何图形的面积相等关系，人群中的同姓关系、同龄关系等。,例7.16 设A=1,2,8,定义A上的关系R如下：验证R是A上的等价关系。解： 任给xA,有 ,故R是自反的。 任给x,yA,若 ,则 ,故R是对称的。 任给x,y,zA,若 , ,则 ,故 R 是传递的。 R是A上的一个等价关系。,R=, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,二. 等价类(equivalence class),定义7.16 设 R 为非空集合A上的等价关系，对任意的xA, 令 则称xR为x在R下的等价类 (简称为x的等价类)，有时简记为 x。 x 称为该等价类的代表元。,例7.16 设集合A=1,2,3,8，R是模3同余关系,R的等价类有:3R=6R=3,6, 1R= 4R= 7R= 1,4,7 , 2R= 5R= 8R= 2, 5, 8,R=, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,定理7.14 设 R 为非空集合 A上的等价关系，则 （1）对任意的xA, x是A的非空子集。 （2）对任意的x, yA，如果xRy, 则 x=y （3）对任意的x, yA，如果x与y不具有关系 R, 则 x 与 y 不相交。 （4）,三. 等价类的性质,定义7.17 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素，形成的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即：,四. 商集,例如：例7.16中等价关系形成的商集为: A/R 1, 4, 7, 2, 5, 8, 3, 6,五. 集合的划分,定义7.18 设A为非空集合，若A的子集族 (P(A), 是由A的一些子集形成的集合) 满足下列条件： (1) (2) 对 中的任意集合x和y, xy时, xy= (3) 则称是A的一个划分，而称中的元素为 A的划分块或类。,例7.17 设A=a, b, c, d , 则 1=a, b, c , d 和 2=a, b, c, d都是A的划分，而 3=a, a,b,c,d 和 4= , a,b, c都不是A的划分。 注：给定非空有限集A上的一个等价关系R，在R下彼此等价的元素构成的子集便形成了A的一个划分，它其实就是商集A/R, 其每个类 (等价块) 就是R的一个等价类； 反之，任给A的一个划分，可