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导数专题训练参考答案

一、 选择题：DCDCA ACBC
二、 填空题：
10.
11. 3
12.
13. = 球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
三、 解答题：
14. 解：（Ⅰ）由题意知=
∵曲线在点（2，处与直线相切.
∴
（Ⅱ）∵=,
当时，恒成立.所以函数在上为单调增函数.此时没有极值点.
当时，==3.
令=0，则或

+
0
-
0
+

增
极小
减
极大
增
由图表可知：是的极大值点；是的极小值点.
15. 解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有，
又由已知条件，，于是有，
所以．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．

2

12

0

0

减
极小
增
极大
减
故时，有极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．
16.解：（Ⅰ）由题意知
∵函数在和处取得极值.
∴且
即
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=
=
令，则或
∴当时，；当时，；
当时，.
∴当时，取得极大值且.
又，
∴当时，的最大值为.
又对任意的，都有成立.
∴ 即或
∴实数的取值范围是
17.解：（Ⅰ）由题意知
当时，恒成立。此时的单调增区间为.
当时，=.令，则或.
令，则.
∴ 的单调增区间为，；单调减区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又在处有极值. ∴
即 ∴
∴，
令=0，则或.
由（Ⅰ）中的单调性可知，在处取得极大值；在处取得极小值.
且，
∵直线与的图象有三个不同的交点.
∴且
即
∴实数的取值范围是
18.解：（I）解：，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：

1

0
+
0

减
极小值
增
极大值
减
当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则
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将上述两式相加得：
，导致矛盾.

（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时

，即
下同解法1

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