八年级竞赛班辅导资料.doc

八年级竞赛2班辅导资料（1） 原班级： 姓名：
一、“路线最短问题”
【一】思路点拨
1．两点之间线段最短； 2．垂线段最短； 3．将军饮马问题．
【二】例题精讲
例1某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA+PB的
值最小．解法：作点A关于直线的对称点A′，连接A′B，则A′B
与直线的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型求代数式（0≤x≤4）的最小值．
解：构造图形如图所示，
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
∵PC+PD=+，
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E垂直DB的延长线于E．
则C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D===5
∴所求代数式的最小值是5．
例2 筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色彩带，如图所示，已知圆筒高为108cm，其横截面的周长为36cm，如果在表面上缠上4圈彩带，最少应裁剪多长的彩带？
108cm

180cm

【三】巩固练习
1．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周
上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B
点，则这根棉线的长度最短为（　　）C
A．12cm B．cm C．15cm D．cm

解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的
运动最短路线是：AC→→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3
个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×=4cm；
又∵圆柱高为9cm，∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC==DB=5cm； ∴AC++DB=15cm；故选C．
2．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．
解：如图所示，作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交
AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′．
AB′=AB===2，AE=AB=，
∵∠B′AC=∠BAC=45°，∴∠B′AB=90°，
∴PB+PE的最小值=B′E===．
故答案为：；

3．如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为l2cm，在纸杯内壁离杯底2Cem的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．

解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，由题意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，
A′C==10（cm），故选：C．

4．如图，C为线段AB上一动点，分别过点A、B作DA⊥AB，EB⊥AB．
已知AD=3，BE=2，AB=12，设AC=x
（1）用含x的代数式表示DC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，DC+CE的值最小？
（3）根据（2）的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值．
解：（1）∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△CBE都是直角三角形．
由勾股定理可知：DC+CE===；
（2）根据两点之间线段最短可知：当D、C、E三点共线时，AC+CE的值最；
（3）如下图所示：作AB=8，过点B作BE⊥AB，过点A作AD⊥AB，使AD=5，EB=1，连接DE交AB于点C，
设AC=x，则DE的长即为代数式的最小值．
过点E作EF∥AB交DA的延长线于点F，得矩形ABEF，
则AB=EF=8，AF=BE=1，DF=AD+AF=5+1=6，
在Rt△DFE中，由勾股定理得：DE==，
即代数式的最小值为10．
八年级竞赛2班辅导资料（2） 原班级： 姓名：
一、“路线最短问题”
1．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，则这个最小值为________；
解：如图2，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，
交AC于M．此时BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．
∵点B′与点B关于AC对称，∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°，∴∠B′AB=60°，∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°，
又∵B′N⊥AB，∴B′N=B′B=；
2．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是

OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为__________．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接
OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接
PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，
∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN===10．
即△PQR周长的最小值等于10
3．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，
过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．
故选：A．
4．如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，
在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物
，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于（　　）
A． B．2+1 C． D．5
解：如图所示，
由图可知，AB==．
故选A．

5．如图，地面半径为1，母线长为4的圆锥A处有一只蚂蚁，它绕
这个圆锥侧面爬行一圈后回到A处，则蚂蚁所走最短路线长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
解：∵底面圆的半径为1，∴底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，则2π=，
解得n=90°，∴展开图中圆心角为90°，∴AA′===4．故选B．

6.如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学小组研究由长方体的底面点A到与点A相对的点B的最短距离（沿长方体表面）时，测得长方体的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，请你帮该小组求出点A到点B沿表面的最短距离。（精确到1cm，参考数据：）

18cm

5．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．
著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC=40，又∵AP=10，∴BD=BC﹣CD=40﹣10=30．
在△ABD中，AD==40，在Rt△PBC中，∴BP=，S1=．
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又∵BC=40，∴BA'=，
由轴对称知：PA=PA'，∴S2=BA'=，∴S1＞S2．
（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S2=BA'为最小．
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，A'B'=，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50，
∴所求四边形的周长为．

八年级竞赛2班辅导资料（3） 原班级： 姓名：
C
A
B
二、 勾股定理的应用
【一】例题精讲
例1 如图，△ABC中，∠A=45°，AC=，AB=．
（1）求； （2）求BC的长．
(1) ; (2)

例2 两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC=，则AB的长是 _________ 

例3 如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC,
求证：

提示：过点B作BE⊥AB,且使BE=BC,
连接CE、AE、AC.

、

【二】巩固训练
1．将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，
如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤17 B．7≤h≤16 C．15≤h≤16 D．h≥8
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24﹣8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选B．

（第2题图）
A
B
D
C
2．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°
且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作
正方形，其面积分别为、、，则、、之间
的关系是 ．
3．如图，在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是7cm2和11cm2，则△CDE的面积为　　　　　　cm2．
解：过E作EH⊥CD．
∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，∴∠ADG=∠EDH．
又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．∴△ADG≌△HDE．∴HE=AG．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是7cm2和11cm2．
即AD2=7，DG2=11．
∴在直角△ADG中，AG===2．∴EH=AG=2．
∴△CDE的面积为CD•EH=××2=（cm2）．

4．如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB=90°，AB=5米，BC=4米，当点B下滑到点B′时，点A向左平移到点A′．设BB′=x米（0＜x＜4），AA′=y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当x为何值时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等？
（3）请你对x再取几个值，计算出对应的y值（可使用计算器）．
x
0.5
0.7
1
1.5
2
3
3.5
3.7
y

（4）根据第（1）～（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y与x的大小关系及对应的x的取值范围．

解：（1）在Rt△A′CB′中，B′C=4﹣x，则A′C=，所以y=；

（2）由题意得解之得，x1=1，x2=0（舍去），
所以当x=1时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等；

（3）
x
0.5
0.7
1
1.5
2
3
3.5
3.7

y
0.57
0.76
1.00
0.33
1.58
1.90
1.97
1.99

（4）当0＜x＜1，y＞x；当x=1时，y=x；当1＜x＜4时，y＜x．

八年级竞赛2班辅导资料（4） 原班级： 姓名：
勾股定理与旋转问题
【一】思路点拨

1．旋转的定义：将平面图形绕平面内一点O旋转一个定角，得到的图形与原图形的形状和大小都一样，这样的变换称为旋转变换．O点叫做旋转中心，叫做旋转角．
2．旋转性质：（1）每一组对应点与旋转中心的
连线所形成的角都等于旋转角；
（2）旋转前后两图形的形状、大小不变（即全等），
对应边相等，对应角相等．
3．几种常见旋转变换的基本图形．
【二】例题精讲
例1（1）请阅读材料并填空：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．
根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=　150°　°，等边△ABC的边长为　　．
（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

（1）解：∵等边△ABC，∴∠ABC=60°，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，∴AP′2+PP′2=AP2，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B=30°，BM=，
由勾股定理得：P′M=，∴AM=1+=，由勾股定理得：AB==，
过答案为：150°，．

（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=，EP=2，∴AE2+PE2=AP2，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．
【三】练一练
1．园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=1.5米，BC=2米，DA=6.5米，DC=6米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（　　）
A．24米2 B．36米2 C．18米2 D．9米2
解：连接AC．则由勾股定理得AC=2.5米，∵AC2+DC2=AD2，∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（1.5×2+2.5×6）=9米2．
故选D．
2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.

【解析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则⊿ABE≌⊿ADF，得AE=AF，进一步证明四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则，所以.【答案】cm.
3．P是等边三角形ABC内部的一点，PA=2, PB=, PC=4, 求△ABC的边长．

4．如图，P为等边△ABC内的一点，以PB为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论．
（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=5：12：13， 可设PA=5a，PB=12a，PC=13a，
在△PBQ中，由于PB=BQ=12a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=12a．
于是在△PQC中∵PQ2+QC2=144a2+25a2=169a2=PC2∴△PQC是直角三角形．

八年级竞赛2班辅导资料（5） 原班级： 姓名：
二次根式（1）——非负数的性质及应用
【一】知识要点
1．有意义，则a≥0； 2．
3．（1）若x、y都是有理数，是无理数，且，则；
（2）若x、y、m、n都是有理数，、都是无理数，且，则．
【二】例题精讲
例1 已知实数a满足，那么2005

例2 设实数x、y、z满足，则

例3 设正整数a、m、n满足，则这样的a、m、n的取值（ ）A
A、有一组 B、有两组 C、多于二组 D、不存在

【三】巩固练习
1．已知实数a满足，那么2013
2． a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）B
A、1999 B、2000 C、2001 D、不能确定 答：B

3．设实数x、y、z满足，求x+y+z的值． 答：20

4．有理数x、y满足方程，求的值． 答：-2

5．已知a、b、x、y满足，求的值．答：17

八年级竞赛2班辅导资料（6） 原班级： 姓名：
二次根式（2）——二次根式的化简与计算
【一】知识要点
1．分母有理化
2.二次根式的整数部分和小数部分
【二】例题精讲
例1 化简： （1） （2）
（1）； （2）

（3）

（3）

例2 设 是的小数部分，是的小数部分，则_____ . 1 （全国初中数学联赛试题）

【三】练一练
1.已知,那么满足上述不等式的整数x的个数是( ) C
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
2．已知，那么x2 + y2的值为　　　　 ． 10
3.（1998）设,那么的整数部分是 .3

4.（2002）已知a<0，ab<0，化简， .

5. 那么（ ） D
（A）<3； （B）=3； (C) 3<<4； （D）>4
6.计算：

7.计算：

八年级竞赛2班辅导资料（7） 原班级： 姓名：
二次根式（3）——二次根式的化简与求值
【一】知识要点
1. 复合二次根式的化简： ==
【二】例题精讲
例1 化简 ①； ② ； ③ ④
① ② ③ ④

例2 知 求的值．

例3 若，求的值．

例4 求满足等式的正整数的值.

xy=2013=11×183=33×61=1×2013=3×671
(x,y)=(1,2013),(3,671),(2013,1),(671,3),(11,183),(183,11),(33,61),(61,33)

【三】练一练
1.如果，那么7
2.若x<0, 则等于___________.1-2x
3.若a、b、c为三角形三边长，则0
4.已知a=-1，b=2-，c=-2，那么a，b，c的大小关系是（ ）B
A． a<b<c B． b<a<c C． c<b<a D．c<a<b
5.当时，多项式的值为（ ） B
A．1 B．-1 C．22001 D．-22001
6．代数式的最小值是（ B ） A．0 B． C．1 D．不存在
7．已知非零实数满足，求的值
1

8．设表示不大于x的最大整数，如，计算：

2003

9. 若的整数部分为，小数部分为，求的值.

10. 化简 11.计算：

12．设x、y都是正整数，且使，求y的最大值． 解答：108
八年级竞赛2班辅导资料（8） 原班级： 姓名：
一次函数（1）
1．设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）．

解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。
2．【第四届中学生数学能力展示】某市对居民生活用水的收费方法是:水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不超过限量am3 时,只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损耗费c元;若用水量超过a m3 时,除了要收取同上的基本用水费和定额水损耗费外,超过部分每1m3 还要收取b元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况.根据右表中的数据,求出a,b,c的值.
月份
用水量/m3
水费/元
1
9
9
2
15
19
3
22
33

【第4届】（16 分） 解：设该家庭每月用水量xm3 ，支付的水费为 y 元，则
.......（4 分）
由题设，知0 < c≤5，8 +c ≤13.
由表知，第二、三月份的水费均超过 13 元，故其用水量15 ，22都应超过限量.
.
把x =15，x = 22分别代入(2) ，可得
两式相减，得7b=14,b=2 .......（12 分）
从而2a=c+19 (3)
下面分析一月份该户的用水量是否超过限量：若超过了限量则9>a ，将x=9 代入②，可
得2a=c+17 ，这与(3) 矛盾.∴，即一月用水未超过限量.
从而一月份付款方式应为(1)，由8 + c = 9, 得c =1，于是a =10.
综上可知a=10,b=2.c=1. .......（16 分）
3．【第三届中学生数学能力展示】自2011年3月20日以来北约对利比亚政府军实施了连续的空袭,法国的“戴高乐”号航母参与了军事行动.某日6时,“戴高乐”号上有15架“阵风”战机,从6时开始起飞前往的黎波里实施轰炸(6时整第一架飞出),以后每隔6分钟再飞出一架.第一架飞出3分钟后有一架返回补充装备,以后每隔8分钟有一架战机返回,返回的战机补充装备后在原有的15架战机后依次再起飞.问到几点时,“戴高乐”号航母内第一次出现无战机的情况?
【第3届】解 设从6时起x分钟时航母上第一次出现无战机的情况，此时总共飞出S架，飞回y架，则
…………（7分）
∴ ，解得．…………（4分）
∵S为正整数，∴ S＝56，即到第56架战机飞出后，航母上第一次出现无战机的情况．此时，6+=11.5（时）。…………（3分）
答：到11时30分时航母上第一次出现无战机的情况．…………（2分）

八年级竞赛2班辅导资料（9） 原班级： 姓名：
一次函数（2）
x
9
4
y
O
14
1.(第三届展示活动)如右图甲所示,在直角梯形 ABCD 中,∠B=90°,DC∥AB,动点 P 从B 点出发, 由B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运动的路程为x,△ABP 的面积为 y,如果关于x的函数y 的图象如图 乙所示,则△ABC 的面积等于(B).
A. 10 B. 16
C. 18 D. 32

2.已知abc≠0,并且,则直线y=px+p一定通过 (B ).
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
3.(第三届展示活动八年级数学4)平面直角坐标系中,如果把横坐标、纵坐标都 是整数的点叫做整点,那么函数 的图象上整点的个数是( C). x=-12,-2,0,1,3,13
A 2 B 4 C 6 D 8
4.一般情况下,人的身高是指距(拇指与小指的最大距离) 的一次函数.罗宾逊的身高为1.74米,指距为22厘米.乔丹身高为1.98米,指距为24厘米. 请据此推算,当姚明身高为2.22米时的指距.

26cm

5.（第六届）已知直线 （n是正整数）.当n=1时，直线与x轴和y轴分别交于点和,设△ (O是平面直角坐标系的原点)的面积为；当n=2时，直线与x轴和y轴分别交于点和,设△ 的面积为，……,以此类推，直线与x轴和y轴分别交于点和,设△的面积为.
（1）求△的面积；
（2）求的值.
答案：（1）当n=1时，直线与x轴和y轴分别交于点和，所以,所以；
（2）当n=2时，直线与x轴和y轴分别交于点和, 所以,所以
当n=3时，直线与x轴和y轴分别交于点和, 所以,所以，以此类推，
所以，
所以，

八年级竞赛2班辅导资料（10） 原班级： 姓名：
一次函数（3）
1.已知如图A（1,2） B（5，4）.
（1）在轴上求做一点P，使PA+PB最短，求出P点坐标，并求PA+PB的最小值；
O
x
y
A
B
●
●
O
x
y
A
B
●
●
（2）在轴上求作一点Q，使的值最大，求出Q点坐标，并求的最大值.

(1) (2)

2.（第七届）设直线和直线 （为正整数）及轴围成的三角形面积，求的值.

3.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一直线经过C（1,0），且把△AOB分成两部分.
O
x
y
A
B
●
C
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求和的值；
（2）若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5，求和的值.

答：（1）k=-2,b=2； （2） 或

八年级竞赛2班辅导资料（11） 原班级： 姓名：
综合训练（1）
1.(首届展示活动)求方程x+y+xy=2008的正整数解.

解:原方程也就是x+y+xy+1=2009,即(x+1)(y+1)=2009= 1×7×7×41.
x+1=7,y+1=7×41或x+1=41,y+1=49或x+1=49,y+1=41或x+1=7×41,y+1=7
即x=6,y=286或x=40,y=48或x=48,y=40或x=286,y=6.

2.(第三届展示活动)如右图所示,在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区A,B,已知AB=10千米,直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°,新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米.
(1)求新开发区A 到公路MN 的距离;
(2)现从MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PA,PB,使点P到新开发区A,B的距离之和最短,请用尺规作图并在图中找出点P 的位置(写出作法,不用证明,保留作图痕迹),并求出此时PA+PB 的值.

解:(1)如 右 图,作 AD ⊥MN 于 点 D,在Rt△OBC中,OB=2BC=6.
在 Rt△AOD 中,AO = AB + BO =16,∠AOD=30°,所以AD=AO=8(千米).
(2)作点A 关于MN 的对称点A′,连结BA′交MN 于点P,点P 即为所求.

D
作CA″∥BA′交AA′的延长线于点A″.在Rt△CA″D 中,A″D=AD+BC=11,
CD=OD-OC=.
所以BA′=CA″=.
此时PA+PB=BA′=14(千米).

3.操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC或DC 的延长线相交于点Q(如右图).设A、P 两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系? 试证明你观察得到的结论;
(2)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形? 如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置,并求出相应的x值；如果不可能,试说明理由.

解:(1)PB=PQ.
证明:过P 作MN∥BC,分别交AB、DC 于点M、N,则四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形,△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形(如图1),则 NP=NC=MB.
∠BPQ=90°,∠QPN + ∠BPM =90°,而 ∠PBM + ∠BPM =90°,∠QPN=∠PBM.
又∠QNP=∠PMB=90°,所以△QNP≌△PMB.PB=PQ.
(2)△PCQ 可能成为等腰三角形.
① 当点P 与点A 重合时,点Q 与点D 重合,这时PQ=QC,△PCQ 是等腰三角形,此时x=0.
② 当点 Q 在边DC 的延长线上,且 CP=CQ 时,△PCQ 是等腰三角形(如图2).
此时,
图1
图2
所以 CQ=QN-CN=，此时x=1.

八年级竞赛2班辅导资料（12） 原班级： 姓名：
综合训练（2）
1.如图，边长为1的正方形ABCD中，E是BC的中点，EF=AF=DF,求EF的长度.

2.为解决停车难的问题，某地利用路边空地设置停车位.
（1）如图（1），矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5m，，请计算车位所占宽度EF的长（结果保留根号）；
（2）如图（2）在一段58cm的路段按照（1）中停放要求，最多可以划出多少个这样的停车位？（）
(1)
(2)

58cm

(1) (2)14

3．如图，一次函数的函数图象与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（，），试用含的代数式表示
四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

八年级竞赛2班辅导资料（13） 原班级： 姓名：
综合训练（3）
1.如图,在△ABC 中,点 D是边AB 延长线上的一点,点 F 是边AC 上的一点,DF 交BC 于点E,并 已 知 BD=CF,DE=EF,∠A=58°,求 ∠C的值.

2.（第七届）设a,b,c表示三角形的三边的长,它们都是正整数,其中,如果b=n(n是正整数）,试问这样的三角形有多少个?
解：
b=n,a=1,c=n
b=n,a=2,c=n或n+1
b=n,a=3,c=n或n+1或n+2
b=n,a=4,c=n或n+1或n+2或n+3
……
b=n,a=n,c=n或n+1或n+2或n+3.或2n-1
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
这样的三角形有n(n+1)/2个

3.老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华:等边三角形一定是奇异三角形!
小明:那直角三角形中是否存在奇异三角形呢?
问题(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的猜想:“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确?
问题(2)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若 Rt△ABC 是奇异三角形,求a∶b∶c;
问题(3)如图,以 AB 为斜边分别在AB 的两侧作直角三角形,且AD=BD,若四边形 ADBC 内存在点E,使得AE=AD,CB=CE.
① 求证:△ACE 是奇异三角形;
② 当△ACE 是直角三角形时,O 为AB 中点,求∠AOC 的度数.

解:(1)因为有:a2+a2=2a2,所以等边三角形一定是奇异三角形.
(2)在 Rt△ABC 中,a2+b2=c2.因为c>b>a>0,所以2c2>a2+b2,2a2<b2+c2,