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高二数学周测5
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设集合A ={x| x2 -x -2 <0} ,B ={x |0 < x < 3} ,则 AÇB = (　　)B
A. (-1,2) B. (0,2) C. (-1 ,3) D. ( 0 ,3 )
2、若为纯虚数，则实数 a 的值为 (　　)A
A. B. - C. D. -
3、过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为 (　　)
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解：设与直线x－2y＋3＝0平行的直线方程为x－2y＋C＝0(C≠3)，过点(－1，3)，则－1－6＋ C＝0，得C＝7，故所求直线方程为x－2y＋7＝0．另解：利用点斜式．故选A．
4、若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝ (　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
解：因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，所以所以n＝－2，m＝2(负值舍去)．所以m＋n＝0．故选A．
5、圆心在y轴上且通过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，故圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2．因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5．所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0．故选B．
6、椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)
A. 　　 B. C.2　 　 D.4
答案 A
解析 将原方程变形为x2＋＝1，由题意知a2＝，b2＝1，
∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.故应选A.
7、已知△ABC中，A、B的坐标分别为(2,0)和(－2,0)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1(y≠0) 　B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(x≠0)
答案 A
解析 点C到两个定点A、B的距离之和为6,6>4，故所求点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝4，则b2＝5.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1，又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选A.
8、设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.

所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理，得|F1F2|＝＝|PF2|.
由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝.所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.故选D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9、椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21 C．－ D.
答案　BC
解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.
10、已知ab≠0,点M(a,b)为圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列结论正确的是(　　)
A.m∥l B.l⊥m C.l与圆相交 D.l与圆相离
解析　因为KMO=ba,∴直线m的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0,∵M在圆内,∴a2+b2<r2,∴m∥l.又圆心到l距离为d=r2a2+b2>r,∴l与圆相离.
答案　AD
11、在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.3 B.1 C.2 D.-2
解析　圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,过P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P、圆心C以及两切点构成正方形,所以PC=22.
∵P在直线y=k(x+1)上,∴圆心到该直线的距离d=|2k-0+k|1+k2≤22,
计算得-22≤k≤22.对照选项,知BCD均有可能.
答案　BCD
12、椭圆上一点A.关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若，设且，则该椭圆离心率的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
答案 ACD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13、平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a·b=4,则向量 a , b 夹角的余弦值为
14、若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是________．
解：由题知直线PQ的斜率是－，故直线PQ的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0．故填x＋2y－5＝0．
15、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
答案　－1
解析　设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c，
∴e＝＝＝－1.

16、设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．
答案 4
解析 ∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)在①，②过，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中；已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左焦点F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解：(1)选①条件，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1．
选②条件，由题意可知C=2，过,则，解得
所以椭圆C的方程为＋＝1．
选③条件，由题意可知C=2，，解得所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2＞0，所以－2＜m＜2，因为x0＝＝－，所以y0＝x0＋m＝，因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以(－)2＋()2＝1，所以m＝±．

18、(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，点N的纵坐标为－1，求椭圆的方程．
解：(1)根据c＝及题设知M(c，)，则由kMN＝有2b2＝3ac．将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为．
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a．①
易知M在第一象限，由三角形的相似得＝，得xN＝－c，
故而N(－c，－1)，
代入C的方程，得＋＝1．②
将①及c＝代入②得＋＝1．
解得a＝7，又b2＝4a＝28，故b＝2．
所以椭圆方程为＋＝1．

19、(本小题满分12分)已知椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，左焦点；
（Ⅱ）经过椭圆的左焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．[来
源.C
【解析】（Ⅰ）由椭圆知，则，故.
所以椭圆的长轴，短轴，离心率，左焦点.
（Ⅱ）设直线方程，由方程组消去，整理得
.
设，则，.
又因为，且已知，
所以．整理化简后得．
解得，， 所以直线的方程：或．
即或．

20、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－.＝2sin－.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.

21、(本小题满分12分)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为.
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
−5
−75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
−70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.

22、(本小题满分12分)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

解：（1）由题设可知，PA=PB= PC．
由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB．△PAC≌△PBC．
又∠APC =90°，故∠APB=90°，∠BPC=90°．
从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．
（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl=，．
解得r=1，l=，从而．由（1）可得，故．
所以三棱锥P-ABC的体积为．