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计算机电路基础(下),前言,教材建设是整个高等院校教育教学工作的重要组成部分，高质量的教材是培养高质量人才的基本保证。教材作为体现高等教育特色的知识载体和教学的基本工具，直接关系到高等教育能否为一线岗位培养符合要求的高技术应用型人才。教育部也把教材建设作为衡量高等院校深化教育教学改革的重要指标，作为检验高等院校人才培养工作的质量与力度的指标。,下一页,返回,前言,近年来，许多高等院校都十分重视教材建设工作，编写和出版了一批质量较高的精品教材，但仍然远远满足不了高等教育发展的需要，而且当前高等院校教材的建设也存在着许多问题，主要表现在以下几个方面:符合高等教育特色的教材不足;现行教材版本偏老，内容陈旧，有的教材虽然冠以“高等院校规划教材”的名义，但缺少配套的实训类教材;实践性教材严重不足，实践性教学一般占高等教育总学时数的1 /31/2，是高等教育中的重要环节，实践性教材的不足已成为制约高等人才培养的“瓶颈”。,下一页,返回,上一页,目录,第1章 数字电子技术基础第2章 逻辑代数的基本运算第3章 逻辑门电路第4章 组合逻辑电路第5章 触发器,目录,第6章 时序逻辑电路第7章 存储器及集成555定时器第8章 数/模和模/数转换第9章 课程设计与应用实例,前言,本书按照突出应用性、针对性和实践性的原则编写，力求反映高等院校课程和教学内容体系的改革方向，反映当前教学的新内容，突出基础理论知识的应用和实践技能的培养;在兼顾理论和内容的同时，基础理论以应用为日的，以“必要”、“够用”为尺度。每章前面有学习目标，章后有本章小结及习题。本书在压缩学时、精简内容的基础上，增加了大量的实践性教学环节，有助于培养学生的创新能力。,下一页,返回,上一页,第1章 数字电子技术基础,1.1 数字电路概述1.2 数制1.3 不同数制间的转换1.4 码制,1.1 数字电路概述,1.1.1 数字信号与数字电路 电子电路所处理的电信号可以分为两类:一类是数值随时间的变化而连续变化的信号，如温度、速度、压力、磁场、电场等物理量通过传感器变成的电信号，以及广播电视中传送的各种语音信号和图像信号等，它们都属于模拟信号;另一类信号是在时间上和数值上都是离散的信号，亦即在时间上是不连续的，总是发生在一系列离散的瞬间，在数值上则是量化的，只能按有限多个增量或阶梯取值，这类信号称为数字信号。,下一页,返回,1.1 数字电路概述,例如，统计某一生产车间生产零件的数量，得到的就是一个数字量，最小数量单位的“1”代表“一个”零件，小于1的数字已没有任何物理意义，表示该物理量的信号就属于数字信号图1-1是模拟信号和数字信号的波形图。按照电子电路中工作信号的不同.通常把电路分为模拟。电路和数字电路。处理模拟信号的电子电路称为模拟电路，如各类放大器、稳压电路等都属于模拟电路;处理数字信号的电子电路称为数字电路，如本书后面要介绍的各类门电路、编码器、译码器、触发器以及计数器等。数字电路有许多区别于模拟电路的特点，主要有以下几点。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,数字电路的工作信号是不连续的数字信号，反映在电路上只有高电位和低电位两种状态，在数字电路中，通常将高电位称为高电平，低电位称为低电平，为分析方便，可分别用二进制的两个数码1和0来表示。高电平对应1，低电平对应0,称为正逻辑关系;反之，则称为负逻辑关系。本书采用的是正逻辑关系。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,数字电路在计数和进行数值运算时采用二进制数，每一位只有0和1两种可能。数字电路中的电子元件通常工作在开关状态，电路结构简单，容易制造，便于集成化、系列化生产，通用性强，使用方便，成本低。数字电路的工作可靠性高，抗干扰能力强。它是利用脉冲信号的有无来代表传输0和1这样的数字信息的，幅度较小的干扰不会影响其最终的结果。数字电路不仅能完成数值运算，而且能够进行逻辑判断和逻辑运算。这在控制系统中是必不可少的，由数字电路组成的数字系统，只要增加数字的位数，就可以提高其运算精度。数字信号易于存储、加密、压缩、传输和再现。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,随着计算机科学与技术日新月异的发展，用数字电路进行信号处理的优势更加突出。为了充分发挥和利用数字电路在信号处理上的强大功能，可以先将模拟信号按比例转换成数字信号，然后传送到数字电路进行处理，最后再将处理结果根据需要转换为相应的模拟信号输出。但数字电路也有一定的局限性，因此，往往把数字电路和模拟电路结合起来，组成一个完整的电子系统。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,1.1.2 脉冲信号及其参数数字电路所处理的各种信号是脉冲信号，脉冲信号是一些不连续的电压或电流，常见的脉冲信号的波形如图1-2所示。例如，发报机在发送信号时，每当操作人员按一次按键，发报机所产生的信号就属于脉冲信号。从广义上讲，一切非正弦的、带有突变特点的波形，都是脉冲。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,最常见的、应用最多的脉冲信号是矩形脉冲，这种信号常用只有两个值的量来表示，即用逻辑变量表示，分别用逻辑0和逻辑1来表示信号的状态(高电平或低电平)，数字电路处理的信号多是矩形脉冲。实际的矩形脉冲不可能如图1-2(a)表示的那么理想，下面结合图1-3所示的实际矩形脉冲波形介绍它的一些主要参数。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,脉冲幅度Um:脉冲信号变化的最大值，单位是伏(v)。脉冲上升时间tr:脉冲信号波形从0.1Um上升到0.9Um所经历的时间。脉冲下降时间tf:脉冲信号波形从0.9Um下降到0.1Um所经历的时间。脉冲上升时间tr和脉冲下降时间tf越短，越接近于理想的矩形脉冲，单位为秒(s)、毫秒(ms、微妙( )、纳秒(ns)。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,脉冲宽度tw:由脉冲信号波形上升沿0.5Um，到下降沿0.5Um之间的时间间隔，单位与tr 、tf相同。脉冲周期T:在周期性脉冲信号中，任意两个相邻脉冲的上升沿(或下降沿)同一数值点之间的时间间隔，单位与tr 、tf相同。脉冲频率f:单位时间(每秒)内出现的脉冲波形个数，单位为赫兹( Hz )、千赫兹(kHz)、兆赫兹(MHz)，脉冲频率f =1/T。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,1.1.3 数字电路的学习方法在模拟电路中，三极管用来放大电信号，工作在特性曲线的放大区;在数字电路中，三极管作为开关元件，工作在饱和区或截止区。因此，在数字电路中，不能用三极管微变等效电路的分析方法，而是要用工程近似的方法，对三极管的开关状态进行分析计算。模拟电路分析的重点是输出信号与输入信号之间的大小、相位关系;数字电路分析的重点是输出信号与输入信号之间的逻辑关系，分析电路所要完成的逻辑功能，主要使用真值表、函数表达式、逻辑电路图等分析方法，这些方法是学习数字电路的重点。,下一页,返回,上一页,1.1 数字电路概述,数字电路的学习应以数字集成电路为主，重点掌握数字集成电路的外部特性及其使用方法。数字电路这门课程的特点是应用性和实践性较强，在学习中要多重视实践环节，多重视理论联系实际，努力提高自己解决实际问题的能力。,返回,上一页,1.2 数制,1.2.1 十进制数十进制是最常用的数制。十进制有0,1 ,2,9十个数码，所以计数的基数是10。超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”同一数码在不同位置上表示的数值不同例如:,下一页,返回,1.2 数制,其中，103 ,102 ,101 ,100 ,10-1,10-2称为十进制各位的“权”。任意一个十进制数D均可展开为其中，di是第i位的系数，它可以是09这十个数码中的任何一个。若整数部分的位数是n，小数部分的位数是m，则i包含从(n1)到0的所有正整数和从-1到-m的所有负整数。,下一页,返回,上一页,1.2 数制,1.2.2 二进制数在数字电路中广泛应用的是二进制。在二进制数中，只有0和1两个数码，所以计数的基数是2，低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”，即1+1 =10，同一数码在不同位置上表示的数值不同例如其中，23 ,22 ,21 ,20 ,2-1,2-2称为二进制各位的“权”。,下一页,返回,上一页,1.2 数制,上式中分别使用下脚注2和10表示括号里的数是二进制数和十进制数。有时也用B (Binary)和D(Decimal)分别代替2和10这两个脚注，所以任意一个二进制数B均可展开为,下一页,返回,上一页,1.2 数制,1.2.3 八进制数在某些场合也使用八进制。在八进制数中，有0,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7八个数码，所以计数的基数是8，低位和相邻高位间的进位关系是“逢八进一”。同一数码在不同位置上表示的数值不同例如:其中，83 ,82 ,81 ,80 ,8-1,8-2称为八进制各位的“权”。有时也用0 ( Octal)代表下脚注8，表示八进制数，所以任意一个八进制数0均可展开为,下一页,返回,上一页,1.2 数制,1.2.4 十六进制数二进制的位数通常是很多的，不便于书写和记忆。例如，要表示十进制数3026，若用二进制数表示则为101111010010，若用十六进制数表示则为BD2，因此在数字系统的资料中常采用十六进制数来表示二进制数。另外，由于目前在微型计算机中普遍采用8位、16位和32位二进制并行运算，而8位、16位和32位的二进制数可以用2位、4位和8位的十六进制数表示，因而用十六进制符号书写程序十分简便,下一页,返回,上一页,1.2 数制,在十六进制数中，有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F十六个数码，所以计数的基数是16，低位和相邻高位间的进位关系是“逢十六进一”。同一数码在不同位置上表示的数值不同例如:其中，163 ,162 ,161 ,160 ,16-1, 16-2称为十六进制各位的“权”。有时也用H ( Hexadecimanl)代表下脚注16，表示十六进制数，所以任意一个十六进制数H均可展开为,下一页,返回,上一页,1.2 数制,在计算机应用系统中，二进制主要用于机器内部的数据处理，八进制和十六进制主要用于书写程序，十进制主要用于运算最终结果的输出。表1-1列出了十进制数0-15与等值二进制、八进制、十六进制数的对照表。,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,由上节可知，十进制、二进制、八进制和十六进制数，均可用下式表示:式中，k为数字符号，R为基数。上式是二进制、八进制和十六进制转换为十进制的基本公式。,下一页,返回,1.3 不同数制间的转换,1.3.1 非十进制数转换为十进制数的方法二进制、八进制、十六进制转换成十进制，只要将它们按位权展开，求出各项的和，即可得到对应的十进制数例如:,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,1.3.2 十进制数转换为其他进制数的方法十进制数分为整数部分和小数部分，需分别进行转换，再把两者转换的结果相加，得出最后的结果。整数部分转换，采用“除基取余法”。把十进制整数N转换成R进制整数的步骤如下。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,将十进制整数N除以R，记下所得商和余数。将上一步所得的商再除以R，记下所得商和余数。重复第二步，直到商为0。将各个余数转换成R进制的数码，并按照与运算过程相反的顺序把各个余数排列起来，所得就是R进制数的整数部分。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-1 将十进制数748D。转换成十六进制数解：748D=2ECH,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-2 将十进制数256D转换成八进制数。解：例1-3 将十进制数10D转换成二进制数。解：即10D=1010B,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,小数部分转换，采用“乘基取整法”。把十进制的小数M转换成R进制小数的步骤如下:将十进制小数M乘以R，记下所得的整数部分。将上一步乘积中的小数部分再乘以R，记下所得的整数部分。重复第二步，直到小数部分为。或者满足精度要求为止。将各步骤所得的整数转换成R进制的数码，并按照与运算过程相同的顺序排列起来，所得就是R进制数的小数部分。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-4 将0.74D。分别转换成十六进制数、八进制数和二进制数。解：0.74 x 16=11.84 11=B 最高位 0.84 x 16=13. 44 13=D 0.44 x 16= 7. 04 7=7 最低位即0. 74D=0. BD7H 0.74 x8=5. 92 5=5 最高位 0.92 x8=7. 36 7=7 0.36x8=2. 88 2=2 最低位,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,即0. 74D=0. 572o 0.74 x 2=1.48 1=1 最高位 0.48 x 2=0.96 0=0 0.96x2=1.92 1=1 最低位 即0.74D=0. 101B 若十进制数既有整数部分又有小数部分，则整数部分和小数部分分别转换，再求和即可。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-5将11.375D转换为二进制数。解：,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,即11D=1011B 0.375 x 2=0.75 0 0.75 x 2=1.5 1 0.5 x 2=1.0 1即0.375D=0.011B故11.375D=1011.011B,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,1.3.3 二进制数与八进制数的转换 由于八进制的基数是8,而8 =23，故每位八进制数由3位二进制数构成。因此，二进制数转换为八进制数的方法是:整数部分从低位开始，每3位二进制数为一组，最后不足3位的，在高位加0补足3位;小数部分则从高位开始，每3位二进制数为一组，最后不足3位的，在低位加0补足3位，然后每一组二进制数用对应的八进制数来代替，再按顺序排写出对应的八进制数。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-6 将二进制数11010101.1110111 B转换成八进制数。解:011 010 101 . 111 011 100 3 2 5 7 3 4所以11010101.1110111B=325. 734o,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,2.八进制数转换为二进制数将每位八进制数用三位二进制数来代替，再按原来的顺序排列起来，便得到了相应的二进制数例1-7将八进制数765. 432o、转换成二进制数。解: 7 6 5 . 4 3 2 111 110 101 . 100 011 010所以765. 432 o= 111110101. 100011010B,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,1.3.4 二进制数与十六进制数的转换1.二进制数转换为十六进制数 由于十六进制的基数是16,而16 = 24，故每位十六进制数由4位二进制数构成。因此，二进制数转换为十六进制数的方法是:整数部分从低位开始，每4位二进制数为一组，最后不足4位的，在高位加0补足4位;小数部分则从高位开始，每4位二进制数为一组，最后不足4位的，在低位加0补足4位，然后每一组二进制数用对应的十六进制数来代替，再按顺序排写出对应的十六进制数。,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,例1-8 将二进制数10111010101.1010111011B转换成十六进制数。解:0101 1101 0101 .1010 1110 1100 5 D 5 . A E C所以10111010101.1010111011B=5D5.AECH,下一页,返回,上一页,1.3 不同数制间的转换,2.十六进制数转换为二进制数将每位十六进制数用4位二进制数来代替，再按原来的顺序排列起来，便得到了相应的二进制数。例1-9将十六进制数4D9. AE6 H转换成二进制数。解:4 D 9 . A E 6 0100 1101 1001 .1010 1110 0110所以4D9. AE6 H = 010011011001.101011100110 B,返回,上一页,1.4 码制,不同的数码既可以用来表示不同数量的大小，又可以用来表示不同的事物。在用数码表示不同的事物时，这些数码已经没有数量大小的含义，所以将它们称为代码。例如，运动会上运动员身上所带的号码就是代码，该代码已失去了数量大小的含义，只是为区分出不同的运动员而设。,下一页,返回,1.4 码制,为了便于记忆和处理，在编制代码时要遵循一定的规则，这些规则就叫码制。在实际中经常使用的编码主要是BCD码。BCD码就是用4位二进制数码表示一位十进制数。09这10个状态。但由于4位二进制数有16种不同的组合状态，用于表示十进制数中的10个数码时，只需选用其中10种组合，其余6种组合不用，因此，BCD码的编码方式有很多种。表1-2列出了几种常见的BCD代码。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,1.4.1 8421码 BCD码可分为有权码和无权码。所谓有权码即每一位都有固定权值的码。有权码用得最多的是8421 BCD码，该码共有4位，其权值从高位到低位分别为8,4,2,1,即23 、22、21、20。虽然它和普通的4位二进制码相应的权值一样，但在8421码中，不允许出现10101111这6种状态，而用00001001这10种状态依次代表十进制数。09十个数码，如表1-2所示。8421码具备单值性，所以也称恒权码。8421码与十进制数之间的关系是4位二进制代码表示一位十进制数例如:7D=01118421，即0 x8+1 x4+1 x2+1 x1=75D=010110008421,下一页,返回,上一页,1.4 码制,1.4.2 2421码2421码也是一种有权码。该码从高位到低位的位权值分别为2,4,2,1，也是4位二进制代码表示一位十进制数。例如，2421码1101代表十进制数7,即1x2+1x4+0 x2+1x1=7。在2421码中，十进制数。和9,1和8 ,2和7 ,3和6 ,4和5的对应位码其中一个为0时，另一个就为1,即互为反码。具有这种特性的代码称之为对9的自补代码。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,BCD码可以直接参与十进制运算，在十进制加、减运算中，常需要求十进制数对9之补，即求9与该数之差，例如，3对9之补是9-3 =6;7对9之补是9-7=2。用2421BCD码能方便地求出某数对9之补，即把该数的2421BCD码自身按位求反(01,1 0)就得到该数对9之补的2421BCD码。例如，十进制数6的2421BCD码为1100,6对9之补是3，则3的2421 B C D码即可通过对6的2421BCD码1100按位求反得到0011。但2421码不具备单值性，容易产生伪码。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,1.4.3 余3码余3码也是4位二进制代码表示一位十进制数字。这种代码可以看成是一种特殊的有权码，因为代码中数码为1的那些位的权值之和，与它所代表的十进制数相差一个固定的常数3。由于余3码使用了8421码的权值，故又称为8421余3码，但对其本身来讲也可认为是无权码。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,余3码的特点是:对于同样的十进制数字，余3码比相应的8421码多0011;余3码也是一种对9的自补代码。两个余3码表示的十进制数相加时需注意，由于每个码都“余3”，其和就“余6”。如果无进位，则结果需减3;如果有进位，丢掉了“余6”，结果需加3。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,1.4.4 5211码5211码是另一种恒权代码。等我们学完第5章计数器的分频后可以发现，如果按8421码接成十进制计数器，则连续输入计数脉冲时，4个触发器输出脉冲对于计数脉冲的分频比从低位到高位依次为5:2:1:1。可见，5211码每一位的权正好与8421码十进制计数器4个触发器输出脉冲的分频比相对应，这种对应关系在构成某些数字系统时很有用。,下一页,返回,上一页,1.4 码制,1.4.5 格雷码 格雷码又称循环码，它的特点是任意两个相邻的数码之间，仅有一位二进制数码不同，其余各位数码均相同(包括一个循环的首尾两个数码均是如此)。这个特点在实际应用中很有意义。例如，在数字电路中，经常需要信息代码按一定顺序变化，如从015升序变化，如果用自然二进制代码表示十进制数的升序，假定从7到8,即从0111到1000，则4位二进制码都要发生改变，如果这4位码的改变不真正同时发生，,下一页,返回,上一页,1.4 码制,那么在某一时刻内就有可能产生错误的代码，如产生的代码是1011(假定0111的最高位和次高位变化较快，最低位和次低位没有变化，还是11而不是1000，虽然误码出现的时间是暂时的，但有时这也是不允许的。格雷码就能避免这种错误，因为从7到8，格雷码只需变化一位就可以，即从0100变为1100，如表1-2所示。所以格雷码是一种可靠性代码，但格雷码的值不能由其各位的二进码权值决定，因此它是一种无权码。,返回,上一页,图1-1 模拟信号和数字信号的波形,(a)模拟信号的波形;(b)数字信号的波形,返回,图1-2 几种常见的脉冲信号的波形,(a) 矩形脉冲;(b)尖脉冲;(c)方波;(d)锯齿波,返回,图1-3 脉冲波形的参数,返回,表1-1 十进制、二进制、八进制、十六进制对照表,返回,表1-2 几种常见的BCD编码,返回,第2章 逻辑代数的基本运算,2.1 逻辑代数2.2 逻辑函数及其表示方法2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,2.1 逻辑代数,逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是19世纪英国数学家乔治布尔首先提出的。所谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。它是用数学的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和普通代数一样也是用字母表示变量，但是这两种代数中的变量含义是完全不同的，逻辑代数中的每个变量(逻辑变量)只有0和1两种取值,0和1不再表示数量的大小，而是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动机的工作与停止。,下一页,返回,2.1 逻辑代数,在数字电路中，输入的信号是“条件”，输出的信号是“结果”，因此输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻辑代数中有3种基本运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,2.1.1 与运算首先，我们来看一个具体的电路试验，电路如图2-1所示，电源E通过A,B两个串联的开关给电灯Y供电。从图2-1(a)可以看出，只有开关A,B同时闭合，灯泡Y才会亮，A,B中有一个或两个断开，灯泡Y就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭合用1表示、断开用0表示，灯泡的亮用1表示、不亮用0表示时，表2-1的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，表2-2就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样一种逻辑关系:“只有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生。”这种逻辑关系称为与逻辑与逻辑的表达式可以用下式来描述:,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,Y=AB或Y=AB (2-1)式中的小圆点“”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的前提下乘号“”可以被省略，而写成Y = AB。在有些文献里，用符号、表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所示。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,2.1.2 或运算 当决定事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足，结果就会发生时，这种逻辑关系称为或逻辑。如图2-2 (a)所示就是或逻辑模型电路，图中A,B是两个并联开关，Y是灯泡，E是电源。当A,B均不通时，则灯泡Y不亮;只要开关A或B有一个接通或两个均接通，则灯泡Y亮。可以看出，该电路满足或逻辑关系，其逻辑关系如表2-3所示。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表达式描述可写为 Y=A+B (2-2)式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用符号, 表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-2(b)所示。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,2.1.3 非运算 另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情(灯泡)的发生是以其相反的条件为依据”。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如图2-3(a)所示。图中E是电源，R是限流电阻。开关A闭合时，灯泡Y不亮;开关A断开时，灯泡Y则亮。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，如表2-6所示，从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为:输入。则输出1;输入1则输出0,即“输入、输出始终相反”。非运算的逻辑表达式可写 (2-3)式中，字母A上方的“-”表示非运算在某些文献里，也有用“”或“”来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图2-3(b)所示。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,2.1.4 几种常见的复合逻辑关系 与、或、非运算是逻辑代数中最基本的3种运算，任何复杂的逻辑关系都可以通过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号以及逻辑真值表分别介绍如下。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,1.与非运算逻辑表达式为 （2-4）逻辑符号如图2-4所示。真值表如表2-7所示 从表2-7中可以看出，只有A,B全为1时，Y才为0，与非逻辑和与逻辑正好相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生”。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,2.或非运算逻辑表达式为 (2-5)逻辑符号如图2-5所示。真值表如表2-8所示。 同样从表2-8中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻辑关系读者可以自己整理一下。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,3.异或运算逻辑表达式为 或者 (2-6)逻辑符号如图2-6所示。真值表如表2-9所示。异或逻辑的特点是:输入相同时，输出为0;输入相异时，输出为1。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,4.同或运算逻辑表达式为 或者 (2-7)逻辑符号如图2-7所示。真值表如表2-10所示。,下一页,返回,上一页,2.1 逻辑代数,5.与或非运算 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图2-9所示是其等效逻辑电路图逻辑表达式为 (2-8)真值表如表2-11所示。根据实际需要，可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。,返回,上一页,2.2 逻辑函数及其表示方法,2.2.1 逻辑函数 一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成的，自变量A,B,C,的取值确定以后，因变量Y的值也就唯一确定了。Y称为A,B,C,的函数。逻辑函数也是如此，但其变量取值只有0和1逻辑函数的一般表达式可写为 Y=F(A，B，C，) (2-9) 与、或、非是3种基本的逻辑运算，即3种基本的逻辑函数。但在实际的逻辑问题中，往往是由3种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的运算形式。,下一页,返回,2.2 逻辑函数及其表示方法,2.2.2 逻辑函数的表示方法 逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。其中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形下面说明各方法之间的转换。例2-1 已知逻辑函数的表达式为 。要求:列出相应的真值表;已知输入波形;画出输出波形;画出逻辑图。,下一页,返回,上一页,2.2 逻辑函数及其表示方法,解:根据逻辑表达式，画出逻辑图如图2-10所示。 将A,B,C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表2-12所示。根据真值表画出的波形图如图2-11所示。,下一页,返回,上一页,2.2 逻辑函数及其表示方法,例2-2 已知函数Y的逻辑图如图2-12所示，写出函数Y的逻辑表达式。解:根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下:最后得到函数Y的表达式为,下一页,返回,上一页,2.2 逻辑函数及其表示方法,通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式例如.对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出 。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式常用的逻辑代数定律和恒等式如下。自等律0-1律重叠律互补律,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,还原律交换律结合律分配律反演律,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,反演律公式或以推广到多个变量(摩尔根定律)吸收率其他常用恒等式有：,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等式成立。例2-3 证明反演率证明:列举A,B的所有取值，并计算出 。其真值表如表2-13所示。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,从表2-13可以直接看出反演率 是成立的。几个常用公式的证明如下。 证明,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.3.2 逻辑代数的3个规则1.代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等式仍然成立。例2-4 已知等式A+AB=A，若令Y=C+D代替等式中的A，试证明新等式(C+D)+(C+D)B=C+D成立。证明:(C+D)+(C+D)B=(C+D)(1+B)=(C+D) 1=C+D,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.反演规则对于任意一个逻辑函数Y，如果要求其反函数Y，只要将Y表达式中的所有“”换成“+”，“+”换成“”, “0”换成“1” , “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数Y的反函数。注意:要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,不是一个变量上的“非”号应保持不变,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,3.对偶规则对于函数Y，若把其表达式中的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”换成“0”，就可得到一个新的逻辑函数Y,Y就是Y的对偶式。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也一定相等这就是对偶规则例如:A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)，则A(B+C+D) =AB+AQ+AD。 使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。利用对偶规则，可以从已知的公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律 成立， 则它的对偶式也是成立的。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.3.3 逻辑函数化简法1.化简的意义 逻辑函数的简化意味着实现这个逻辑函数的电路元件少，从而降低成本，提高电路的可靠性例如:,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,逻辑函数表达式的表达形式大致可分为5种:“与或”式、“与非-与非”式“与或非”式、“或与”式、“或非-或非”式。它们可以相互转换。例如:,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,逻辑函数的化简，通常指的是化简为最简与或表达式。因为任何一个逻辑函数表达式都比较容易展开成与或表达式，一旦求得最简与或式，又比较容易变换为其他形式的表达式。 所谓最简与或式，是指式中含有的乘积项最少，并且每一个乘积项包含的变量也是最少的。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.逻辑函数的化简法 代数化简法就是运用逻辑代数的基本定律、规则和常用公式化简逻辑函数。代数化简法经常采用下列几种方法。(1)合并项法利用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,(2)吸收法,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,(3)消去法,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,(4)配项法利用公式 ，给某个乘积项配项，以达到进一步简化的目的。,下一页,返回,上一页,2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式,使用配项法时要有一定的经验，否则越配越繁。通常对逻辑表达式进行化简要综合使用上述技巧例如:在数字电路中，经常大量使用与非门，所以如何把一个化简了的与或表达式转换为与非-与非式，并用与非门去实现它，是十分重要的。一般来讲，用两次求反法可以将一个化简了的与或式转换成与非-与非式,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,2.4.1 最小项的定义和性质1.最小项的定义 对于N个变量，如果P是一个含有万个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是万个变量的一个最小项。例如 是3个变量A,B,C的最小项而 则不是 。 因为每个变量都有以原变量和反变量两种形式出现的可能，所以N个变量有2N个最小项。,下一页,返回,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,2.最小项的性质每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为1,而其他变量取值都使它的值为0。任意两个不同的最小项的乘积恒为0。全部最小项之和恒为1。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,为了分析最小项的性质，下面列出3个变量的所有最小项的真值表，如表2-14所示。由逻辑函数的真值表可以很容易地写出其标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,3.最小项编号及表达式为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是:把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数就是该最小项的编号。代表符号如表2-15所示。在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。例如: 常写成 或 。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如:要将 化成最小项表达式，这时可以利用 的基本运算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A,B,C的项，即:此式是由4个最小项构成的，它是一组最小项之和，因此是一个最小项表达式。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,对照表2-15，上式中各最小项可分别表示为m7、m6、m3、m1、，所以又可写为由此可见，任何一个逻辑函数都可以化为唯一的最小项表达式。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,2.4.2 逻辑函数的卡诺图表达法1.逻辑变量卡诺图 卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目n，则应有2n个小方格，每个小方格代表一个最小项。卡诺图中将n;个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值决定了小方格的编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。如图2-13所示分别列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。,下一页,返回,上一页,2.4 逻辑函数的卡诺图化简法,卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。 所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同。所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，还包括方格间具有对称相邻性。对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴