教学中有价值的问题探究(张学珍).doc

教学中有价值的问题探究
最近与同学们一起学习了解析几何的两个重点内容，它们是高考的必考内容。平时我们也不遗余力地教与学。其中有一些数学现象是：老师教过了，学生一听也懂，就是一做就错。
如此反复，正确率提高的不多。问题就出在学生是一味的模仿，没能够弄清，或不想弄清原因在哪里。作为老师除了订正本题之外，更多的带着学生反思，追问，小结。老师要带着学生追本溯源，从源头上下功夫。 下面就举求直线方程几个例子说明。
1.过点P（3，－2）与圆相切的切线方程为__________________

2.过点P（2，4）与圆相切的切线方程为__________________

同学们的常规做法是设直线的点斜视方程，以第一题为例
解：设直线的方程为：，则圆心到切线的距离为5，
，解得，所以切线方程是 。
乍一看没问题，可答案是错的，少解了。少了一个方程x=3.原来是斜率不存在忘记了，下次记得要讨论，学生点头好的订正好了。对不起下次还错。学生不知道为什么要讨论了，老师就要告诉他最本质的原因。此题表面上是求切线，本质上就是求过一点P（a,b）求直线方程问题。由于不知此直线的斜率是否存在，故要讨论：（1）斜率不存在时直线方程为：x=a；（2）斜率存在时直线方程设为：。这才是过一点的所有的直线方程。仅有（2）是不全的。此点在新授课时就应重点强调。
重解：（1）斜率不存在时直线方程为：x=3，此线是圆的切线；
（2）斜率存在时直线方程设为：。同上。
同样的方法第二题解的正确结果仅有一个。比较第一、二题是同一类型的方法也一样。但是从结果上看，解的个数不一样。为什么呢？若再换个点会是几个解呢？或者我们不计算就能判断解的个数吗？细细看点P（3，－2）在圆外，故引切线有两条；点P（2，4）在圆上，故引切线有一条。如此借助点与圆的位置关系更有助于我们检验结果的科学性。
第三题3.已知过点M(，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
表面上是求相交直线的问题，本质上用勾股定理转化成求过定点的直线问题，不妨试试。
有时直线过定点是隐藏起来的你找得到吗？试讨论解决以下问题。
引申： 已知圆，
直线，
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
建议老师在让学生充分理解解题过程后，适当的归类，比较，反省，小结，让学生学得踏实，透彻，才能举一反三，提高有效性。