两角和与差的正弦.docx

两角和与差的正弦、余弦和
正切公式(对应学生用书(文)、(理)49～50页)

掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．

① 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程. ② 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用．

1. (必修4P106习题1改编)计算cos42°cos18°－cos48°sin162°的结果等于________．
答案：
解析：原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝.
2. (必修4P104习题5改编)已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝＝1.

3. (必修4P94习题2(1)改编)若sinα＝，α∈，则cos＝__________．
答案：－
解析：由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－.

4．＝
答案：
解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，
所以原式＝＝sin 30°＝．

5．（必修4P110例6改编）已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，则的值为 .
答案：
解析：法一： ；
从而.
法二：x = ,
∵，∴.
∴x =，即 = .

1. 两角差的余弦公式推导过程
设单位圆上两点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，则∠P1OP2＝α－β.
向量a＝＝(cosα，sinα)，b＝＝(cosβ，sinβ)，
则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，
由向量数量积的坐标表示，可知a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
因而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
2. 公式之间的关系及导出过程

3. 公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
tan(α－β)＝
tan(α＋β)＝
4. asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定．

[备课札记]

题型1　 三角函数式的化简与给角求值
例1 (1) 化简：tan＋tan＋tantan；
(2) 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.
解：(1) 原式＝tan[＋]·＋tan·tan＝.
(2) 原式＝·sin 80°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.

(1) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－·cos(θ＋15°)；
(2) 计算：.
解：(1) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－·cos[(θ＋45°)－30°]　
＝sin(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋45°)－sin(θ＋45°)＝0.
(2) 因为sin50°(1＋tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝1，
cos80°＝sin10°＝sin210°.
所以＝＝.
题型2　 给值求值、求角问题
例2 已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1) 求sinα的值；
(2) 求β的值．
解：(1) ∵ tan＝，
∴ sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.
(2) ∵ 0<α<，sin α＝，∴ cosα＝.
又0<α<<β<π，∴ 0<β－α<π.
由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝.
∴ sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝＝.
由<β<π，得β＝π.

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β的大小．

解： 由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝.
题型3　 有限制条件的求值、证明及综合应用问题
例3 　已知sinβ＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)＝tanα.
证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，
即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα.
两边同除以(1－m)cos(α＋β)cosα，
得tan(α＋β)＝tanα(m≠1)，即等式成立．

已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1) 求cosα的值；
(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．
解：(1) 因为sin ＋cos＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.
(2) 因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.

1. (2015·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．
答案：3
解析：tan(α＋β)＝＝，则tanβ＝3.
2. (2015·无锡期末)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．
答案：
解析：函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的函数是y＝2sin， 其图象关于y轴对称，则m＋＝＋kπ，k∈Z，则m的最小值是.
3. (2015·南京模拟)已知sin＝，0＜x＜，则＝________．
答案：
解析：因为x∈，所以－x∈.因为sin＝，所以cos＝.又cos2x＝cos＝sin2＝2sin(－x)cos＝2coscos，所以原式＝2cos＝.
4. (2015·金陵中学联考)在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为________．
答案：196
解析：由题意cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，两式相除得tanA＝tanBtanC，
又由cosA＝13cosBcosC，且cosA＝－cos(B＋C)＝sinAsinB－cosAcosB，
所以sinAsinB＝14cosAcosB，所以tanBtanC＝14.
又tanB＋tanC＝tan(B＋C)(1－tanBtanC)＝－tanA(1－tanBtanC)，
所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＝196.

1. 已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：∵ tanβ＝，
∴ tanβ＝＝tan.
∵ α、β均为锐角，
∴ β＝－α，即α＋β＝，
∴ tan(α＋β)＝tan＝1.
2. 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
答案：1
解析：∵ f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴ f(x)的最大值为1.
3. 已知α∈，sinα＝.
(1) 求sin的值；
(2) 求cos的值．
解：(1) 因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－＝－.
故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.
(2) 由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.
4. 已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；
(2) 已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
(1) 解：f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos ＋sinxsin＝sinx－cosx＝2sin，所以T＝2π，
f(x)min＝－2.
(2) 证明：cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，①
cos(β＋α)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－.②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0＜α＜β≤cosβ＝0β＝.
故f(β)＝[f(β)]2－2＝0.

1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
① 化为特殊角的三角函数值；
② 化为正、负相消的项，消去求值；
③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．
2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示
(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；
(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．
3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：① 已知正切函数值，选正切函数；② 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．