一轮复习讲与练――函数.doc

2010届高三数学一轮复习讲与练――函数
一、本章知识结构：
函数的三要素
函数的表示法
函数的性质
反函数
函数的应用
初等函数
基本初等函数：
幂函数 ； 二次函数
指数函数； 对数函数

对数函数
指数函数

映射
函数

二、考点回顾
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题讲解
考点一：函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
例1、（2009湖北文）设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= .
【解析】易得A= B= ∴A∩B=.
［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合、不等式结合的试题，难度不大，属基础题。
例2、（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是
A．
B.
C.
D．
［解析］根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.
例3、（2009江西文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（　　）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
【解析】由f（x＋2）＝f（x），知函数f（x）的周期为2，又函数是偶函数，故有
f（－2008）＝f(2008)＝f（1004×2＋0）＝f（0），f（2009）＝f（1004×2＋1）＝f（1），所以，,故选C.
［点评］本题考查函数的奇偶性、周期性及对数函数的运算，考查学生对函数周期性的应用。
例4、 (2009山东文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )　A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】由已知得,,,
,,故选B.
［点评］本题主要考查分段函数和对数的运算，注意x的取值范围不同，选择不同的函数，当x＞0时，求函数值是一个递推函数，学生接触得较少。
考点二：二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例5、（2009湖南长沙一中月考试题）若二次函数满足，那么 （ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能确定
［解析］因为f（4）＝f（1），所以，函数的对称轴为x＝，所以，即f（3）＝f（2），故选C。
［点评］本小题主要考查二次函数的性质、对称轴，由已知条件得到二次函数的对称轴，再应用对称轴的性质解题。
例6、(2009年广东文)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设二次函数的解析式为
则它的导函数为，
∵ 函数的图像与直线平行，
∴ 2a=2，解得a=1,
所以 ，
∵在处取得极小值
∴，即，解得。
所以 ，=（）
（1）设点点P（，）为曲线上的任意一点
则点P到点的距离为
由基本不等式定理可知，
当且仅当时，等号“=”成立，此时=
又已知点P到点的距离的最小值为，所以令
两边平方整理， 得
当时，，解得
当时，，解得
所以，的值为或者；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点 21世纪教育
［点评］本题是一道函数综合题，考查了二次函数与导数、不等式、函数的零点等知识，属较难的试题，全面考查学生的综合能力。
考点三：指数函数与对数函数
指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.
例7、(2009山东理)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
［点评］本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.。
例8、（2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（　　）
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
【点评】本题考查了对数函数与指数函数的运算，应用对数函数的性质判断对数的大小是解决本题的关键。
例9、（2009全国卷Ⅱ文）设则（　　）
（A） （B） （C） （D）
【解析】由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较：c－b＝lge－（lge）2＝lge（－lge）＞0，知 c>b,故选B。
【点评】应用对数函数、指数函数比较对数、指数大小的试题，在近年高考中经常出现，充分利用函数的图象或性质来求解即可，属容易题。
考点四：反函数
反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图象关系。主要利用方法为：
1、 反函数的概念及求解步骤：①由方程y=¦(x)中解出x=j(y)；即用y的代数式表示x.。②改写字母x和y，得出y=¦-1(x)；③求出或写出反函数的定义域，（亦即y=¦(x)的值域）。 即反解Þ互换Þ求定义域
2、 互为反函数的两个函数的图象之间的关系，
3、 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y=。
例10、(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 （　　）
A． B． C． D．2
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
【点评】在新教材里，只要求掌握对数函数与指数函数是互为反函数即可，广东的这道题充分体现新课标的要求。
例11、(2009湖北理)设a为非零实数，函数
A、 B、
C、 D、
【解析】由原函数是，从中解得：
即原函数的反函数是，
故选择D
［点评］：本题考查互为反函数的两个函数求法及其之间的性质关系，即：反函数的定义域为原函数的值域。
考点五：抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，
（一） 函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.
（二 ）特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等
2、在求函数值时，可用特殊值代入
3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.
总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.
例12、(2009山东文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
【解析】因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
考点六：函数的综合应用
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
　　例13、(2009山东卷理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
A
B
C
x
［解析］:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
［点评］:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
　例14、(2009湖南卷理)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
［解析］（Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64 21世纪教育网
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．
考点七、函数的零点
例15、（2009福建文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是（　　）
A. B.
C. D.
［解析］ 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
［点评］：如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，且f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。
例16、（2009天津理）设函数则
A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
［解析］由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。
［点评］本题的解法给了用导数方法判断零点，用函数零点的判断方法也是可以的，同学们可以试一试一点多解。
四、方法总结与2010年高考预测
（一）思想方法总结
1. 数形结合
2. 分类讨论
3. 函数与方程
（二）2010年高考预测
1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.
2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.
3.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.
4加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.
5、注意与导数结合考查函数的性质.
6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视。
五、复习建议
基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习函数时要注意：
1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.
5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.
六、考能练习
一、选择题：
1．函数的定义域为（　　）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
2.下列四组函数中，表示同一函数的是　　　　（　 ）
A． B．
C． D．
3. 函数的定义域为，那么其值域为　　　　　　（　）
A． B． C． D．
4. 设，则（　　）
A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c
5、函数的反函数是（　　）
A. B.
C. D.
6. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…

1.149
1.516
2.0
2.639
3.482.
4.595
6.063
8.0
10.556
…

0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程的一个根位于下列区间的（ ）.
A.（0.6，1.0） B.（1.4，1.8） C.（1.8，2.2） 　D.（2.6，3.0）
7.函数的单调增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
8.若指数函数上的最大值与最小值的差是2，则底数等于（ ）
A、 B、 C、 D、

9.已知函数（其中），若的图像
如右图所示，则函数的图像是（　 　）

A． 　B． 　C． 　D．
10. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（　　）
(A) (B) (C) (D) 1
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷中相应位置.）
11. 设函数 则=_________
12. 经化简后，的结果是 ，的结果是 。
13. 函数是偶函数，且在（0,+∞）上是减函数，则整数a的取值为 .
14. 已知函数的值为
三、解答题：
15. 若方程有两个实根，则有此定理叫韦达定理，根据韦达定理可以求解下题：已知lg是方程的两个实数根，则（1）求的值；
（2）求的值。

16、已知函数是奇函数
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给予证明.

17、已知函数，且，
（1）求的解析式；
（2）当,求的值域；

18、某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R （x）=3700x + 45x2 – 10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460 x +5000（单位：万元）.又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为：Mf（x）= f（x+1）－f（x）.求：
（1）利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值－成本）
（2）年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

19、已知方程
（1）若，则求该方程的实数根；
（2）若此方程有解，求实数的取值范围？

20、设。
（1）求在上的值域；
（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。

练习答案
一、选择题：
1、D　2、D　3、A　4、B　5、C　6、C　7、D　8、D　9、A　10、B
二、填空题：
11. 12. ；1 13. 1 14. 0
三、解答题：
15、解：依题意可得：
（1）∴
（2）=

16、解：（1）∵f(x)是奇函数，∴
即，即整理得：对任意都成立，∴，即
（2）此时，f(x)在是增函数
证明：任取

∵，且函数是增函数，∴<0, >0
∴ <0,所以函数f(x)在是增函数。
17、解：（1）由，得
∴=
（2）设
，由g(x)在的图象可得，所以
当时，即，g(x)有最大值为；
当时，即，g(x)有最小值为-2。
故，的值域是[-2，]。
18、解：（1）P（x）= R（x）– C（x）= – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000, （xÎN且xÎ[1, 20]）;
MP（x）= P（x + 1） – P（x） = – 30x2 + 60x +3275 （xÎN且xÎ[1, 20]）.
（2） P′(x) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30（x +9）（x – 12）（xÎN且xÎ[1, 20]）
当1< x < 12时, P`（x） > 0, P（x）单调递增,
当 12 <x < 20时, P`（x） < 0 , P （ x ） 单调递减.
∴ x = 12 时, P（x）取最大值,
即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.
（3） 由MP（x ） = – 30（ x – 1） 2 + 3305 （xÎN且xÎ[1, 20]）.
∴当1< x £ 20时，MP （x）单调递减.
MP （x）是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.
19、解：原方程可化为：
，即
（1）若，则，解得：
故，方程的根为1。
（2）若此方程有解，等价于方程有正根，可分为两种情况：
（ⅰ）若该方程有一正根，一负根，则有：
…9分
（ⅱ）若该方程有两正根，则有：

（ⅲ）若该方程有两根，一正根和一零根，则有：

综上所述，实数的取值范围为。
（2）解法2：设，若此方程有解，等价于函数f(t)在原点右侧有零点。（ⅰ）若该函数只有一个正零点，则有：
…9分
（ⅱ）若该函数有两正零点，则有：

（ⅲ）若该函数有两正零点，一正和一零，则有：

综上所述，实数的取值范围为。
20、解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立.
∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。
法二:, 复合函数求值域.
法三:用双勾函数求值域.
(2)值域[0,1]，在上的值域.
由条件,只须，∴.