三角复习教师版学案4.doc

第四讲 解三角形
一、知识梳理
1.正弦定理：
基本公式：在△ABC中， (R为△ABC外接圆半径)
两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的边角.
2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
基础题型：
利用正弦定理公式原型解三角形
1．（2012.广东.文6）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=，则AC等于( B )
A. B. C. D.
2.（2013.湖南3）在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若，则角A等于（ D ） A. B. C. D.
3.(2012.天津6) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知8b=5c，C=2B，则cosC等于（ A ） A. B. C. D.
三角形解的个数的讨论
4.在△ABC中，求角A、C和边c

5.（2010.湖北3）在△ABC中，,则cosB等于（ D ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c . 且
则满足此条件的三角形有（ A ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.无数个

公式变形：
a= b= c=

sinA= sinB= sinC=

a ：b ：c=
7.（2011.辽宁4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则（ D ） A． B． C． D．
2.余弦定理：
基本公式： a2=b2+c2﹣2bccosA cosA=
b2=a2+c2﹣2accosB cosB=
c2=a2+b2﹣2abcosC cosC=
两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
基础题型：利用余弦定理公式原型解三角形
8. 在△ABC中，BC=6，AB=4，，那么AC等于（ A ）
A．6 B． C． D．
9.在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC的大小为（ A ）
A. B. C. D.
10．(2011.重庆6)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为（ A ） A． B． C． 1 D．
11.(2010.天津7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（ A ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.面积公式：S=absinC =acsin B=bcsinA

基础题型：
12．（2010.新课标全国文15）．中，，则的面积为
13.（2012.湖南文）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60º，则BC边上的高等于（ B ）
A. B. C. D.
4.正余弦定理在实际中的应用
求
距离
两点间不可通又不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达

求
高度
底部可达
底部不可达

题型1 计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。
5.实际问题中的常用角
(1)仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，
视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平
线的夹角叫做俯角.

(2)方位角：指从 指北 方向顺时针转到目标方向线的水平角
二、重点难点 题型过关
题型一 判断三角形的形状
例1：(2012.上海16)在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是( C )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D不能确定
变式练习：
1.（2013.陕西7）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2.在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是 等腰或等边三角形 .
3.（2012.安徽15）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是　____①②③　（写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜ ②若a+b＞2c，则C＜ ③若a3+b3=c3，则C＜
④若（a+b）c=2ab，则C＞ ⑤若（a2+b2）c2=2a2b2，则C＞．
解：①ab＞c2，cosC=＞=，C＜，故①正确；
②a+b＞2c，cosC=＞≥=，C＜，②正确；
③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；
④取a=b=c=2，满足（a+b）c=2ab得：C=＜，故④错误；
⑤取a=b=c=，满足（a2+b2）c2=2a2b2，此时有C=，故⑤错误，故答案为①②③
方法总结：判断三角形形状的方法：
（1）根据余弦定理，当a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。
(2)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
(3)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。
题型二 正、余弦定理的综合应用
注明：正、余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：S=absinC =acsin B=bcsinA
(4)三角函数的恒等变形。
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin
(5)sinA>sinBA>Ba > b
例2：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角B 的大小；（2）若，求△ABC的面积.

变式练习：
4.(2012.新课标全国17)已知分别为三个内角的对边，
。（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求。
解：（Ⅰ）由正弦定理得：

（Ⅱ）解得：
5.(2010.辽宁17)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且.（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得，即
由余弦定理得，故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
6.(2010.新课标全国文16)在中，D为BC边上一点，,,.
若,则BD= .
7.(2010.新课标全国16)在中，D为边BC上一点，BD=DC, ∠ADB =120°，AD=2，若的面积为，则= 60° .
解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，所以DC＝2(－1)，又因为BD＝DC，所以BD＝－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝DC·AE＝3－，所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2－3，所以tan∠ACE＝＝＝2＋，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
8.(2013.新课标1卷全国17)
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
A
B
C
P
(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

9.(2011.新课标全国16).在中，，则的最大值为

10.（2012.湖北文8）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（ D ）
A. 4：3：2 B.5：6：7 C. 5：4：3 D. 6：5：4

题型三 正、余弦定理的实际应用问题
例3：（2010.陕西17）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得
=
30（海里），则需要的时间（小时）。
答：救援船到达D点需要1小时。
注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。
变式练习：
11.（2007.海南）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．由正弦定理得．
所以．
在中，

12．（2009.海南）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条
直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，
于A处测得水深，于B处测得水深，于C
处测得水深，求∠DEF的余弦值．
解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在△EDF中，由余弦定理，
．
13.某人在塔的正东沿着南偏西60º的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30º，求塔高.