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符号意识的理解与实例分析
马云鹏 ( 东北师范大学教育学部 教授 )
符号意识是《标准》中 10 个核心概念之一。原来提出的是符号感，后改为符号意识，也是很重要的核心概念。
一、符号意识的含意
《标准》中关于符号意识的表述：符号意识主要指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
首先，要理解符号的意义。用数字表示数量就是一种符号，而从数字抽象出的字母有 a 、 b 、 c 、 x 、 y 等，一般用 a 、 b 、 c 表示常量， x 、 y 表示变量。还有一些运算符号如 + 、 - 、×、÷，在这里指的符号主要是指用字母表示数和运算符号的意义。
其次，运用符号表示对象是代数表达式所必须，也是从算术思维到代数思维所必须运用的。如加法交换律用语言表示是：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。如果用符号表示就是 ，既简洁又抽象，这正体现了数学的一种简洁美。从这种意义上讲，符号也是数学的发展与进步。
最后，使用符号进行运算和推理，得到一般结论，如公式、定律的推理表示。在小学几何图形的计算公式都是符号意识的体现，如长方形的面积公式是长×宽，用符号表示就是 。
【案例 1 】用字母表示数
用字母表示数不仅是对具体事物的抽象符号，还是一种数量关系的抽象。比如学习乘法交换律一般是归纳的方式进行学习。比如 ， ， ，计算左右两边相等，不妨用 a 、 b 分别表示两个因数，就可以表示成 。
在教材的呈现和教学过程中都有用字母表示数，帮助学生建立符号意识。教材中有 ( 1 ) 、 ( 2 ) 两种方式对比 ( 1 ) 、 ( 2 ) ：。教材 ( 1 ) 中，直接给出字母表示数的公式，这种呈现方式简单明了，但是学生没有看到数字抽象成字母的过程；。而教材 ( 2 ) 中提供了一些情境，比如爸爸的年龄与孩子年龄的关系。小红 1 岁时，爸爸 31 岁；小红 2 岁时，爸爸是 2+30 ；小红 3 岁的时候，爸爸是 3+30 ；小红 4 岁的时候，爸爸是 4+30 ……当小红 8 岁的时候，爸爸多大？小红， 10 岁的时候，爸爸多大呢？小红的年龄与爸爸的年龄是什么关系呢？用文字表示是小红的年龄加上 30 岁等于爸爸的年龄。如果用 a 表示小红的年龄，则爸爸的年龄应该是 a+30 岁。给出一个具体的年龄，比如小红 11 岁，则爸爸应该是 11+30 岁。可以看出用符号来表示一组数，能使之更简洁。
1 ．符号表达。 [1] 考虑这样的问题：两个和为 10 的自然数可以组成数对，那么，都可以组成怎样的数对呢？这个问题可以参见《义务教育数学课程标准》的例 10 。对于这样的问题，低学段学生的回答可能非常随机，比如 3 和 7 、 4 和 6 等等。这样回答问题往往会出现重复或遗漏，因此，教师要引导学生有规律地思考问题，这就需要借助符号（或者图形）进行表达。比如，如果其中一个不超过 10 的自然数是 a ，那么，另一个自然数就是 10-a ，组成的数对是 (a ， 10-a) 。这样就可以有规律地回答问题：
a
0
1
2
3
4
5
10-a
10
9
8
7
6
5
由此可以看到，有规律地回答问题可以避免杂乱无章、是一种理性的表现。特别是有规律地回答问题可以从中发现一些共性的东西，参见下面关于方程的讨论。因此，在这样的教学过程中，可以培养学生有序思维的习惯，积累数学思维的基本经验。
2 ．解释算理。要一般性的解释一种规则，必须借用符号。比如，解释加法交换律的教学步骤可以是这样的，先让学生作一些与交换律有关的数字例子：
2+3=5
3+2=5
2+3=3+2
7+8=15
8+7=15
7+8=8+7
……

通过这些例子，可以启发学生猜想，这个结果是不是一般性地成立呢？如果一般性成立，那么应当如何表达这个结果呢？引导学生思考：如果用 a 和 b 表示两个数，类比上面的数字结果，一般的结果是不是可以写成 这样的等式？这就是通过归纳推理提出猜测的思维过程，这是一个从具体走向一般的思维过程。从这个例子可以看到，只有通过符号才能清晰地表达一般性的结果。
二、符号意识在数学学习中的价值
《标准》中指出：建立符号意识有助于学生理解符号，符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
首先是数学表达：从数量到数（如从四只羊，四个轮子，四条腿到“ 4 ”），从数到字母，从语言到符号表达方式的改变（两个数相加，调换加数的位置得数不变 ) ，抽象程度是不断提高的。
其次是数学思考：从形象思维到抽象思维，从算术思考到代数思考，比如方程的优越性在于把一个未知的数量用字母表示，使未知数与已知的数量同等地位，从而简便了运算和表达。
三、教学中体现符号意识的案例分析
【案例 2 】 [2]
唱儿歌——《数青蛙》
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；
……
让学生边拍手边有节奏地哼唱着，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多的数不清。这时赵老师问：“还能唱吗？”学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？
学生在练习纸上填：
生 1 ：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。
生 2 ： a 只青蛙 b 张嘴， c 只眼睛 d 条腿。
生 3 ： a 只青蛙 a 张嘴， b 只眼睛 c 条腿。
生 4 ： a 只青蛙 a 张嘴， aa 只眼睛 aaaa 条腿。
生 5 ： a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。
通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：生 1 还没有走到“用字母表示数”这步，还停留在用语言来描述数量及关系；生 2 虽然走到“用字母表示数”这步，但没有表示出数量关系；生 3 走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；生 4 走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导；生 5 真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。
老师在课堂上通过这样一个学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在儿歌一句句的诵读中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。学生在唱儿歌的过程中，将发现其中的规律，并运用字母表示任意只青蛙，从而体会引进字母表示数的必要性和符号表示的“概括”作用。他们还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律、乘法运算律、长方形面积公式、圆柱体积公式、路程速度时间的关系），在表示公式和法则的活动中，学生将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运算可以表示一般的规律。
【案例分析】
1. 为学生提供恰当的情境，用小棒摆三角形，使学生思考小棒的个数与三角形数量的关系。在表示的过程中，尝试用简洁的方式表示，用符号表示数量关系。用三角形、数青蛙和父子年龄三种不同的情境有什么不同之处？三角形的情境可以让学生数到很大的数；而年龄的例子与生活的关系更密切但是数量有限；而青蛙是儿歌，学生更容易接受。
2. 在过程中体验字母表示数的重要性，学生在学习中会有很多看似幼稚的想法，这正是不断积累活动经验，不断感知符号的过程。
3. 其中学生逐步理解字母表示数的意义和价值从而加强学生的符号意识。

参考资料：
[1] [2] 马云鹏 . 数学课程标准——小学数学教师研修指南 [M]. 东北师范大学出版社， 2013.