巧妙构造函数解决数学问题（赢未来发表）.doc

巧妙构造函数解决高考导数问题
鄢陵县第一高级中学 袁海杰
导数是高中数学选修2-2内容，是高考的必考题目，是理科中的压轴题，是难点也是重点。核心考点为：一、导数的概念及其几何意义；二、利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，三、定积分的运算及应用；四、导数的综合应用。特别是第二大快知识，通常需要构造函数解决问题，那么今天我就怎样构造函数简单介绍一些方法，希望对同学们有所帮助。
一、直接构造函数求导
例1、 函数的定义域为R, f(-1)=3,对于任意x∈R, ， 则不等式的解集为(　 　)
A. (-1,+∞) B. (-1,1) C.(-∞,-1) D.R
解析：B
构造函数，则所以为单调递增函数，又所以故选B。
二、利用求导后是本身构造函数
例2、设函数是函数（x∈R）的导函数，且
则不等式的解集是 （ ）
A. B. C. D.
解析：B 因为导函数与原函数之间无变量联系，直接构造有困难，考虑求导后是本身。因此构造，从而轻易解得，故选B。
三、利用函数除法公式构造
例3、已知函数是定义在x∈R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数，有，则有 （ ）
A. B.
C. D. 大小不能确定
解析：A 回忆导数公式

从题目中难于构造函数，但从选择支上看，出现，所以猜想；
记，则
所以为减函数，则
即故选A
温馨提示：如果改成，相信大家也能做。
例4、已知偶函数的导函数，且满足，当，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解析：D
这道题与前面都不同，即便移项后出现减法，但似乎也不能直接构造减法，因为题目中出现，所以联想分母出现。
记，则
因为当，所以从而在上为减函数
又因为为偶函数，所以也为偶函数，且
所以由或故选D.
四、涉及到两个函数的题型
例5、已知函数，其中，若方程有唯一解，则的值为
解析：方法1（构造函数）记
因为方程有唯一解，所以有唯一的零点，而根据导数与函数单调性关系知在上递增，在上递减。所以当时，取得极大值，也是最大值，且，又因为有唯一零点所以；
解法2（导数几何意义）记可看作是一条切线，设切点坐标为，则又因为从而有；

总评：导数这一部分题目灵活多变，而且难度较大，这就需要同学们在以后的做题中注意总结归纳，以便在考试中，以不变应万变，最后希望同学们能够把这一部分知识掌握好。