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本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第,二,章 初等模型,2.1,公平席位分配,2.2,录像机计数器用途,2.3,双层玻璃窗功效,2.4,汽车刹车距离,2.5,划艇比赛成绩,2.6,实物交换,2.,7,核军备竞赛,2.,8,启帆远航,2.,9,量纲分析与无量纲化,第1页,2.1,公平席位分配,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5,乙 63 31.5,丙 34 17.0,总和 200 100.0 20.0 20,21席分配,百分比 结果,10.815,6.615,3.570,21.000 21,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按百分比分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，,三系人数为103,63,34,问20席怎样分配。,若增加为21席，又怎样分配。,百分比加通例,对丙系公平吗,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5 10.3,乙 63 31.5 6.3,丙 34 17.0 3.4,总和 200 100.0 20.0 20,系别 学生 百分比 20席分配,人数 （%）百分比 结果,甲 103 51.5 10.3,10,乙 63 31.5 6.3,6,丙 34 17.0 3.4,4,总和 200 100.0 20.0 20,21席分配,百分比 结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000 21,第2页,“公平”分配方法,衡量公平分配数量指标,人数 席位,A方,p,1,n,1,B,方,p,2,n,2,当,p,1,/,n,1,=,p,2,/,n,2,时，分配公平,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,对A绝对不公平度,p,1,=150,n,1,=10,p,1,/,n,1,=15,p,2,=100,n,2,=10,p,2,/,n,2,=10,p,1,=1050,n,1,=10,p,1,/,n,1,=105,p,2,=1000,n,2,=10,p,2,/,n,2,=100,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,但后者对,A,不公平程度已大大降低!,虽二者,绝对不公平度相同,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,第3页,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽可能小,设A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给A,还是B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对A不公平,对A相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性席位分配转化为动态席位分配,即,“公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,第4页,1）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给 A,2）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1)，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给 B,第5页,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,)车身平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不一样,刹车距离,反应时间,司机情况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,第23页,假 设 与 建 模,1.刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能改变;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车质量,m,成正比,第24页,反应时间,t,1,经验预计值为0.75秒,参数预计,利用交通部门提供一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.06,计算刹车距离、刹车时间,车速,(英里/小时)(英尺/秒),实际刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42（44）,39.0,1.5,30,44.0,73.5（78）,76.6,1.8,40,58.7,116（124）,126.2,2.1,50,73.3,173（186）,187.8,2.5,60,88.0,248（268）,261.4,3.0,70,102.7,343（372）,347.1,3.6,80,117.3,464（506）,444.8,4.3,第25页,“2秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(英里/小时),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里/小时）,010,1040,4060,6080,t,（秒）,1,2,3,4,第26页,2.5,划艇比赛成绩,赛艇 米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米)(米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇（,单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军成绩进行比较，发觉与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,第27页,问题分析,前进阻力 浸没部分与水摩擦力,前进动力 浆手划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速关系等作出假定,利用适当物理定律建立模型,第28页,模型假设,1）艇形状相同(,l/b,为常数),w,0,与,n,成正比,2）,v,是常数，阻力,f,与,sv,2,成正比,符号：艇速,v,浸没面积,s,浸没体积,A,空艇重,w,0,阻力,f,浆手数,n,浆手功率,p,浆手体重,w,艇重,W,艇静态特征,艇动态特征,3）,w,相同，,p,不变，,p,与,w,成正比,浆手特征,模型建立,f,sv,2,p,w,v,(,n/s,),1/3,s,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,s,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n,1/9,np,fv,第29页,模型检验,n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军平均成绩对模型,t,n,1/9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,第30页,问题,甲有物品,X,乙有物品,Y,双方为满足更高需要，约定相互交换一部分。研究实物交换方案。,y,x,p,.,用,x,y,分别表示甲(乙)占有,X,Y,数量。设交换前甲占有,X,数量为,x,0,乙占有,Y,数量为,y,0,作图：,若不考虑双方对,X,Y,偏爱，则矩形内任一点,p,(,x,y,),都是一个交换方案：甲占有,(,x,y,)，乙占有,(,x,0,-,x,y,0,-,y,),x,y,y,o,0,x,o,2.6,实物交换,第31页,x,y,y,o,y,1,y,2,0,x,1,x,2,x,o,p,1,p,2,.,.,甲无差异曲线,分析与建模,假如甲占有(,x,1,y,1,)与占有(,x,2,y,2,)含有一样满意程度，即,p,1,p,2,对甲是无差异，,M,N,将,全部与,p,1,p,2,无差异点连接起来，得到一条,无差异曲线,MN,线上各点满意度相同,线形状反应对,X,Y,偏爱程度，,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比,MN,各点满意度更高点如,p,3,，在另一条无差异曲线,M,1,N,1,上。于是形成一族无差异曲线（无数条）。,第32页,p,1,.,p,2,.,c,1,y,0,x,f,(,x,y,)=,c,1,无差异曲线族性质：,单调减(,x,增加,y,减小),下凸(凸向原点),互不相交,在,p,1,点占有,x,少、,y,多，宁愿以较多,y,换取较少,x,;,在,p,2,点占有,y,少、,x,多，就要以较多,x,换取较少,y,。,甲无差异曲线族记作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,满意度,（,f,等满意度曲线）,第33页,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,乙无差异曲线族,g,(,x,y,)=,c,2,含有相同性质（形状能够不一样）,双方交换路径,x,y,y,o,O,x,o,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙无差异曲线族,g,=,c,2,(,坐标系,x,O,y,且反向）,甲无差异曲线族,f,=,c,1,A,B,p,P,双方满意交换方案必在,AB,（交换路径）上,因为在AB外任一点,p,(,双方)满意度低于AB上点,p,两族曲线切点连线记作,AB,第34页,A,B,p,交换方案深入确定,交换方案 交换后甲占有量(,x,y,),0,x,x,0,0,y,y,0,矩形内任一点,交换路径AB,双方无差异曲线族,等价交换标准,X,Y,用货币衡量其价值，设交换前,x,0,y,0,价值相同，则等价交换标准下交换路径为,C,D,(,x,0,0),(0,y,0,),两点连线CD,AB,与CD交点,p,设,X,单价,a,Y,单价,b,则等价交换下,ax,+,by,=,s,(,s=ax,0,=by,0,),y,y,o,0,x,o,.,.,x,第35页,2.7,核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己安全，实施“核威慑战略”，核军备竞赛不停升级。,伴随前苏联解体和冷战结束，双方经过了一系列核裁军协议。,在什么情况下双方核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时平衡状态。,当一方采取加强防御、提升武器精度、发展多弹头导弹等办法时，平衡状态会发生什么改变。,预计平衡状态下双方拥有最少核武器数量，这个数量受哪些原因影响。,背景,第36页,以双方(战略)核导弹数量描述核军备大小。,假定双方采取以下一样,核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保留足够核导弹，给对方主要目标以毁灭性打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方一个核导弹基地。,摧毁这个基地可能性是常数，它由一方攻击精度和另一方防御能力决定。,模型假设,第37页,图模型,y,=,f,(,x,)甲方有,x,枚导弹，乙方所需最少导弹数,x,=,g,(,y,)乙方有,y,枚导弹，甲方所需最少导弹数,当,x,=0时,y,=,y,0,，,y,0,乙方,威慑值,x,y,y,0,0,y,0,甲方实施第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全区,甲安全区,双方,安全区,P,平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,第38页,精细模型,乙方,残余率,s,甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁概率。,sx,个基地未摧毁，,y,x,个基地未攻击。,xy,甲方以,x,攻击乙方,y,个基地中,x,个,y,0,=,sx,+,y,x,x=y,y,0,=,sy,乙,x,y,个被攻击2次，,s,2,(,x,y,)个未摧毁；,y,(,x,y,)=2,y,x,个被攻击1次，,s,(2,y,x,)个未摧毁,y,0,=,s,2,(,x,y,)+,s,(2,y,x,),x,=2,y,y,0,=,s,2,y,yx,2,y,y,=,y,0,+(1-,s,),x,y,=,y,0,/,s,y,=,y,0,/,s,2,第39页,a,交换比(甲乙导弹数量比),x,=,a y,精细模型,x=y,y,=,y,0,/,s,x,=2,y,y,=,y,0,/,s,2,y,0,威慑值,s,残余率,y,=,f,(,x,),y,是一条上凸曲线,y,0,变大，曲线上移、变陡,s,变大，,y,减小，曲线变平,a,变大，,y,增加，曲线变陡,x,y,0,y,0,xy,y,=,y,0,+(1-,s,),x,x=y,x,=2,y,yx,2,y,第40页,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值,y,0,变大,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),甲方被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它原因不变）,乙安全线,y,=,f,(,x,)上移,模型解释,平衡点,P,P,第41页,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线,y,=,f,(,x,)不变,甲方残余率变大,威慑值,x,0,和交换比不变,x,减小，甲安全线,x,=,g,(,y,)向,y,轴靠近,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),模型解释,甲方这种单独行为，会使双方核导弹降低,P,P,第42页,双方发展多弹头导弹，每个弹头能够独立地摧毁目标,(,x,y,仍为双方核导弹数量),双方威慑值减小，残余率不变，交换比增加,y,0,减小,y,下移且变平,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),a,变大,y,增加且变陡,双方导弹增加还是降低，需要更多信息及更详细分析,模型解释,乙安全线,y,=,f,(,x,),第43页,帆船在海面上乘风远航，确定最正确航行方向及帆朝向,简化问题,A,B,风向,北,航向,帆船,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方B点，确定起航时航向,，,帆,以及帆朝向,2.8,启帆远航,第44页,模型分析,风(经过帆)对船推力,w,风对船体部分阻力,p,推力,w,分解,w,p,阻力,p,分解,w=w,1,+w,2,w,1,w,2,w,1,=f,1,+f,2,f,1,f,2,p,2,p,1,p,=,p,1,+,p,2,模型假设,w,与帆迎风面积,s,1,成正比，,p,与船迎风面积,s,2,成正比，百分比系数相同且,s,1,远大于,s,2,，,f,1,航行方向推力,p,1,航行方向阻力,第45页,w,1,=,w,sin(,-,),f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=,p,cos,模型假设,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,w,2,与帆面平行，可忽略,f,2,p,2,垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks,1,p=ks,2,船在正东方向速度分量,v,1,=,v,cos,航向速度,v,与力,f=f,1,-,p,1,成正比,v,=,k,1,(,f,1,-p,1,),v,1,v,第46页,2)令,=,/2,v,1,=,k,1,w,(1,-cos,)/2,-p,cos,cos,求,使,v,1,最大,（,w=ks,1,p=ks,2,）,1)当,固定时求,使,f,1,最大,f,1,=,w,cos(,-,2,)-cos,/2,=,/2,时,f,1,=,w,(1,-cos,)/2,最大,=k,1,(,f,1,-p,1,)cos,f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=p,cos,求,使,v,1,最大,模型建立,v,1,=,v,cos,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,v,1,v,模型求解,第47页,60,75,1,t,2,v,1,最大,备注,只讨论起航时航向，是静态模型,航行过程中终点B将不在正东方,记,t,=1+2,s,2,/,s,1,k,2,=,k,1,w,/2,=(,k,1,w,/2)1-(1+2,p/w,)cos,cos,w=ks,1,p=ks,2,1/4,cos,s,2,第48页,2.9,量纲分析与无量纲化,物理量量纲,长度,l,量纲记,L,=,l,质量,m,量纲记,M,=,m,时间,t,量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,量纲,a,=,LT,-2,力,f,量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),2.9.1,量纲齐次标准,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,第49页,量纲齐次标准,等式两端量纲一致,量纲分析利用量纲齐次标准寻求物理量之间关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,表示式,设物理量,t,m,l,g,之间相关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1)量纲表示式,对比,第50页,对,x,y,z,两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2,y,2,z,2,),为何假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,)形式为,第51页,单摆运动中,t,m,l,g,普通表示式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,第52页,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立无量纲量,且,则,第53页,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g。,m,=6,n,=3,第54页,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,第55页,F,(,1,2,3,)=0与,(,g,l,v,s,f,)=0 等价,为得到阻力,f,显式表示式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0 与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0 等价,第56页,量纲分析法评注,物理量选取,基本量纲选取,基本解结构,结果不足,()=0,中包含哪些物理量是至关主要,基本量纲个数,n,;选哪些基本量纲,有目标地结构,Ay,=0 基本解,方法普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定专业知识,第57页,2.9.2,量纲分析在物理模拟中应用,例:航船阻力物理模拟,经过航船模型确定原型船所受阻力,模型船参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船参数,(,f,1,未知，其它已知),注意：二者,相同,第58页,按一定尺寸百分比造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,第59页,2.9.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射。初速,v,星球半径,r,表面重力加速度,g,研究火箭高度,x,随时间,t,改变规律,t,=0 时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,第60页,用无量纲化方法降低独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,量纲,用,参数,r,v,g,组合,分别结构与,x,t,含有相同,量纲,x,c,t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,第61页,x,c,t,c,不一样结构,1）令,不一样简化结果,为无量纲量,第62页,3）令,为无量纲量,2）令,为无量纲量,第63页,1）2）3）共同点,只含1个参数,无量纲量,解,主要差异,考查无量纲量,在1）2）3）中能否忽略以,为因子项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,第64页,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,第65页,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,能够忽略,项,是原问题近似解,第66页,为何3)能忽略,项，得到原问题近似解，而1)2)不能?,1）令,2）令,3）令,火箭抵达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大致上含有单位尺度,项能够忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题应用数学,第67页,
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