正弦三角函数.doc

正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．
教师总结：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
＝
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提出新问题：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC．
因此 =，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
教师再将问题提升到更高一个层次：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么关系．

在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =．

在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
例1 如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
AB==5．
因此 sinA==，sinB==．
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
sinA==，AC==12．
因此，sinB==．
随堂练习
做课本第79页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

第1课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）