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第4讲　函数的概念及其表示

􀳊 知识聚焦􀳊
1.函数与映射的概念

函数
映射
两集合A,B
设A,B是两个　　　 
设A,B是两个　　　 
对应关系
f:A→B
按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　一个数x,在集合B中都有　　　　的数f(x)与之对应 
按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个元素x,在集合B中都有　　　　的元素y与之对应 
名称
称　　　　为从集合A到集合B的一个函数 
称对应　　　　为从集合A到集合B的一个映射 
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B
2.函数的三要素
函数由　　　　、　　　　和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的　　　　.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的　　　　. 
3.函数的表示法
函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　. 
4.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的　　　　,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z.
2.抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24a,+∞;当a<0时,值域为-∞,4ac-b24a.
(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.

􀳊 对点演练􀳊
题组一　常识题
1.[教材改编] 以下属于函数的有　　　　.(填序号) 
①y=±x;②y2=x-1;③y=x-2+1-x;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改编] 已知函数f(x)=x+1,x≥0,x2,x<0,则f(-2)=　　　　,f[f(-2)]=　　　　. 
3.[教材改编] 函数f(x)=8-xx+3的定义域是　. 
4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有　　　　种. 
题组二　常错题
◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.
5.函数y=x-2·x+2的定义域是　　　　. 
6.设函数f(x)=x2+1,x≤0,-x+3,x>0,则使得f(x)≥2的自变量x的取值范围为　　　　. 
7.已知f(x)=x-1,则当x≥0时,f(x)=　　　　　　. 
8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有　　　　个. 

探究点一　函数的定义域
角度1　求给定解析式的函数的定义域
例1 (1)函数f(x)=2x-1+1x-2的定义域为 (　　)
A.[0,2) B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
(2)已知函数f(x)=3x2x-1+log2(4-x2),则f(x)的定义域为　　　　. 

[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.
角度2　求抽象函数的定义域
例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是 (　　)
A.[0,1)∪(1,2020] B.[-1,1)∪(1,2020]
C.[0,1)∪(1,2019] D.[-1,1)∪(1,2019]
(2)[2019·黄冈调研] 已知函数f(x+1)的定义域为(-2,0),则f(2x-1)的定义域为 (　　)
A.(-1,0) B.-12,12
C.(0,1) D.-12,0

[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
变式题 (1)已知函数f(x)的定义域为(-2,2),则函数g(x)=f(2x)+1-lgx的定义域为 (　　)
A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x<10}
C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<1}
(2)已知函数y=f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),则函数g(x)的定义域为　　　　. 
探究点二　函数的解析式
例3 (1)已知函数f(x+1)=x-4,则f(x)=　　　　　　　　. 
(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)=　　　　　　. 
(3)已知函数f(x)对一切不为0的实数x均满足f(x)+2f2020x=2020x+2,则f(x)=　　　　　　　　. 

[总结反思] 求函数解析式的常用方法:
(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
变式题 (1)已知f1x=x1-x,则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=1-xx(x≠0且x≠1)
B.f(x)=11-x(x≠0且x≠1)
C.f(x)=1x-1(x≠0且x≠1)
D.f(x)=xx-1(x≠0且x≠1)
(2)已知f(x)满足3f(x)+2f(-x)=4x,则f(x)=　　　　. 
(3)若一次函数f(x)满足f[f(x)]=x+4,则f(-1)=　　　　. 
探究点三　以分段函数为背景的问题
微点1　分段函数的求值问题
例4 (1)已知函数f(x)=log2(3x+1),x≥0,|x|-2,x<0,则f[f(-3)]= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)[2019·南昌一模] 设函数f(x)=x2-2x(x≤0),f(x-3)(x>0),则f(5)的值为 (　　)
A.-7 B.-1
C.0 D.12

[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.
微点2　分段函数与方程
例5 (1)[2019·安阳二模] 已知函数f(x)=2x+a,x<0,3x,x≥0,若f[f(-1)]=9,则实数a= (　　)
A.2 B.4
C.133 D.4或133
(2)[2019·安庆二模] 函数f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x≥0,若实数a满足f(a)=f(a-1),则f1a= (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8

[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.
微点3　分段函数与不等式问题
例6 (1)[2019·郑州一中质量测评] 已知函数f(x)=log2x,x≥1,11-x,x<1,则不等式f(x)≤1的解集为 (　　)
A.(-∞,2]
B.(-∞,0]∪(1,2]
C.[0,2]
D.(-∞,0]∪[1,2]
(2)[2019·江淮十校联考] 已知函数f(x)=3(x<12),1x(x≥12),则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是　　　　. 

[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
应用演练
1.【微点1】[2019·四川名校联盟一模] 已知函数f(x)=(13) x,x≤3,x2,x>3,则f[f(-2)]的值为 (　　)
A.81 B.27
C.9 D.19
2.【微点2】[2019·呼和浩特调研] 设f(x)=3-x+a(x≤2),f(x-1)(x>2),若f(3)=-89,则实数a= (　　)
A.1 B.-1
C.19 D.0
3.【微点3】[2019·东莞一模] 设函数f(x)=21-x,x≤1,1-log2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　　)
A.[-1,2]
B.[0,2]
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
4.【微点3】已知函数f(x)=2x+1,x≤1,lnx+1,x>1,则满足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范围是 (　　)
A.(-1,+∞)
B.-34,+∞
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
5.【微点2】已知函数f(x)=2x,x<0,ax,x≥0,若f(-1)+f(1)=2,则a=　　　　. 

第5讲　函数的单调性与最值

􀳊 知识聚焦􀳊
1.单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有　　　,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 
当x1<x2时,都有　　　,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 
图像
描述

自左向右看图像是　　　　　 

自左向右看图像是　　　　　 
2.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是　　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　叫作函数y=f(x)的单调区间. 
3.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有　　　　; 
(2)存在x0∈I,使得　　　 
结论
M为最大值
M为最小值

常用结论
1.函数单调性的常用结论:
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.
(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
3.函数最值的结论:
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

􀳊 对点演练􀳊
题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是　　　　. 
2.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是　　　　;单调递减区间是　　　　. 
3.[教材改编] 函数f(x)=3x+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于　　　　. 
4.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;求分段函数的单调性时忘记整体考虑;利用单调性解不等式时忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.
5.函数y=log12(x2+2x-3)的单调递增区间是　　　　. 
6.已知函数f(x)=(a-2)x,x≥2,(12) x-1,x<2是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　. 
7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　. 
8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 
(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为　　　　. 

探究点一　函数单调性的判断与证明
例1 判断函数f(x)=ax+x-3x+2(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.

[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
变式题 (1) (多选题)在区间(0,1)上单调递减的函数是 (　　)
A.y=x12 B.y=log12(x+1)
C.y=|x-1| D.y=2x+1
(2)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,则下列说法正确的是 (　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
探究点二　求函数的单调区间
例2 (1)函数y=12 -x2+x+2的单调递增区间是 (　　)
A.-1,12 B.-∞,12
C.12,+∞ D.12,2
(2)设函数f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　. 

[总结反思] (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法.
(2)求复合函数单调区间的一般步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.
变式题 (1)[2019·哈尔滨三中二模] 函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,-1) B.-∞,-32
C.32,+∞ D.(4,+∞)
(2)[2019·贵阳二模] 下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的是 (　　)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)在(-∞,0]上单调递增
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
探究点三　利用函数单调性解决问题

微点1　利用函数的单调性比较大小
例3 函数f(x)=ex+1ex-1,若a=f-12,b=f(ln 2),c=fln 13,则 (　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a

[总结反思] 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.
微点2　利用函数的单调性解决不等式问题
例4 (1)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,若f(x2+1)>f(m2-m-1)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-1,2)
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
(2)函数f(x)=ex+x-e,若实数a(a>0且a≠1)满足floga34<1,则a的取值范围为　　　　. 

[总结反思] 利用函数单调性解不等式的具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.
微点3　利用函数的单调性求最值问题
例5 (1)已知a>0,设函数f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为 (　　)
A.2019 B.2020
C.4039 D.4038
(2)[2019·江西红色七校联考] 已知f(x)=|x-a|+1,x>1,ax+a,x≤1(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是 (　　)
A.23,1 B.(1,+∞)
C.0,23∪(1,+∞) D.23,1∪(1,+∞)

[总结反思] 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.
微点4　利用函数的单调性求参数的范围(或值)
例6 (1)若f(x)=(3-a)x-4a,x<1,x2,x≥1是(-∞,+∞)上的增函数,则a的取值范围是 (　　)
A.25,3 B.25,3
C.(-∞,3) D.25,+∞
(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　　　　. 

[总结反思] (1)视参数为已知数,依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.
应用演练
1.【微点1】设a∈R,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,则(　　)
A.f(a2+a+2)>f74
B.f(a2+a+2)<f74
C.f(a2+a+2)≥f74
D.f(a2+a+2)≤f74
2.【微点2】[2020·佛山一中月考] 已知函数f(x)是定义域为[0,+∞)的减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 (　　)
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
3.【微点2】[2019·新乡三模] 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且当x∈[-2,1]时,f(x)=x2-2x-4,则关于x的不等式f(x)<-1的解集为 (　　)
A.(-∞,-1)
B.(-∞,3)
C.(-1,3)
D.(-1,+∞)
4.【微点3】设函数f(x)=2xx-2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m2M= (　　)
A.23 B.38
C.32 D.83
5.【微点4】已知函数f(x)=x2-6x+8在[1,a)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,3]
B.[0,3]
C.[3,+∞)
D.(1,3]

第6讲　函数的奇偶性与周期性

􀳊 知识聚焦􀳊
1.函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有　　　　　　,那么函数f(x)是偶函数 
都有　　　　　　,那么函数f(x)是奇函数 
图像特征
关于　　　　对称 
关于　　　　对称 
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有　　　　　　　,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　,那么这个　　　　就叫作f(x)的最小正周期. 

常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
3.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的最小正周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的最小正周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的最小正周期T=4|b-a|.
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a+b2对称;
(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图像关于点a+b2,0对称;
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点a+b2,c2对称.
􀳊 对点演练􀳊
题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函数的个数是　　　　. 
2.[教材改编] 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数;若偶函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数. 
3.[教材改编] 已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x-1,则f(-2)=　　　　. 
4.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)=　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性应用不熟练导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域导致出错.
5.函数f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是　　　　函数.(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”) 
6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线　　　　对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点　　　　成中心对称. 
7.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)=2,则f(-0.5)=　　　　. 
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　　. 

探究点一　函数奇偶性及其延伸
微点1　函数奇偶性的判断
例1 (1)函数f(x)=|x+1|-|x-1| (　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
(2)下列函数是奇函数的是 (　　)
A.y=cos x+x B.y=x3sin x
C.y=ln(x2+1-x) D.y=ex+e-x

[总结反思] 函数具有奇偶性包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
常见特殊结构的奇偶函数:f(x)=loga(x2+1-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数.
微点2　函数奇偶性的应用
例2 (1)[2019·烟台一模] 若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f14=1,当x<0时,f(x)=log2(-x)+m,则实数m= (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
(2)[2019·上饶横峰中学模拟] 设函数f(x)=sinx+xcosxax2(a∈R,a≠0),若f(-2019)=2,则f(2019)= (　　)
A.2 B.-2
C.2019 D.-2019

[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.
微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题)
例3 (1)[2019·临沂三模] 已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是 (　　)
A.h(x)的图像关于点(1,0)对称
B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称
C.h(x)的图像关于直线x=1对称
D.h(x)的图像关于直线x=-1对称
(2)[2019·重庆西南大学附属中学月考] 已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 (　　)
A.-∞,23∪(2,+∞)
B.23,2
C.-23,23
D.-∞,-23∪23,+∞

[总结反思] 由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).
应用演练
1.【微点1】[2019·北京房山区二模] 下列函数中为偶函数的是 (　　)
A.y=x3+x B.y=x2-4
C.y=x D.y=|x+1|
2.【微点2】[2019·江西师范大学附属中学三模] 若函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2+ax,x<0为奇函数,则实数a的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
3.【微点2】已知函数f(x)=lg(9x2+1-3x)+sin x+1,设f(x)在-12,12上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为 (　　)
A.2 B.1
C.0 D.-1
4.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1] B.[3,+∞)
C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞)
5.【微点3】[2019·内江三模] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的图像向左平移2个单位后关于y轴对称,且f(1)=1,则f(4)+f(5)=　　　　. 

探究点二　函数的周期性及其应用
例4 (1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=x2-4 B.f(x)=x2+4
C.f(x)=(x+4)2 D.f(x)=(x-4)2
(2)[2019·西安中学月考] 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-1f(x+2),且当x∈(-2,0]时,f(x)=2x-14,则f(log220)= (　　)
A.-16 B.-116
C.-34 D.-4

[总结反思] (1)注意周期性的常见表达式的应用.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
变式题 （1）[2019·西安中学期末] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2019)= (　　)
A.335 B.336
C.338 D.2016
(2)(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 (　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)的周期为4 D.f(x+3)是奇函数

探究点三　以函数性质的综合为背景的问题
微点1　奇偶性与单调性的结合
例5 (1)[2019·天津北辰区模拟] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,a=f(-log313),b=flog1218,c=f(20.6),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
(2)已知定义在[-1,1]上的奇函数f(x)=2x-m2x+1+sin x,若f(2x+3)<f(2m-1),则实数x的取值范围是　　　　. 

[总结反思] (1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;
(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.
微点2　奇偶性与周期性的结合
例6 (1)[2019·兰州一中三模] 已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)= (　　)
A.11 B.5
C.-9 D.-1
(2)[2019·栖霞模拟] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)= (　　)
A.2019 B.0
C.1 D.-1

[总结反思] 周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值.
微点3　奇偶性、周期性与单调性的结合
例7 [2019·泉州质检] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-cos x,则下列结论正确的是 (　　)
A.f20203<f20192<f(2018)
B.f(2018)<f20203<f20192
C.f(2018)<f20192<f20203
D.f20192<f20203<f(2018)

[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
应用演练
1.【微点1】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A.y=x3
B.y=cos x
C.y=ex
D.y=|x|+1
2.【微点1】[2019·潮州二模] 设函数f(x)=ex+e-x+x2,则使f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.-13,1
D.-∞,-13∪(1,+∞)
3.【微点2】[2019·上饶重点中学联考] 函数f(x)=2|sin 2x|是(　　)
A.最小正周期为π2的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
4.【微点2】[2019·济宁二模] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的周期为4,当x∈(0,2)时,f(x)=x2+ln x,则f(2019)= (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2

5.【微点3】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,设a=ln1π,b=e-ln25,c=13-0.1,则 (　　)
A.f(a)<f(b)<f(c)
B.f(b)<f(c)<f(a)
C.f(b)<f(a)<f(c)
D.f(c)<f(b)<f(a)

第7讲　二次函数与幂函数

􀳊 知识聚焦􀳊
1.二次函数的图像和性质
解析式
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图像

定义域
R
R
值域

单调性
在　　　　上单调递减, 
在-b2a,+∞上
单调递增
在　　　　上单调递增, 
在-b2a,+∞上
单调递减
顶点坐标

奇偶性
当　　　　时为偶函数 
对称轴
方程
x=-b2a
2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
图像

性
质
定义
域
R
R
R

值域
R

R

(续表)
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
性
质
奇偶
性
　　函数 
　　函数 
　　函数