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一元二次方程根的分布
一．知识要点
二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．
若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论
（不讨论）

表二：（两根与的大小比较）

分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论（不讨论）

表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象（）

得出的结论

或
大致图象（）

得出的结论

或
综合结论（不讨论）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）时，； （2）时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧
例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．

（2）两个根在实数的异侧
例2：求实数的范围，使关于的方程．
（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（２）有两个实根，且满足．
（３）至少有一个正根．

（3）在区间有且只有一个实根
例3：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

（4）在区间有两个实根
例4：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．

（5） 在区间有实根
例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．

2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．

3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．

4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．