单侧触水复杂形状薄板的自由振动特性分析.pdf

网络首发地址：https:/ J.中国舰船研究,2023,18(5):194206.LI Q S,LI T Y,ZHU X,et al.Analysis of free vibration characteristics of complicated shape plate contacting with wateron one sideJ.Chinese Journal of Ship Research,2023,18(5):194206.单侧触水复杂形状薄板的自由振动特性分析扫码阅读全文李清盛1，李天匀*1,2,3，朱翔1,2,3，张帅1，聂睿11 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，湖北 武汉 4300742 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 2002403 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，湖北 武汉 430074摘 要:目的目的旨在研究单侧触水弹性边界下复杂形状薄板的自由振动特性。方法方法选取包络复杂形状薄板域的矩形域并将薄板位移用矩形域内的改进傅里叶级数表示，结合 Rayleigh 积分建立表面声压和薄板位移的关系，并将积分式转换到局部极坐标中以避免奇异性，针对局部极坐标中该变限积分中的边界曲线难以获得显式表达式的问题，用“以直代曲”的方式处理结构边界曲线以简化 Rayleigh 积分，基于能量原理建立了分析单侧触水复杂形状薄板自由振动特性的半解析方法。结果结果给出了单侧触水矩形薄板、圆形薄板和一些复杂形状薄板的算例，与有限元及文献结果对比验证了该方法的收敛性和准确性，并讨论了弹性边界对薄板附加虚拟质量增量因子（added virtual mass incremental，AVMI）的影响规律，各阶 AVMI 因子在边界位移弹簧无量纲化刚度为 103附近出现最大值，此时结构受流体影响相对最大。结论结论该方法适应性较强，计算效率较高，揭示了流体中复杂形状薄板的自由振动规律，具有一定的工程指导意义。关键词：复杂形状；薄板；声振耦合；Rayleigh 积分；改进的傅里叶级数中图分类号:U663.1；TB532文献标志码:ADOI：10.19693/j.issn.1673-3185.02805 Analysis of free vibration characteristics of complicated shape plate contactingwith water on one sideLI Qingsheng1,LI Tianyun*1,2,3,ZHU Xiang1,2,3,ZHANG Shuai1,NIE Rui11 School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration,Shanghai 200240,China3 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture&Ocean Engineering Hydrodynamics,Wuhan 430074,ChinaAbstract:ObjectivesThis paper aims to study the free vibration characteristics of complicated shapeplate coupled with fluid under elastic boundary conditions.MethodsTo this end,the rectangular domainenveloping the complicated shape plate domain is selected,and the plate displacement is expressed by the im-proved Fourier series in the rectangular domain.Combined with the Rayleigh integral,the relationshipbetween the plate displacement and the surface sound pressure is established,and the integral formula is trans-formed into polar coordinates to avoid singularity.Aiming at the problem that it is difficult to obtain the expli-cit expression of the boundary curve in the variable limit integral in local polar coordinates,the structuralboundary curves are treated by replacing curve with straight to simplify the Rayleigh integral.Based on theenergy principle,a semi analytical method for analyzing the free vibration characteristics of complicated shapeplate contacting with water on one side is established.ResultsThe numerical examples of rectangularplate,circular plate and some complicated shape plates are given.Compared with the finite element methodand literature results,the convergence and accuracy of the method are verified,and the influence of elasticboundary conditions on the added virtual mass incremental(AVMI)factor of plate is discussed.The AVMIfactor of each mode reaches the maximum near the dimensionless displacement spring stiffness of 103.At thistime,the structure is relatively most affected by the fluid.ConclusionsThis method has strong adaptabil-ity and high calculation efficiency.It reveals the free vibration law of complicated shape plate coupled withfluid,and has certain engineering guiding significance.Key words:complicated shape；thin plate；vibro-acoustic coupled；Rayleigh integral；improved Fourierseries收稿日期:20220223 修回日期:20220401 网络首发时间:20230615 15:54基金项目:国家自然科学基金资助项目（51839005，51879113）作者简介:李清盛，男，1997 年生，硕士生。研究方向：结构振动与噪声控制。E-mail：李天匀，男，1969 年生，博士，教授。研究方向：结构振动与噪声控制。E-mail：朱翔，男，1980 年生，博士，教授。研究方向：船舶与海洋结构振动与声性能分析。E-mail：*通信作者:李天匀 第 18 卷 第 5 期中 国 舰 船 研 究Vol.18 No.52023 年 10 月Chinese Journal of Ship ResearchOct.2023 0 引言薄板结构作为工程中最常见的结构形式之一，其振动与声辐射问题一直受到学者的关注。当薄板在重流体中振动时，流体负载会显著改变薄板的振动特性，进而影响其声辐射特性，薄板和流体之间的强声振耦合作用也是研究该类问题的一个难点。目前关于薄板声振问题的研究成果主要集中于矩形薄板和圆形薄板1-5，但实际工程中往往涉及形状更复杂的薄板，已有文献较少描述流体中复杂形状薄板的声振特性，因此开展复杂形状薄板的声振特性研究具有一定的工程指导意义。将薄板置于无限大声障板上是研究此类问题的一个常见假设，这不仅是船舶等大型结构局部振动的近似，还可让复杂的亥姆霍兹边界积分方程退化成相对容易的瑞利（Rayleigh）积分。薄板在流体中的振动问题有 3 个研究重点：辐射阻抗计算、声振耦合分析和结构边界处理，其中矩形薄板辐射阻抗的计算受到了众多学者的关注。辐射阻抗是一个复杂的四重积分，有解析和数值两种计算方法。早期学者们为了快速计算，常常忽略了互辐射阻抗，并进行了渐进近似6-7。Li 等8指出互辐射阻抗在共振区和非共振区对响应的影响均不能忽略，并建立了一种利用 自辐射阻抗快速、准确地得到互辐射阻抗的解析方法9。沈苏等10进一步推导了辐射阻抗的快速计算公式，避免了一般方法计算速度随模态数增加而迅速减小的问题。黎胜11通过有限元法结合 Rayleigh 积分研究了考虑流体加载效应下简支矩形薄板的声辐射问题，结果表明板（奇，奇）模态的辐射效率远大于其他类型模态的辐射效率。需要指出的是，以上成果大多忽略了重流体对薄板振型的影响，假设真空中简支矩形薄板的振型是双正弦函数，这具有一定的局限性，数值方法的稳定性也随计算频率升高快速减弱。针对结构边界的处理，Berry 等5通过引入边界弹簧配合二维傅里叶变换，并用数值法计算矩形薄板在空气中的辐射阻抗，求解声障板上各种经典边界条件下矩形薄板的声振问题。Nellise 等12采用了不同的三角函数模拟薄板振型，避免了采用人工弹簧模拟经典边界时矩阵容易病态的问题，并充分考虑了薄板和流体之间的声振耦合，基于瑞利里兹法比较了有无声障板时各种经典边界条件下矩形板在水中的声振特性。Li 等13系统阐述改进的傅里叶级数配合人工弹簧求解真空中弹性边界下结构的振动问题后，朱理等14结合改进的傅里叶级数法和边界弹簧，解决了弹性边界下空气中矩形薄板的声振问题。在更关注结构振动特性的研究中，忽略流体的可压缩性可以使问题得到一定的简化。Chang 等15假定水不改变薄板的振型，通过二维傅里叶变换求解了障板上简支及固支矩形薄板的自由振动特性。Amabili 等3和Kwak4通过汉克尔变换，基于势流理论得到了经典边界条件下单侧触水圆板的自由振动特性，但是这样得到的结构湿模态和声固耦合理论得到的结果相比，在低频段相差不大，在高频段的区别则会明显一些16。在矩形薄板和圆形薄板之外，三角形薄板、扇形薄板和环形薄板等非典型形状薄板的振动问题也有较多的研究成果，发展了映射法17、曲线条傅里叶-p 元法18和谱几何法19等，但这些方法大多只适用于某一类形状的薄板，薄板的轮廓类型改变后，往往需要重新推导理论公式，甚至需要用微分求积法和有限元法等数值方法才能得到满意的解，而且目前的研究主要集中在真空中，对于重流体耦合作用下的复杂形状薄板振动特性关注较少。针对触水薄板的声振问题，现有文献多集中在矩形薄板和圆形薄板上，对于复杂形状薄板的研究较少。因此本文拟基于改进的傅里叶级数法，充分考虑薄板和流体之间的声振耦合，建立弹性边界条件下复杂形状薄板的声振模型，分析其自由振动特性，并与有限元结果对比验证本文方法的准确性和收敛性。1 理论分析 1.1 模型描述如图 1 所示，形状复杂的平面薄板镶嵌在无限大的声障板上，声障板下方为半无限流域，声障板上方为真空，考虑流体的可压缩性，薄板弯曲振动时会受到流域的声压负载。坐标系原点建立在与薄板 SP 相切的包络矩形的角点 O 处，包络矩形的长宽分别为 a 和 b。薄板边界由 I 段光滑的曲线组成，各段边界曲线 li的参数方程为li:x=xi()y=yi(),i,0 i,1(1)式中：i,0和 i,1分别为薄板第 i 段边界曲线参数方程的参数上下限。薄板的边界条件通过沿边界均匀分布的位移第 5 期李清盛等：单侧触水复杂形状薄板的自由振动特性分析195弹簧和转角弹簧来模拟，其刚度分别为 k 和 K。薄板的厚度为 h，密度为 P，杨氏模量为 E，泊松比为 ，声障板下方流体的密度为 F，声速为 cF。1.2 薄板位移的级数表示应用 Rayleigh-Ritz 法求解结构的振动问题时，位移试函数的选取非常关键。改进的傅里叶级数克服了传统的傅里叶级数在结构边界处不连续的问题，适用于各种结构复杂边界，且具有良好的准确性和快速的收敛性，在各类简单形状的板壳振动问题中得到了大量的应用2,20-21。同时针对形状复杂的结构域，可假定结构域 SP 被矩形域S 包络，试函数取为矩形域 S，因为在 S 中完备的函数系在 SP 中也完备，故复杂形状薄板的位移可由其矩形包络域内的级数表达，张俊等22采用这种方法解决了真空中复杂形状薄板的自由振动问题，并指出矩形域与薄板域相切时结果的误差最小，这一思想在解决不规则空间的声场问题中也有体现23-24。本文选用文献 18 中的级数形式，在本文中的具体形式为frx(x)=sin(rxx/a),0 rx 5frx(x)=cos(rx5)x/a,rx 5gry(y)=sin(ryy/b),0 ry 5gry(y)=cos(ry5)y/b,ry 5(2)式中：frx(x)和 gry(y)分别为沿 x 和 y 方向的正交多项式；rx=1，2，Rx；ry=1，2，Ry。假设薄板的垂向位移 w 为w=Rxrx=1Ryry=1Arxryfrx(x)gry(y)eit=ATeit(3)Arxry式中：Rx 和 Ry分别为位移试函数的截断项数；为位移试函数的待定系数；A 为各项位移试函数的系数组成的系数列向量；为各项位移试函数组成的函数列向量；eit 为简谐时间因子，以下分析中将略去；为角频率。约定函数向量的下标 x，y，n（法向）表示函数向量在该方向的偏导数，如x=x,xx=2x2(4)1.3 薄板的能量泛函LP图 1 所示的薄板在弯曲振动时会受到半无限流域的声压负载作用，因此薄板自由振动时的拉格朗日能量泛函为LP=VP+UPTPWF(5)式中：VP 为薄板边界弹簧的弹性势能；UP 为薄板的弯曲应变能；TP 为薄板的动能；WF 为流域声压负载引起的薄板做功。薄板边界弹簧的弹性势能为VP=12Ii=1wlikw2+K(wn)2dli=12ATIi=1wli(kT+KnTn)dliA=12ATIi=1wi,1i,0(k(xi(),yi()T(xi(),yi()+Kn(xi(),yi()Tn(xi(),yi()xi()2+yi()2dA(6)其中，n 为边界曲线的法向偏导数，n=xcos+ysin(7)式中，为边界的外法线与 x 轴正向的夹角。根据基尔霍夫薄板理论可知，薄板的弯曲应变能和动能分别为UP=12DxSP(2wx2)2+(2wy2)2+2wx22wy22wy22wx2+2(1)(2wxy)2ds=12DAT(xSP(xxTxx+yyTyy+xxTyy+yyTxx+2(1)xyTxy)ds)A(8)TP=12Ph2xSPw2ds=12Ph2ATxSPTdsA(9)式中，D=Eh 3/12(12)，为薄板的弯曲刚度。可见若薄板在真空中自由振动，其能量泛函只包含式（5）中右端前 3 项，并且这 3 项都可用薄板的位移级数表示。根据哈密顿变分原理，能量泛函对系数向量 A 每个元素的偏导数为零，即可求解薄板在真空中的振动问题。因此对于单侧触水薄板的自由振动问题，将能量泛函中的声压负 无限大声障板z0 真空SPabxyzO图 1模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the modal 196中 国 舰 船 研 究第 18 卷载项用薄板位移级数表示出来，将各项能量表达式代入式（5），然后根据哈密顿变分原理求解该问题。1.4 声压负载的处理考察薄板上的某一点 Q，连接 Q 点和各段边界曲线的端点，将薄板域共分成 I 块子区域，其中边界曲线 li对应的第 i 块子区域 SP,i 如图 2 中的灰色部分所示，li的起点和终点分别为 Pi,0和 Pi,1，曲线上任一点 P 和 Q 的极径为 ri，极角为 i。rxyPi,1Pi,0i,1(x,y)Oi,0QSP,iriPx=xi()y=yi()图 2薄板区域划分示意图Fig.2 Schematic diagram of the plate area division Q 点处的声压由 I 块区域的振动共同引起，在 Q 点建立局部极坐标系，边界曲线 li 在该局部极坐标系中的表达式为 ri(,x,y)，根据 Rayleigh积分，Q 点的声压为p=F22Ii=1xSP,iw(x+rcos,y+rsin)eikrrrdrd=F22ATIi=1xSP,i(x+rcos,y+rsin)eikrdrd=F22ATIi=1i=F22AT(10)其中：k=/cFi=wi,1i,0wri(,x,y)0(x+rcos,y+rsin)eikrdrd(11)式中：i,0和 i,1分别为曲线 li 在局部极坐标系中的起始极角和终止极角。因此声压负载引起的做功项为WF=xSPwpds=F22ATxSPTdsA(12)至此虽然得到了 WF关于薄板位移级数的表达式，但式（12）中 是一个关于 的变限积分，且由于 Q 点是动点，使得原本在全局坐标中有明确参数方程的曲线 li，在以 Q 为极点的局部极坐标系中难以得到显式表达式，不能通过式（11）用 明确地表示 。因此本文用直线 Pi,0Pi,1 代替曲线 li，直线 Pi,0Pi,1 在局部极坐标系中的表达式为 ri(,x,y)=xyi(i,0)yi(i,1)yxi(i,0)xi(i,1)+xi(i,0)yi(i,1)xi(i,1)yi(i,0)/yi(i,0)yi(i,1)cos+xi(i,1)xi(i,0)sin(13)将式（11）中的 ri(,x,y)替换为式（13）可得i=wi,1i,0w ri(,x,y)0(x+rcos,y+rsin)eikrdrd(14)其中cosi,0=xi(i,0)x(xi(i,0)x)2+(yi(i,0)y)2sini,0=yi(i,0)y(xi(i,0)x)2+(yi(i,0)y)2cosi,1=xi(i,1)x(xi(i,1)x)2+(yi(i,1)y)2sini,1=yi(i,1)y(xi(i,1)x)2+(yi(i,1)y)2(15)i再对式（14）采用 Gauss 积分方法得到关于 的显式表达式，进而得到 WF 关于薄板位移级数的显式表达式。为保证精度，采用 10 点 Gauss 积分，同时也可以对边界曲线进行分段，以得到更准确的收敛结果。1.5 方程求解根据哈密顿变分原理，系统的拉格朗日能量泛函满足ALP=A(VP+UPTPWF)=0(16)将前文得到的各项能量表达式代入式（16），可得薄板单侧触水时的自由振动方程为(KP+KB)2(MP+MF()A=0(17)式中：KP 为薄板周边自由时的刚度矩阵；KB 为薄板的边界刚度矩阵；MP 为薄板的质量矩阵；MF()为流体附加矩阵，其实部反映了流体作用于结构上的同振质量，虚部反映了声场对结构振动的阻尼作用。若考虑复杂形状薄板在真空中的自由振动，则式（17）退化为(KP+KB)2MPA=0(18)求解式（17）和式（18）两个特征值问题，即可分别得到复杂形状薄板在单侧触水时和真空中时第 5 期李清盛等：单侧触水复杂形状薄板的自由振动特性分析197自由振动的固有频率，分别为 fF和 fV，并得到附加虚拟质量增量因子（added virtual mass incremental，AVMI）4：=(fVfF)21(19)其意义为流体的参考动能和结构的参考动能之比，在一定程度上描述了声振耦合的强度。将AVMI 因子进一步归一化，得到归一化附加虚拟质 量 增 量 因 子（nondimensionalized added virtualmass incremental，NAVMI）4：=(FPh)(20)其中，为薄板的特征尺寸，如圆形薄板的特征尺寸为半径。本文建立的半解析方法可以快速地得到单侧触水复杂形状薄板的流体附加矩阵 MF()，并且在薄板真空中自由振动方程的质量矩阵后附加，可以直接得到单侧触水时的自由振动方程；此外，结构边界条件改变时，只需要重新计算边界刚度矩阵 KB，而 KP 及 MP 和 MF()不受结构边界条件的影响，只需计算一次，因此可以很高效、便捷地得到结构各种边界条件下的结果。2 数值验证和结果分析 2.1 收敛性和准确性分析薄板位移级数的截断项数、模拟经典边界时边界弹簧的刚度取值和曲线边界时“以直代曲”的划分段数，这 3 个因素对结果的精度均有较大影响，需要分别进行收敛性分析，下面以矩形薄板为例，分析级数的截断项数和模拟经典边界时边界弹簧刚度的收敛性；以圆形薄板为例，分析曲线边界时“以直代曲”划分段数的收敛性。之后分别和各种经典边界下矩形薄板、圆形薄板的有限元结果对比，验证本文方法的准确性。2.1.1 收敛性分析矩形薄板的参数如下：长 a=0.455 m，宽 b=0.38 m，厚 h=0.003 m，密度 P=7 850 kg/m3，杨氏模量 E=210 GPa，泊松比 =0.3。流体密度 P=1 000 kg/m3，流体声速 cF=1 500 m/s。首先对级数截断项数进行收敛性分析，表 1 为截断项数 Rx=Ry=R 时，单侧触水四边自由矩形薄板的前 6 阶非零固有频率。表 1 矩形薄板不同截断项数下的固有频率Table 1 Natural frequencies of rectangular plates with different truncation terms阶数固有频率/HzR=6R=8R=10R=12R=14R=16有限元法136.7032.2032.1332.1232.1232.1232.09242.9342.7342.7242.7242.7242.7242.72367.8567.4767.4567.4567.4567.4567.43487.4885.3985.2985.2885.2885.2885.105100.9199.4699.3699.3599.3599.3599.206136.03135.20135.06135.05135.05135.05135.01 由表 1 可知，随着级数截断项数的增加，其固有频率逐渐收敛至固定值，当 Rx=Ry=12 时，结果已收敛得较好，后续计算中无特殊说明均取Rx=Ry=12。现逐渐增加边界弹簧的刚度值，分析模拟简支边界和固支边界时边界弹簧刚度的收敛性。先固定转角弹簧的刚度值为 0，逐渐增大位移弹簧的无量纲化刚度 Ck=ka3/D，单侧触水矩形薄板的固有频率变化如表 2 所示，其中的有限元结果是单侧触水四边简支矩形薄板的固有频率。从表 2可知，矩形薄板的前 6 阶固有频率随着 Ck的提高迅速收敛，直至 Ck 107后基本保持不变，且与有限元法的结果吻合良好，因此用边界位移弹簧模拟简支边界时，取 Ck=108可满足简支的收敛要求。之后固定位移弹簧的无量纲化刚度为 Ck=108，逐渐增大转角弹簧的无量纲化刚度 CK=Ka/D，单侧触水矩形薄板的固有频率变化如表 3 所示，其中有限元结果为单侧触水四边固支矩形薄板的固有频率。从表 3 可知，矩形薄板的前 6 阶固有频率随着 CK的提高迅速收敛，直至 CK 106后基本保持不变，且和有限元法的结果吻合良好，因此用边界位移弹簧和转角弹簧模拟固支边界时，取Ck=108和 CK=107可满足固支的收敛要求。后续计算中无特殊说明，边界弹簧模拟薄板经典边界时的刚度取值均按上述标准。圆形薄板的参数如下：相切包络矩形长宽198中 国 舰 船 研 究第 18 卷a=b=1 m，半径 r=0.5 m，厚 h=0.005 m，薄板材料参数和流体材料参数同上。表 4 为圆周划分段数为 N 时，单侧触水周边简支圆形薄板的前 6 阶固有频率。表 4 圆形薄板不同圆周划分段数时的固有频率Table 4 Natural frequencies of circular plates with different circumferential division parts模态序数(m,n)固有频率/HzN=4N=6N=12N=24N=36N=48N=60有限元法(0,0)7.887.607.547.547.547.547.547.54(1,0)32.2330.5830.2730.2530.2530.2530.2530.24(2,0)67.7165.5764.7164.6764.6664.6664.6664.64(0,1)81.5675.9674.7474.6874.6774.6774.6774.65(3,0)121.52111.64110.76110.68110.68110.68110.65110.57(1,1)152.40139.61137.08136.95136.95136.95136.94136.86 从表 4 可知，薄板固有频率随圆周划分段数增大而迅速收敛，圆周划分段数为 48 份，即圆心角为 7.5/份时，结果收敛得较好，故后续计算中圆弧边界以直代曲的划分标准为圆心角 7.5/份，其余类型曲线的分段数根据不同情况选取。2.1.2 准确性分析为了进一步说明本文方法的准确性，计算上述矩形薄板和圆形薄板在不同经典边界时的结果，并与有限元结果对比，矩形薄板的固有频率和 AVMI 因子对比结果分别如表 5 和表 6 所示，圆形薄板的固有频率和 NAVMI 因子对比结果分别如表 7 和表 8 所示，表中的误差为本文结果与有限元结果之间的误差。由表 5表 8 可知，针对各种经典边界条件下单侧触水的矩形薄板和圆形薄板，本文方法均能给 出 准 确 结 果，其 固 有 频 率、AVMI 因 子 和NAVMI 因子的误差均在 1%以内，说明薄板在真空中和单侧触水时的固有频率均是准确的，验证了本文方法的准确性。且薄板形状改变时，无需重新推导理论公式，方法适应性较强。为进一步说明本文方法的适应性和准确性，下面给出一些复杂形状薄板的算例分析。表 2 矩形薄板不同位移弹簧刚度时的固有频率Table 2 Natural frequency of rectangular plate with different displacement spring stiffness阶次固有频率/HzCk=103Ck=104Ck=105Ck=106Ck=107Ck=108Ck=109有限元法126.6129.6630.1430.2130.2230.2230.2230.16276.3689.9392.1692.4492.4892.4892.4892.31395.52115.60118.72119.09119.14119.14119.14118.974140.18180.88188.95189.97190.09190.10190.10189.625152.92194.88202.05202.90203.00203.01203.01202.686194.53269.10281.87283.29283.44283.45283.45283.04 表 3 矩形薄板不同转角弹簧刚度时的固有频率Table 3 Natural frequencies of rectangular plate with different angular spring stiffness阶次固有频率/HzCK=102CK=103CK=104CK=105CK=106CK=107CK=108有限元法（周边固支）156.2458.7959.0859.1159.1159.1159.1159.072137.47143.06143.70143.76143.77143.77143.77143.613176.31184.16185.06185.15185.16185.16185.16184.934258.32268.94270.19270.32270.33270.33270.33269.885264.82274.80275.98276.10276.11276.11276.11275.726367.60383.10384.96385.15385.17385.17385.17384.45第 5 期李清盛等：单侧触水复杂形状薄板的自由振动特性分析199 表 5 矩形薄板不同边界下的固有频率Table 5 Natural frequencies of rectangular plate with different classic boundaries阶次四边自由边界条件短边自由长边简支边界条件四边简支边界条件四边固支边界条件有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%132.09132.123 40.1017.03117.041 60.0630.16130.222 70.2059.0759.111 50.07242.72242.717 90.0135.45935.536 60.2292.30792.481 60.19143.61143.768 00.11367.42867.448 90.0383.24383.465 60.27118.970119.140 50.14184.93185.164 80.13485.18785.279 50.11100.980101.014 80.03189.620190.103 20.25269.88270.329 10.17599.29199.353 80.06127.310127.455 70.11202.680203.009 30.16275.72276.108 30.146135.010135.053 10.03176.280176.649 90.21283.040283.450 60.15384.45385.171 50.197177.020177.338 50.18190.060190.506 40.23311.570312.459 10.29411.00412.036 30.258179.320179.494 30.10262.320262.545 30.09363.480364.392 70.25472.19474.198 50.439201.740201.869 50.06296.770297.478 30.24377.370378.027 80.17485.12485.836 10.1510238.870238.917 20.02297.180297.634 50.15491.860492.960 30.22612.37616.189 90.62 表 6 矩形薄板不同边界下的 AVMI 因子Table 6 AVMI factors of rectangular plate with different classic boundaries阶次四边自由边界条件短边自由长边简支边界条件四边简支边界条件四边固支边界条件有限元法AVMI因子本文方法AVMI因子误差/%有限元法AVMI因子本文方法AVMI因子误差/%有限元法AVMI因子本文方法AVMI因子误差/%有限元法AVMI因子本文方法AVMI因子误差/%12.269 92.276 80.307.617 07.611 10.087.230 67.230 506.273 26.273 1022.189 72.191 60.093.457 43.460 30.083.381 63.381 703.032 73.032 40.0131.978 51.978 30.012.315 42.317 20.083.055 33.055 90.022.746 32.746 3041.753 21.759 50.362.994 92.997 20.082.328 02.328 40.022.120 62.120 80.0151.631 91.638 80.432.272 12.275 30.142.352 12.352 80.032.238 12.239 30.0561.695 01.696 50.091.725 11.727 00.112.052 92.053 80.041.965 31.966 40.0671.437 81.443 10.371.831 11.834 30.171.822 01.822 60.041.697 51.696 10.0881.396 31.402 30.422.014 72.016 60.101.730 21.731 20.061.691 61.682 10.5691.442 51.443 50.071.487 31.493 10.391.698 51.699 50.061.575 21.579 70.29101.314 11.321 50.561.654 91.656 40.091.462 81.467 40.321.405 51.389 91.12 表 7 圆形薄板不同边界下的固有频率Table 7 Natural frequencies of circular plate with different classic boundaries阶次周边自由边界条件周边简支边界条件周边固支边界条件有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%有限元法固有频率/Hz本文方法固有频率/Hz误差/%113.6313.630.027.547.540.0116.6216.590.18213.6313.670.3330.2430.250.0348.2148.120.19323.0423.070.1430.2430.250.0348.2148.120.19434.934.970.1964.6464.660.0490.7290.220.55534.934.970.1964.6464.690.0890.7290.890.19657.5857.670.1674.6574.670.04100.1299.970.15757.5857.670.15110.57110.680.1144.6144.380.15865.6265.670.07110.57110.720.13144.6144.390.15965.6265.820.31136.86136.950.06172.99172.740.1410105.98106.090.11136.86136.950.06173.01172.750.15200中 国 舰 船 研 究第 18 卷2.2 算例分析 2.2.1 三角形薄板等腰直角三角形薄板的外形尺寸及各边编号如图 3 所示，薄板厚 h=0.005 m，薄板材料及流体材料同上，计算各种边界条件下该等腰直角三角形薄板的 AVMI 因子如表 9 所示，其中 F，S 和C 分别表示经典边界条件中的自由、简支和固支，薄板边界曲线的编号依次表示各条边的边界条件，如 F-F-F 表示-边的边界条件为自由自由自由，以下算例均如此表示薄板的边界条