高三一轮学案3三角函数.docx

三角函数
（一）任意角的三角函数
1.若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则 (　　)
A．α＝β B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β，k∈Z D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z
2．若角β的终边与60°角的终边相同，在0°～360°内，终边与角的终边相同的角为________．
3.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于 (　　)
A．sin B. C. D．2sin

4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，
点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为 (　　)

5．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

6.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 (　　)
A．(－，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，)

7．在(0,2π)内使sinx＞cosx成立的x取值范围是 (　　)
A.∪ B.
C. D.∪
8．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于 (　　)
A．0 B．2 C．－2 D．2tanα
9．(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cosα＝x，求sinα与tanα的值；
(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.

10.若1＋sinx·＋cosx·＝0，则x不可能是 (　　)
A．任何象限的角 B．第一、二、三象限的角
C．第一、二、四象限的角 D．第一、三、四象限的角
11．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 (　　)
A．sin B． cos C．tan D．cos2θ
12．设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是 (　　)
A．π＜θ＜ B.＜θ＜2π C.＜θ＜ D.＜θ＜

（二）同角三角函数基本关系与诱导公式
1.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝ (　　)
A．－ B. C．± D.
2．已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为 (　　)
A．± B．－ C. D．－
3．已知tanθ＝2，则＝ (　　)
A．2 B．－2 C．0 D.
4.(tanx＋)cos2x＝ (　　)
A．tanx B．sinx C．cosx D.
5．sin(π＋)sin(2π＋)sin(3π＋)…sin(2010π＋)的值等于________．
6．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化简：cos·＋cos·.
7.已知cos(＋α)＝－，则sin(－α)＝ (　　)
A．－　　　　B. C．－ D.
8．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为 (　　)
A．m＋ B．m－n C.(m＋) D.(m－n)
9．已知f(α)＝
(1)化简f(α)； (2)若α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－π，求f(α)的值．
10.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2 009)＝－1，则f(2 010)等于 (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
11．若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为________．
12．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期； (2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．
（三）三角函数的图像与性质
1.函数y＝tan的定义域是 (　　)
A．{x|x≠，x∈R} B．{x|x≠－，x∈R}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R} D．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝＋； (2)y＝.
3.若函数y＝sinx＋f(x)在[－，]内单调递增，则f(x)可以是 (　　)
A．1 B．cosx C．sinx D．－cosx
4．求y＝3tan(－)的周期及单调区间．
5.已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是 (　　)
A. B. C．π D.
6．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B. C．2 D．3
7．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为－4，那么a的值等于 (　　)
A．4 B．－6 C．－4 D．－3
8．设函数f(x)＝2cos2x＋2sinx·cosx＋m(m，x∈R)
(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f(x)的值域恰为[，]．

9.函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为 (　　)
A．2π B. C．π D.
10．若函数f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间[－，]上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是 (　　)
A．y＝sin(2x－) 　 　B．y＝sin(＋) C．y＝cos(2x－) 　 　D．y＝cos(2x＋)
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)有最小值，无最大值，则ω＝________.

12．(文)若a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω＞0，记函数f(x)＝(a＋b)·b＋k.
(1)若函数f(x)的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值是，求函数f(x)的解析式，并说明如何由函数y＝sinx的图象变换得到函数y＝f(x)的图象．

(理)(2009·重庆高考)设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x)的最大值．

（四）函数Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是 (　　)
A. B. C. D.
2．若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B. C. D.
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

4.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是 (　　)

A．1，　　　　　 B．1，- C．2，　　　　 　D．2，-
5．(2009·江苏高考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

6．(2010·黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图角如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.

7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离
s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆
来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．2π s　　　　 　　B．π s
C．0.5 s　　　 　 　D．1 s
8．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1

经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωx＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 (　　)
A．y＝12＋3sint，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0,24]
9.y＝sinxsin(x＋)＋sincos2x的最大值和最小正周期分别是 (　　)
A.，π B．2,2π C.，2π D．1，π
10．已知y＝f(x)是周期为2π的函数，当x∈(0,2π)时，f(x)＝sin，则方程f(x)＝的解集为________．
11．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到．求y＝g(x)的单调增区间．
12．(文)已知向量a＝(1＋cos(2x＋φ),1)，b＝(1，a＋sin(2x＋φ))(φ为常数且－＜φ＜)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.
(1)求实数a的值；
(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)的解析式及其单调增区间．

(理)已知向量a＝(1＋cosωx,1)，b＝(1，a＋sinωx)(ω为常数且ω＞0)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.
(1)求实数a的值；
(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，]上为增函数，求ω的最大值．

（五）两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.的值是 (　　)
A. B. C. D.
2.＋2的化简结果是 (　　)
A．4cos4－2sin4 B．2sin4 C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
3．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.
4.sin(－x)＝，则sin2x的值为 (　　)
A. B. C. D.
5．已知α为钝角，且sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值为 (　　)
A. B. C．－ D.
6．已知cos＝，x∈. (1)求sinx的值； (2)求sin的值．

7.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于 (　　)
A. B. C.或 D.
8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于 (　　)
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．

10.已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于 (　　)
A．－ B．－ C. D.
11．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为________．
12．(文)已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．

(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．
(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．

（六）简单的三角恒等变换
1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝ (　　)
A. B．－ C. D．－
2．(2010·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)
A. B. C．1 D.
3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.
(1)求f()的值； (2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值．
5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是 (　　)
A．(－，) B．(0，) C．(，) D．(，π)
6．化简等于 (　　)
A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα
7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 (　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
8．求证：tan2x＋＝.
9.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是 (　　)
A．(，) B．(，π) C．(，) D．(，)
10．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．

（七）正弦定理和余弦定理
1.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ (　　)
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
3．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.
4.在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 (　　)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 (　　)
A. B. C.或 D.或
7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝ (　　)
A. B. C. D.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积； (2)若c＝1，求a的值．
9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是 (　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 (　　)
A．60° B．75° C．90° D．115°
(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(1，) C．(，2) D．(，)
11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.
12．(文)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝
(1)判断△ABC的性状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．

(理)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为. (1)求C的大小； (2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．

（八）正弦定理和余弦定理应用举例
1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 (　　)
A.海里/时 B．34海里/时 C.海里/时 D．34海里/时
2．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

3．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，
现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，
试求AB的长．

4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 (　　)
A.米 B．10米 C.米 D．20米
5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．
6．某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 (　　)
A．120° B．105° C．90° D．75°
8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
9.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 (　　)
A．300 m B．400 m C．200 m D．200 m
10．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．

11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，∠BCD＝60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？