数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全-丁玉美)第三章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,离散傅里叶变换,(DFT),及其快速算法,(FFT),第,章,第,3,章离散傅里叶变换,(DFT),及其快速算法,(FFT),3,.1,学习要点与重要公式,3.2,频率域采样,3.3,循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分析,3.4,例题,3.5,教材第,3,章习题与上机题解答,3.6,教材第,4,章习题与上机题解答,3.1,学习要点与重要公式,3.1.1,学习要点,（,1,）,DFT,的定义和物理意义，,DFT,和,FT,、,ZT,之间的关系；,（,2,）,DFT,的重要性质和定理：隐含周期性、循环移位性质、共轭对称性、实序列,DFT,的特点、循环卷积定理、离散巴塞伐尔定理；,（,3,）频率域采样定理；,（,4,）,FFT,的基本原理及其应用。,3.1.2,重要公式,1,）定义,k,=0,1,N,1,k,=0,1,N,1,2,）隐含周期性,3,）线性性质,若,，则,4,）时域循环移位性质,5),频域循环移位性质,6,）循环卷积定理,循环卷积：,L,x,(,n,),循环卷积的矩阵表示：,循环卷积定理：若,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,),则,Y,c,(,k,)=DFT,y,c,(,n,),L,=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,其中,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),L,6),离散巴塞伐尔定理,7,）共轭对称性质,(1),长度为,N,的共轭对称序列,x,ep,(,n,),与反共轭对称序列,x,op,(,n,):,序列,x,(,n,),的共轭对称分量与共轭反对称分量：,（,2,）如果,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),且,X,(,k,)=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),则,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,),X,op,(,k,)=DFT,j,x,i,(,n,),（,3,）如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),且,X,(,k,)=,X,r,(,k,)+j,X,i,(,k,),则,X,r,(,k,)=DFT,x,ep,(,n,),j,X,i,(,k,)=DFT,x,op,(,n,),（,4,）实序列,DFT,及,FT,的特点,:,假设,x,(,n,),是实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，则,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,),|,X,(,k,)|=|,X,(,N,k,)|,(,k,)=,(,N,k,),3.2,频 率 域 采 样,我们知道，时域采样和频域采样各有相应的采样定理。频域采样定理包含以下内容,:,（,1,）设,x,(,n,),是任意序列，,X,(e,j,)=FT,x,(,n,),，对,X,(e,j,),等间隔采样得到,k,=0,，,1,，,2,，,3,，,，,N,1,则,(2),如果,x,(,n,),的长度为,M,，只有当频域采样点数,N,M,时，,x,N,(,n,)=,x,(,n,),，否则,会发生时域混叠，,x,N,(,n,),x,(,n,),。,通过频率域采样得到频域离散序列,x,N,(,k,),，再对,x,N,(,k,),进行,IDFT,得到的序列,x,N,(,n,),应是原序列,x,(,n,),以采样点数,N,为周期进行周期化后的主值区序列，这一概念非常重要。,(3),如果在频率域采样的点数满足频率域采样定理，即采样点数,N,大于等于序列的长度,M,，则可以用频率采样得到的离散函数,X,(,k,),恢复原序列的,Z,变换,X,(,z,),，公式为,式中,上面第一式称为,z,域内插公式，第二式称为内插函数。,3.3,循环卷积和线性卷积的快速计算,以及信号的频谱分析,3.3.1,循环卷积的快速计算,如果两个序列的长度均不很长，可以直接采用循环卷积的矩阵乘法计算其循环卷积；如果序列较长，可以采用快速算法。快速算法的理论基础是循环卷积定理。设,h,(,n,),的长度为,N,，,x,(,n,),的长度为,M,计算,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,),的快速算法如下：,（,1,）计算,k,=0,1,2,3,，,L,1,，,L,=max,N,M,（,2,）计算,Y,c,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,（,3,）计算,y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),L,n,=0,1,2,L,1,说明：如上计算过程中的,DFT,和,IDFT,均采用,FFT,算法时，才称为快速算法，否则比直接在时域计算循环卷积的运算量大,3,倍以上。,3.3.2,线性卷积的快速计算,快速卷积法,序列,h,(,n,),和,x,(,n,),的长度分别为,N,和,M,，,L,=,N,+,M,1,，求,y,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,),的方法如下：,（,1,）在,h,(,n,),的尾部加,L,N,个零点，在,x,(,n,),的尾部加,L,M,个零点；,（,2,）计算,L,点的,H,(,k,)=FFT,h,(,n,),和,L,点的,X,(,k,)=FFT,x,(,n,),;,（,3,）计算,Y,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,),；,（,4,）计算,Y,(,n,)=IFFT,Y,(,k,),，,n,=0,，,1,，,2,，,3,，,，,L-,1,。,但当,h,(,n,),和,x,(,n,),中任一个的长度很长或者无限长时，需用书上介绍的重叠相加法和重叠保留法。,3.3.3,用,DFT/FFT,进行频谱分析,对序列进行,N,点的,DFT/FFT,就是对序列频域的,N,点离散采样，采样点的频率为,k,=2,k,/,N,k,=0,1,2,N,1,。对信号进行频谱分析要关心三个问题：频谱分辨率、频谱分析范围和分析误差。,DFT,的分辨率指的是频域采样间隔,2/,N,，用,DFT/FFT,进行频谱分析时，在相邻采点之间的频谱是不知道的，因此频率分辨率是一个重要指标，希望分辨率高，即,2/,N,要小，,DFT,的变换区间,N,要大。,当然，截取信号的长度要足够长。但如果截取的长度不够长，而依靠在所截取的序列尾部加零点，增加变换区间长度，也不会提高分辨率。例如，分析周期序列的频谱，只观察了一个周期的,1/4,长度，用这些数据进行,DFT,，再通过尾部增加零点，加大,DFT,的变换区间,N,，也不能分辨出是周期序列，更不能得到周期序列的精确频率。,用,DFT/FFT,对序列进行频谱分析，频谱分析范围为,;,用,DFT/FFT,对模拟信号进行频谱分析，频谱分析范围为采样频率的一半，即,0.5,F,s,。,用,DFT/FFT,对信号进行谱分析的误差表现在三个方面，即混叠现象、栅栏效应和截断效应。截断效应包括泄漏和谱间干扰。,3.4,例 题,例,3.4.1,设,x,(,n,),为存在傅里叶变换的任意序列，其,Z,变换为,X,(,z,),，,X,(,k,),是对,X,(,z,),在单位圆上的,N,点等间隔采样，即,求,X,(,k,),的,N,点离散傅里叶逆变换（记为,x,N,(,n,),）与,x,(,n,),的关系式。,解,:,由题意知,即,X,(,k,),是对,X,(e,j,),在,0,2,上的,N,点等间隔采样。由于,X,(e,j,),是以,2,为周期的，所以采样序列,即以,N,为周期。所以它必然与一周期序列相对应，为的,DFS,系数。,为了导出与,x,(,n,),之间的关系，应将上式中的,用,x,(,n,),表示：,所以,因为,所以,即是,x,(,n,),的周期延拓序列，由,DFT,与,DFS,的关系可得出,x,N,(,n,)=IDFT,X,(,k,),为,x,(,n,),的周期延拓序列（以,N,为延拓周期）的主值序列。以后这一结论可以直接引用。,例,3.4.2,已知,x,(,n,)=,R,8,(,n,),X,(e,j,)=FT,x,(,n,),对,X,(e,j,),采样得到,X,(,k,),，,求,解,：直接根据频域采样概念得到,例,3.4.3,令,X,(,k,),表示,x,(,n,),的,N,点,DFT,，分别证明：（,1,）如果,x,(,n,),满足关系式,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,),则,X,(0)=0,（,2,）当,N,为偶数时，如果,x,(,n,)=,x,(,N,1,n),则,证 （,1,）直接按,DFT,定义即可得证。因为,所以,令,n,=,N,1,m,，则,式,+,式得,所以,X,(0)=0,（,2,）因为,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,),，所以,令,m,=,N,1,n,，则上式可写成,当时（,N,为偶数），,因为,所以,因此证得,例,3.4.4,有限时宽序列的,N,点离散傅里叶变换相当于其,Z,变换在单位圆上的,N,点等间隔采样。我们希望求出,X,(,z,),在半径为,r,的圆上的,N,点等间隔采样，即,试给出一种用,DFT,计算得到的算法。,解,:,因为,所以,由此可见，先对,x,(,n,),乘以指数序列,r,n,，然后再进行,N,点,DFT,，即可得到题中所要求的复频域采样。,例,3.4.5,长度为,N,的一个有限长序列,x,(,n,),的,N,点,DFT,为,X,(,k,),。另一个长度为,2,N,的序列,y,(,n,),定义为,试用,X,(,k,),表示,y,(,n,),的,2,N,点离散傅里叶变换,Y,(,k,),。,解,:,该题可以直接按,DFT,定义求解。,上面最后一步采用的是,X,(,k,),以,N,为周期的概念。,例,3.4.6,用,DFT,对模拟信号进行谱分析，设模拟信号,x,a,(,t,),的最高频率为,200 Hz,，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),，要求频率分辨率为,10 Hz,。假设模拟,信号频谱,Xa(j,),如图,3.4.1,所示，试画出,X,(e,j,)=FT,x,(,n,),和,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),的谱线图，并标出每个,k,值对应的数字频率,k,和模拟频率,f,k,的取值。,图,3.4.1,解,:,因为最高频率,f,max,=200 Hz,，频率分辨率,F,=10 Hz,，所以采样频率,f,s,为,观察时间,采样点数,N,=,T,f,s,=0.1400=40,个,所以，对,x,a,(,t,),进行采样得,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),n,=0,1,39,X,a,(j,f,),、,X,(e,j,),及,X,(,k,),N,分别如图,3.4.2,（,a,）、（,b,）、（,c,）所示。,图,3.4.2,当,f,s,=2,f,max,时，,f,=,f,max,对应，,由 可求得 ；当,f,s,2,f,max,时，,f,max,对应,的数字频率,=2,f,max,T,。,X,a,(i,f,),与,X,(,k,),的对应关系（由图,3.4.2,（,a,）、（,c,）可看出）为,该例题主要说明了模拟信号,x,a,(,t,),的时域采样序列,x,(,n,),的,N,点离散傅里叶变换,X,(,k,),与,x,a,(,t,),的频谱,X,a,(j,f,),之间的对应关,系。只有搞清该关系，才能由,X,(,k,),看出,X,a,(j,f,),的频谱特征。否则，即使计算出,X,(,k,),，也搞不清,X,(,k,),的第,k,条谱线对应于,X,a,(j,f,),的哪个频率点的采样，这样就达不到谱分析的目的。实际中，,X,(,k,),求出后，也可以将横坐标换算成模拟频率，换算公式为,f,k,=,kF,=,k,/(,NT,),。直接作,X,a,(,kF,)=,X,a,(,f,k,)=,TX,(,k,),谱线图。,例,3.4.7,已知,x,(,n,),长度为,N,，,X,(,z,)=ZT,x,(,n,),。要求计算,X,(,z,),在单位圆上的,M,个等间隔采样。假定,M,N,，试设计一种计算,M,个采样值的方法，它只需计算一次,M,点,DFT,。,解,:,这是一个典型的频域采样理论应用问题。根据频域采样、时域周期延拓以及,DFT,的惟一性概念，容易解答该题。,由频域采样理论知道，如果,即,X,(,k,),是,X,(,z,),在单位圆上的,M,点等间隔采样,则,当然,即首先将,x,(,n,),以,M,为周期进行周期延拓，取主值区序列,x,M,(,n,),，最后进行,M,点,DFT,则可得到,应当注意，,M,N,，所以周期延拓,x,(,n,),时，有重叠区，,x,M,(,n,),在重叠区上的值等于重叠在,n,点处的所有序列值相加。,显然，由于频域采样点数,M,N,，不满足频域采样定理，所以，不能由,X,(,k,),恢复,x,(,n,),，即丢失了,x,(,n,),的频谱信息。,例,3.4.8,已知序列,x,(,n,)=,1,2,2,1,h,(,n,)=,3,2,1,1,（,1,）计算,5,点循环卷积,y,5,(,n,)=,x,(,n,),L,h,(,n,);,（,2,）用计算循环卷积的方法计算线性卷积,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),。解：,(1),这里是,2,个短序列的循环卷积计算，可以用矩阵相乘的方法,(,即用教材第,82,页式,(3.2.7),）计算，也可以用类似于线性卷积的列表法。因为要求,5,点循环卷积，因此每个序列尾部加一个零值点，按照教材式,(3.2.7),写出,得到,y,5,(,n,)=,4,9,9,6,2,。注意上面矩阵方程右边第一个,55,矩阵称为,x,(,n,),的循环矩阵，它的第一行是,x,(,n,),的,5,点循环倒相，第二行是第一行的向右循环移一位，第三行是第二行向右循环移一位，依次类推。,用列表法可以省去写矩阵方程，下面用列表法解：,表中的第一行是,h,(,n,),序列，第,2,、,3,、,4,、,5,、,6,行的前五列即是,x(n),的循环矩阵的对应行。同样得到,y,5,(,n,)=,9,9,6,2,。,（,2,）我们知道只有当循环卷积的长度大于等于线性卷积结果的长度时，循环卷积的结果才能等于线性卷积的结果。该题目中线性卷积的长度为,L,4+4,1=7,，因此循环卷积的长度可选,L,=7,，这样两个序列的尾部分别加,3,个零点后，进行,7,点循环卷积，其结果就是线性卷积的结果。即,得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,3,8,9,6,2,1,1,例,3.4.9,已知实序列,x,(,n,),和,y,(,n,),的,DFT,分别为,X,(,k,),和,Y,(,k,),，试给出一种计算一次,IDFT,就可得出,x,(,n,),和,y,(,n,),的计算方法。（选自,2004,年北京交通大学硕士研究生入学试题。）,解,：令,w,(,n,)=,x,(,n,)+j,y,(,n,),对其进行,DFT,，得到,W,(,k,)=,X,(,k,)+j,Y,(,k,),w,(,n,)=IDFT,W,(,k,),因为,x,(,n,),和,y,(,n,),分别为实序列，因此,x,(,n,)=Re,w,(,n,),y,(,n,)=Im,w,(,n,),例,3.4.10,已知,x,(,n,)(,n,=0,，,1,，,2,，,，,1023),，,h,(,n,)(,n,=0,，,1,，,2,，,，,15),。在进行线性卷积时，每次只能进行,16,点线性卷积运算。试问为了得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),的正确结果，原始数据应作怎样处理，并如何进行运算。（选自,1996,年西安电子科技大学硕士研究生入学试题。）,解,：将,x,(,n,),进行分组后，采用书上介绍的重叠相加法。,x,(,n,),的长度为,1024,点，按照,16,分组，共分,64,组，记为,x,i,(,n,),i,=0,1,2,63,。即,式中，,y,i,(,n,)=,x,i,(,n,)*,h,(,n,),i,=0,1,2,63,。可以用,FFT,计算,16,点的线性卷积,y,i,(,n,),。最后结果,y,(,n,),的长度为,1024+16,1,1039,。,例,3.4.11,x,(,n,),是一个长度,M,=142,的信号序列，即：,x,(,n,)=0,，当,n,0,或,n,M,时。现希望用,N,100,的,DFT,来分析频谱。试问：如何通过一次,N,=100,的,DFT,求得,k,=0,1,2,99,；这样进行频谱分析是否存在误差？,解,：通过频率域采样得到频域离散函数，再对其进行,IDFT,得到的序列应是原序列,x,(,n,),以,N,为周期进行周期化后的主值序列。按照这一概念，在频域,02,采样,100,点，那么相应的时域应以,100,为周期进行延拓后截取主值区。该题要求用一次,100,点的,DFT,求得，可以用下式计算：,式中,k,对应的频率为。这样进行频谱分析存在误差，误差是因为时域混叠引起的。,3.5,教材第,3,章习题与上机题解答,1,计算以下序列的,N,点,DFT,，在变换区间,0,n,N,1,内，序列定义为,(1),x,(,n,)=1,(2),x,(,n,)=(,n,),(3),x,(,n,)=(,n,n,0,)0,n,0,N,(4),x,(,n,)=,R,m,(,n,)0,m,N,(5),(6),(7),x,(,n,)=e,j,0,n,R,N,(n),(8),x,(,n,)=sin(,0,n,),R,N,(,n,),(9),x,(,n,)=cos(,0,n,),R,N,(,N,),(10),x,(,n,)=,nR,N,(,n,),解,：,(1),（,2,）,（,3,）,(4),(5),0,k,N,1,(6),0,k,N,1,(7),或,（,8,）解法一 直接计算：,解法二,由,DFT,的共轭对称性求解。,因为,所以,所以,即,结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。,(9),解法一 直接计算,:,解法二,由,DFT,共轭对称性可得同样结果。,因为,（,10,）解法一,上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解,X,(,k,),。因为,x,(,n,)=,nR,N,(,n,),，所以,x,(,n,),x,(,n,1),N,R,N,(,n,)+,N,(,n,)=,R,N,(,n,),等式两边进行,DFT,，得到,X,(,k,),X,(,k,),W,k,N,+,N,=,N,(,k,),故,当,k,=0,时，可直接计算得出,X,(0),为,这样，,X,(,k,),可写成如下形式：,解法二,k,=0,时，,k,0,时，,所以，,，即,2,已知下列,X,(,k,),，求,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,),(1),(2),其中，,m,为正整数，,0,m,N,/2,N,为变换区间长度。,解,:,（,1,）,n,=0,1,N,1,(2),n,=0,1,N,1,3,已知长度为,N,=10,的两个有限长序列：,做图表示,x,1,(,n,),、,x,2,(,n,),和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,),，循环卷积区间长度,L,=10,。,解,:,x,1,(,n,),、,x,2,(,n,),和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,),分别如题,3,解图（,a,）、（,b,）、（,c,）所示。,题,3,解图,4,证明,DFT,的对称定理，即假设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，,证明,DFT,X,(,n,),=,N,x,(,N,k,),证：因为,所以,由于,所以,DFT,X,(,n,),=,N,x,(,N,k),k,=0,1,N,1,5,如果,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，证明,DFT,的初值定理,证,:,由,IDFT,定义式,可知,6,设,x(n),的长度为,N,，且,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),0,k,N,1,令,h,(,n,)=,x,(,n,),N,R,mN,(,n,),m,为自然数,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),mN,0,k,mN,1,求,H(k),与,X(k),的关系式。,解,:,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),0,k,mN,1,令,n,=,n,+,lN,l,=0,1,m,1,n,=0,1,N,1,则,因为,所以,7,证明,:,若,x,(,n,),为实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，则,X,(,k,),为共轭对称序列，即,X,(,k,)=,X,*,（,N,k,),；若,x,(,n,),实偶对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,),，则,X,(,k,),也实偶对称；若,x,(,n,),实奇对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,),，则,X,(,k,),为纯虚函数并奇对称。,证,:(1),由教材,(3.2.17)(3.2.20),式知道，如果将,x,(,n,),表,示为,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),则,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),其中，,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,),，是,X,(,k,),的共轭对称分量；,X,op,(,k,)=DFT,j,x,i,(,n,),是,X,(,k,),的共轭反对称分量。所以，如果,x,(,n,),为实序列，则,X,op,(,k,)=DFT,j,x,i,(,n,),=0,，故,X,(,k,)=,DFT,x,(,n,),=,X,ep,(,k,),，即,X,(,k,)=,X,*(,N,k,),。,（,2,）由,DFT,的共轭对称性可知，如果,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),且,X,(,k,)=Re,X,(,k,),+j Im,X,(,k,),则,Re,X,(,k,),=DFT,x,ep,(,n,),j Im,X,(,k,),=DFT,x,op,(,n,),所以，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,),时，等价于上式中,x,op,(,n,)=0,x,(,n,),中只有,x,ep,(,n,),成分，所以,X,(,k,),只有实部，即,X,(,k,),为实函数。又由（,1,）证明结果知道，实序列的,DFT,必然为共轭对称函数，即,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,),，所以,X,(,k,),实偶对称。,同理，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,),时，等价于,x,(,n,),只有,x,op,(,n,),成分（即,x,ep,(,n,)=0,），故,X,(,k,),只有纯虚部，且由于,x,(,n,),为实序列，即,X,(,k,),共轭对称，,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,),为纯虚奇函数。,8,证明频域循环移位性质：设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,),，如果,Y,(,k,)=,X,(,k,+l),N,R,N,(,k,),，则,证：,令,m,=,k,+l,则,9,已知,x,(,n,),长度为,N,，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，,求,Y,(,k,),与,X,(,k,),的关系式。,解,:,10,证明离散相关定理。若,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),2,(k),则,证：根据,DFT,的惟一性，只要证明,即可。,令,m,=,l,+,n,，则,所以,当然也可以直接计算,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),X,2,(,k,),的,IDFT,。,0,n,N,1,由于,0,n,N,1,所以,11,证明离散帕塞瓦尔定理。若,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),，则,证：,12,已知,f,(,n,)=,x,(,n,)+j,y,(,n,),，,x,(,n,),与,y,(,n,),均为长度为,N,的实序列。设,F,(,k,)=DFT,f,(,n,),N,0,k,N,1,(1),(2),F,(,k,)=1+j,N,试求,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,),N,以及,x,(,n,),和,y,(,n,),。,解,:,由,DFT,的共轭对称性可知,x,(,n,),X,(,k,)=,F,ep,(,k,),j,y,(,n,),j,Y,(,k,)=,F,op,(,k,),方法一 （,1,）,0,n,N,1,由于,0,n,m,N,1,所以,x,(,n,)=,a,n,0,n,N,1,同理,y,(,n,)=,b,n,0,n,N,1,（,2,）,F,(,k,)=1+j,N,，,方法二 令,只要证明,A,(,k,),为共轭对称的，,B,(,k,),为共轭反对称，则就会有,A,(,k,)=,F,ep,(,k,)=,X,(,k,),B,(,k,)=,F,op,(,k,)=j,Y,(,k,),因为,，共轭对称,，共轭反对称,所以,由方法一知,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,),=,a,n,R,N,(,n,),y,(,n,)=IDFT,Y,(,k,),=,b,n,R,N,(,n,),13,已知序列,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),，,0,a,1,对,x,(,n,),的,Z,变换,X,(,z,),在单位圆上等间隔采样,N,点，采样序列为,求有限长序列,IDFT,X,(,k,),N,。,解,:,我们知道，,是以,2,为周期的周期函数，所以,以,N,为周期，将看作一周期序列的,DFS,系数，则,由式知为,将式代入式得到,由于,所以,由题意知,所以根据有关,X,(,k,),与,x,N,(,n,),的周期延拓序列的,DFS,系数的关系有,由于,0,n,N,1,，所以,因此,说明：平时解题时，本题推导,的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（,3.3.2,）和,(3.3.3),）即可。,14,两个有限长序列,x(n),和,y(n),的零值区间为,x,(,n,)=0,n,0,8,n,y,(,n,)=0,n,0,20,n,对每个序列作,20,点,DFT,，即,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),k=0,1,19,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,),k=0,1,19,试问在哪些点上,f,(,n,),与,x,(,n,)*,y,(,n,),值相等,为什么？,解,:,如前所述，记,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,),，而,f,(,n,)=IDFT,F,(,k,),=,x,(,n,)20,y,(,n,),。,f,l,(,n,),长度为,27,，,f,(,n,),长度为,20,。由教材中式（,3.4.3,）知道,f,(,n,),与,f,l,(,n,),的关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足,f,(,n,)=,f,l,(,n,),所以,f,(,n,)=,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)7,n,19,15,已知实序列,x,(,n,),的,8,点,DFT,的前,5,个值为,0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0,。,（,1,）求,X,(,k,),的其余,3,点的值；,（,2,）,求,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),8,；,（,3,）,，求,。,解,：（,1,）因为,x,(,n,),是实序列，由第,7,题证明结果有,X,(,k,)=,X,*(,N,k,),，即,X,(,N,k,)=,X,*(,k,),所以，,X,（,k,）的其余,3,点值为,X,(5),X,(6),X,(7)=0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018,（,2,）根据,DFT,的时域循环移位性质，,(3),16,x,(,n,),、,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),分别如题,16,图,(a),、,(b),和,(c),所示，已知,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),8,。求,和,注,:,用,X,(,k,),表示,X,1,(,k,),和,X,2,(,k,),。,解,：因为,x,1,(,n,)=,x,(,n,+3),8,R,8,(,n,),x,2,(,n,)=,x,(,n,2),8,R,8,(,n,),，所以根据,DFT,的时域循环移位性质得到,17,设,x,(,n,),是长度为,N,的因果序列，且,试确定,Y,(,k,),与,X,(e,j,),的关系式。,解,：,y,(,n,),是,x,(,n,),以,M,为周期的周期延拓序列的主值序列，根据频域采样理论得到,18,用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率,F,50 Hz,，信号最高频率为,1 kHz,，试确定以下各参数：,(1),最小记录时间,T,p min,；,(2),最大取样间隔,T,max,；,(3),最少采样点数,N,min,；,(4),在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高,1,倍（即,F,缩小一半）的,N,值。,解,:,（,1,）已知,F,=50 Hz,，因而,（,2,）,（,3,）,（,4,）频带宽度不变就意味着采样间隔,T,不变，应该使记录时间扩大,1,倍，即为,0.04 s,，实现频率分辨率提高,1,倍（,F,变为原来的,1/2,）。,19,已知调幅信号的载波频率,f,c,=1 kHz,，调制信号频率,f,m,=100 Hz,，用,FFT,对其进行谱分析，试求：,(1),最小记录时间,T,p min,;,(2),最低采样频率,f,s min,;,(3),最少采样点数,N,min,。,解,：调制信号为单一频率正弦波时，已调,AM,信号为,x,(,t,)=cos(2,f,c,t,+,j,c,),1+cos(2,f,m,t,+,j,m,),所以，已调,AM,信号,x,(,t,),只有,3,个频率：,f,c,、,f,c,+,f,m,、,f,c,f,m,。,x,(,t,),的最高频率,f,max,=1.1 kHz,，频率分辨率,F100 Hz,（对本题所给单频,AM,调制信号应满足,100/,F,=,整数，以便能采样到这三个频率成分）。故,(1),(2),(3),（注意，对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样，压缩码率。而在本题的解答中，我们仅按基带信号的采样定理来求解。）,20,在下列说法中选择正确的结论。线性调频,Z,变换可以用来计算一个有限长序列,h,(,n,),在,z,平面实轴上诸点,z,k,的,Z,变换,H,(,z,k,),，使,(1),z,k,=,a,k,k,=0,1,N,1,a,为实数，,a,1;,(2)zk=ak,k=0,1,N,1,a,为实数，,a,1;,(3)(1),和,(2),都不行，即线性调频,Z,变换不能计算,H,(,z,),在,z,平面实轴上的取样值。,解,：在,chirp-,Z,变换中，在,z,平面上分析的,N,点为,z,k,=,AW,k,k,=0,1,N,1,其中,所以,当,A,0,=1,0,=0,W,0,=,a,1,j,=0,时，,z,k,=,a,k,故说法（,1,）正确,说法（,2,）、（,3,）不正确。,21,我们希望利用,h,(,n,),长度为,N,=50,的,FIR,滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过,DFT(,即,FFT),来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段,(,本题设每段长度为,M,=100,个采样点,),，但相邻两段必须重叠,V,个点，然后计算各段与,h,(,n,),的,L,点,(,本题取,L,=128),循环卷积，得到输出序列,y,m,(,n,),，,m,表示第,m,段循环卷积计算输出。最后，从,y,m,(,n,),中选取,B,个样值，使每段选取的,B,个样值连接得到滤波输出,y,(,n,),。,(1),求,V,；,(2),求,B,；,(3),确定取出的,B,个采样应为,y,m,(,n,),中的哪些样点。,解,:,为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列,y,m,(,n,),的序列标号为,n,=0,1,2,127,。,先以,h,(,n,),与各段输入的线性卷积,y,lm,(,n,),分析问题，因为当,h,(,n,),的,50,个样值点完全与第,m,段输入序列,x,m,(,n,),重叠后，,y,lm,(,n,),才与真正的滤波输出,y,(,n,),相等，所以，,ylm(n),中第,0,点到第,48,点（共,49,个点）不正确，不能作为滤波输出，第,49,点到第,99,点（共,51,个点）为正确的滤波输出序列,y,(,n,),的第,m,段，即,B,=51,。,所以，为了去除前面,49,个不正确点，取出,51,个正确的点连接,得到不间断又无多余点的,y,(,n,),，必须重叠,100,51,=49,个点，即,V,=49,。,下面说明，对,128,点的循环卷积,y,m,(,n,),，上述结果也是正确的。我们知道,因为,y,lm,(,n,),长度为,N+M,1=50+100,1=149,所以,n,从,21,到,127,区域无时域混叠，,y,m,(,n,)=,y,lm,(,n,),，当然，第,49,点到第,99,点二者亦相等，所以，所取出的,51,点为从第,49,点到第,99,点的,y,m,(,n,),。,综上所述，总结所得结论：,V,=49,B,=51,选取,y,m,(,n,),中第,49,99,点作为滤波输出。,读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。,22,证明,DFT,的频域循环卷积定理。,证,：,DFT,的频域循环卷积定理重写如下,:,设,h,(,n,),和,x,(,n,),的长度分别为,N,和,M,，,y,m,(,n,)=,h,(,n,),x,(,n,),H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,X,(,n,),L,则,L,X,(,k,),其中，,L,max,N,，,M,。,根据,DFT,的惟一性，只要证明,y,m,(,n,)=IDFT,Y,m,(,k,),=,h,(,n,),x,(,n,),，就证明了,DFT,的频域循环卷积定理。,23*,已知序列,x,(,n,)=,1,2,3,3,2,1,。（,1,）求出,x,(,n,),的傅里叶变换,X,(e,j,),，画出幅频特性和相频特性曲线,(,提示：用,1024,点,FFT,近似,X,(e,j,),；（,2,）计算,x,(,n,),的,N,（,N,6,）点离散傅里叶变换,X,(,k,),，画出幅频特性和相频特性曲线；（,3,）将,X,(e,j,),和,X,(,k,),的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中，验证,X,(,k,),是,X,(e,j,),的等间隔采样，采样间隔为,2/,N,；（,4,）计算,X,(,k,),的,N,点,IDFT,，验证,DFT,和,IDFT,的惟一性。,解,：该题求解程序为,ex323.m,，程序运行结果如题,23*,解图所示。第（,1,）小题用,1024,点,DFT,近似,x,(,n,),的傅里叶变换；第（,2,）小题用,32,点,DFT,。题,23*,解图,(e),和,(f),验证了,X,(,k,),是,X,(e,j,),的等间隔采样，采样间隔为,2/,N,。题,23*,解图,(g),验证了,IDFT,的惟一性。,题,23*,解图,24*,给定两个序列,:,x,1,(,n,)=,2,1,1,2,x,2,(,n,)=,1,1,1,1,。,（,1,）直接在时域计算,x,1,(,n,),与,x,2,(,n,),的卷积；,（,2,）用,DFT,计算,x,1,(,n,),与,x,2,(,n,),的卷积，总结出,DFT,的时域卷积定理。,解,：设,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的长度分别为,M,1,和,M,2,，,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),N,X,2,(,k,)=DFT,x,2,(,n,),N,Y,c,(,k,)=,X,1,(,k,),X,2,(,k,),y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),N,所谓,DFT,的时域卷积定理，就是当,N,M,1,+,M,2,1,时，,y,c,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,),。,本