考点17正、余弦定理及解三角形-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过.docx

考点17 正、余弦定理及解三角形

正、余弦定理是高考的必考点，题型会以选择、填空或解答题的形式进行考查，主要是利用正余弦定理对题干中的式子进行化简转化，再结合三角函数公式或性质进行解题，重点掌握：
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

一、正弦定理
1．正弦定理
在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
（2）
（3）
（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.
3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
4．在中，已知，和时，三角形解的情况

二、余弦定理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
.
3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
4．利用余弦定理解三角形的步骤

三、解三角形的实际应用
1．三角形的面积公式
设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.
（1） (h为BC边上的高)；
（2）；
（3）(为三角形的内切圆半径)．
2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
③南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
4．解三角形实际应用题的步骤

考向一 利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．
（2）三角形中的三角函数关系：
； ；
； .

典例1 在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若bsin2A+3asinB=0，b=3c，则的值为
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由bsin2A+3asinB=0，结合正弦定理，可得sinBsin2A+3sinAsinB=0，
即2sinBsinAcosA+3sinAsinB=0，
由于sinBsinA≠0，所以cosA=-32，
因为0＜A＜π，所以A=5π6．
又b=3c，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=3c2+c2+3c2=7c2，
即a2=7c2，所以ca=77.
故选D．
典例2 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+2bsinA=csinC.
（1）求C；
（2）若a=2,b=22,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.
【解析】（1）因为asinA+bsinB+2bsin A=csinC,所以a2+b2+2ab=c2.
由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab =-22，
又0<C<π，所以C=3π4.
（2）由（1）知C=3π4,
根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=22+(22)2-2×2×22×(-22)=20，
所以c=25.
由正弦定理得csinC=bsinB，即，解得sinB=55.
从而.
设BC的中垂线交BC于点E,
因为在中，cosB=BEBD，
所以，
因为DE为线段BC的中垂线，所以CD=BD=52.

1．在中，内角的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）记线段上靠近点的三等分点为，若，，求.
考向二 三角形形状的判断
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.

典例3 在中，内角所对的边分别是，已知．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．
【解析】（1）由得：，
则，
，，，
由正弦定理可知：，
则为等腰三角形.
（2）由题意得：，解得：，
∵为钝角三角形，且，为钝角，
，
由余弦定理得：，
.

3．中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①；②若，则是等腰直角三角形；③；④，则是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
考向三 与面积、范围有关的问题
（1）求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
（2）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

典例4 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=bcosC+csinB．
（1）求角B；
（2）若b=22，求面积的最大值．
【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，
∵sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinB=cosB，解得B=450．
（2）由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即222=a2+c2-2accos450，
整理得：a2+c2=8+2ac．
∵a2+c2≥2ac（当且仅当a=c取等号），∴8+2ac≥2ac，即ac≤42+2，
∴SΔABC=12acsinB≤12×42+2×22=22+2，
故面积的最大值为22+2．
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
典例5 在中，AC=23，D是BC边上的一点.
（1）若AD=1,AD⋅AC=3，求CD的长；
（2）若∠B=120°，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，AD＝1，AC=23，
所以AD⋅AC＝|AD||AC|cos∠DAC＝1×23×cos∠DAC＝3,
所以cos∠DAC＝32.
由余弦定理得＝12＋1－2×23×1×32＝7，
所以CD＝7.
（2）在中，由正弦定理得，
∴AB+BC=4(sinA+sinC)=4[sinA+sin(π3-A)]=4sin(A+π3)，
.
∴AB+BC∈(23,4]，故周长的取值范围为43,4+23 .

4．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
5．已知中，内角，，的对边分别为，，，，，
（1）求角的大小；
（2）若点与点在两侧，且满足，，求平面四边形面积的最大值.
考向四 三角形中的几何计算
几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

典例6 如图，在中，为边上一点，且，已知，.

（1）若是锐角三角形，，求角的大小；
（2）若的面积为，求的长.
【解析】（1）在中，，，，
由正弦定理得，
解得，
所以或.
因为是锐角三角形，所以.
又，所以.
（2）由题意可得，解得，
由余弦定理得，解得，
则.
所以的长为.

6．如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.

（1）求；
（2）求的面积.
考向五 解三角形的实际应用
解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角为，若山高为千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？

【解析】（1）在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
故船的航行速度是每小时千米.
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理得,
所以山顶位于处南偏东方向.

7．武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，武汉某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为且落在小路上，要求弦长，记弓形花园的顶点为，且，设，

（1）将，用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？
考向六 三角形中的综合问题
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.

典例8 在中，已知，向量，，且.
（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且，，求的面积．
【解析】（1）由题意知，
又，，所以，
即，即.
又，所以，
所以，即.
（2）设，
由，得，
由（1）知，所以,.
在中，由余弦定理，得，解得，
所以，
所以.
典例9 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
【解析】（1）因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
因为sin B＝sin[－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
所以cos B的最小值为.

8．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.
（1）求角C的大小；
（2）若，且是锐角三角形，求的取值范围.

1．若的内角满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
3．中，，为的中点，，，则（ ）
A． B．
C． D．2
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是
A． B．
C． D．
5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知的内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．在锐角中，已知角的对边分别为，， ，且最短边，则 ( )
A． B．4
C．2 D．8
10．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，在平面四边形中，，，，，，则__________．

12．设分别为内角的对边.已知，且，则_____．
13．中，为平分线，若，且，则的周长为______.
14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．

15．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=.
（1）求的周长；
（2）求cos（A﹣C）的值．

16．在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且.
（1）求角；
（2）若，求.

17．已知的周长为1，并且.
（1）是何种三角形？试判断它的形状；
（2）求的面积的最大值.

18．如图,是直角斜边上一点,．

（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长．

19．已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③ ；④．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的面积．

20．已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若成等差数列，的面积为，求．

21．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的值．

22．已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值．

1．【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
2．【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A． B．
C． D．
3．【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
6．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
7．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
8．【2020年高考全国II卷理数】中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．

9．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

10．【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．

11．【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

12．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．

15．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

16．【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．

17．【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．

18．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．

19．【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.

20．【2018年高考天津卷理数】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.

21．【2018年高考北京卷理数】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．
（1）求∠A；
（2）求AC边上的高．

变式拓展

1．【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a.
【详解】
因为，所以, C为直角，
因为，所以,
因此，故选B.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．【答案】（1）证明见解析；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得，整理得，可得证.
（2）设，则，由余弦定理和，可得，可求得c.
【详解】
（1）因为，所以由正弦定理得，整理得.
因为，所以，即.
（2）设，则，
由余弦定理可得，.
因为，所以，解得，
所以.
【点睛】
本题考查运用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档题.
3．【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断．
【详解】
由得代入得，①正确；
若，∴，，∵是三角形内角，∴，即，为等腰三角形，②错；
由余弦定理，又，∴，③正确；
，
则，∴，由正弦定理得，三角形中，则，，∴或，∴或，④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换．
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理完成边化角，然后根据得出对应的等式，从而计算出的值；
（2）根据正弦定理，将表示为的形式，然后根据的结果将表示为关于的三角函数，根据的范围求解出的最大值即可.
另解：根据余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，注意取等号的条件.
【详解】
（1）由，根据正弦定理有：.
所以，所以.
因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.
（2）由，，根据正弦定理有：，
所以，.
所以.
当时，等号成立.所以的最大值为.
另解：（2）由，，根据余弦定理有：，
即.因为，
所以.即，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查解三角形的综合问题，难度一般.(1)解三角形时注意隐含条件的使用；(2)利用正弦定理求解边之和的最值，主要利用三角函数的有界性进行计算；利用余弦定理计算边之和的最值，主要利用余弦定理以及基本不等式进行计算.
5．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由结合正弦定理的边化角公式得出，再由结合正弦定理的边化角公式得出角的大小；
（2）先由直角三角形的边角关系得出，，再由三角形的面积公式以及正弦函数的性质得出平面四边形面积的最大值.
【详解】
解：（1）因为
所以由正弦定理知，即
又，所以，所以
因为，所以，得，所以
（2），， ，
设，则四边形的面积

当即时，取到最大值；
故四边形面积的最大值为

【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式的应用，涉及了三角函数性质的应用，属于中档题.
6．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出.
（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积.
【详解】
（1），由得，
由余弦定理得，
，:
（2）连接，如下图：是的中点，，，

，
在中，由正弦定理得，
，，
，，
，，，
，，
，
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式.
7．【答案】（1），；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理即可将，用含有的关系式表示出来；
（2）在中，由余弦定理得出，结合三角函数的性质，即可得出的最大值，再求出的长度即可.
【详解】
（1）在中，由正弦定理可知，则
由正弦定理可得
则
（2），，
在中，由余弦定理可知

，

当时，即时，取最大值
此时
即当时，取最大值
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题.
8．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由和可得，求出的值，进而求出C的大小；
（2）由，且是锐角三角形，再由正弦定理，可以将转化为一个只含A的三角函数式，根据正弦型函数的性质，求出的取值范围．
【详解】
（1）依题意：即，又，
∴，∴；
（2）由正弦定理得得，
，

，
由三角形是锐角三角形可得，即，
∴，∴即.
【点睛】
本题考查平面向量和三角函数的综合问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.
考点冲关

1．【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，根据正弦定理得出的关系，即，然后利用余弦定理求出的值.
【详解】
解：，
由正弦定理得：，，
由余弦定理得：.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理的边角互化的应用和利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
2．【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理，化简得到，得到答案.
【详解】
，故，即.
故或，即或.
故选：.
【点睛】
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.
3．【答案】D
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.
【详解】
在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，
在中，由余弦定理可得，
.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
4．【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理化简即得解.
【详解】
由正弦定理可得．
，
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理对条件进行化简，可得，再由锐角中，可得角的大小.
【详解】
由余弦定理可得，所以，
所以，即.
又为锐角三角形，所以.
故选：A
【点睛】
本题考查余弦定理、由正弦值求角等解三角形等基本知识，考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于容易题目.
6．【答案】B
【解析】
【分析】
先由正弦定理得，再由余弦定理得，最后由求面积.
【详解】
由结合正弦定理可得，则.
由余弦定理，可得，
解得，则.
又，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式，属于中档题.
7．【答案】A
【解析】
【分析】
由、、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质确定出的范围即可．
【详解】
在中，、、依次成等比数列，
，
利用正弦定理化简得，
由余弦定理得（当且仅当时取等号），
因为,
则的范围为，，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
8．【答案】C
【解析】
【分析】
使用余弦定理可得，利用正弦定理边化角可得，进一步使用正弦定理可得，最后利用换元并构造函数，研究函数最值即可.
【详解】
由余弦定理得，
即，
，即，
，即
，
，，
即，则，
，
设，则，
，在上单调递增，
则，所以.
所以的取值范围为
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，还考查通过构造函数研究最值问题，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
9．【答案】B
【解析】
由已知根据正弦定理得，
由余弦定理得.
于是，结合，即得.
由余弦定理得，又，，，
所以，即，解得或.
因为最短边，所以.故选B．
10．【答案】B
【解析】
【分析】
通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.
【详解】

，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号
.
【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.
11．【答案】3
【解析】
分析：
详解：设，
在直角中，得，所以，
在中，由余弦定理，
由于，所以，
即，整理得，解得.
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
12．【答案】2
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理的角化边得到，再根据余弦定理即可得到，解方程即可.
【详解】
因为
所以
又因为，所以

即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
13．【答案】
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得出，可得，再由弦化切思想以及正弦定理边角互化思想得出，可得，利用余弦定理求得，进而可求得，利用三角形的面积公式可求得的值，由此可求得该三角形的面积.
【详解】
在中，设角、、的对边分别为、、，

为平分线，则，，
，即，
，即，，
由余弦定理得，，
，解得，
因此，的周长为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形周长的计算，同时也考了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
14．【答案】80
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理求得；在中，由正弦定理求得；再在中，由余弦定理求得.
【详解】
由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在中，由余弦定理，
得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×
＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80．
故图中海洋蓝洞的口径为80．
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用正余弦定理求解距离问题，属综合基础题.
15．【答案】（1）5 ；（2）.
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）

的周长为
（Ⅱ）

，故A为锐角，

点评：解决的关键是根据余弦定理和正弦定理来求解三角形，属于基础题．
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题得，再利用余弦定理化简得，即得解；（2）设，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
解得，
又，故.
（2）设
则
所以.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．【答案】（1）为直角三角形且为直角（2）
【解析】
【分析】
（1）将变形为后，分别假设为钝角和锐角，都推出不成立，可知，只能是直角；
（2）利用基本不等式可求出三角形面积的最大值.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
若为钝角，则，，
所以，，
所以，，
又，，所以不成立；
若为锐角，则，则，，
所以，，
所以，，又，，
所以不成立，
所以必为直角，必为直角三角形.
（2）由（1）知，，设角所对的边分别为，
则，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了三角形形状的判断，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积的计算，考查了二倍角的正弦公式，考查了正余弦函数单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．【答案】（1）；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）先根据正弦定理求得，由此得到的值，进而求得，在直角三角形中求得的大小.（2）设，利用表示出，求得的值，利用余弦定理列方程，解方程求出，也即求得的值.
【详解】
（1）在中，根据正弦定理，有，
∵，
∴，
又，
∴，
于是，
∴.
（2）设，则，，，
于是，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
，故.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.
19．【答案】（1）满足①，③，④；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过余弦函数的性质可以判断①，②不能同时满足，也就可以判断出③，④能同时满足，最后判断出②不能和③，④同时满足；
（2）利用余弦定理可以求出的值，再利用面积公式求出面积.
【详解】
（1）解：同时满足①，③，④．理由如下：
若同时满足①，②．
因为，且，所以．
所以，矛盾．
所以只能同时满足③，④．
所以，所以，故不满足②．
故满足①，③，④．
（2）解：因为，
所以．
解得，或（舍）．
所以△的面积．
【点睛】
本题考查了余弦函数的性质、余弦定理、面积公式，考查了数学推理论证能力.
20．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A∈（0，π），即可计算求解A的值；
（2）利用等差数列的性质可得b+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值．
【详解】
（1）∵asinB=bsin（A+）．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．
∵sinB≠0，
∴sinA=sin（A+）．
∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，
∴A=．
（2）∵b，a，c成等差数列，
∴b+c=，
∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，
∴=2，解得bc=8，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos
=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，
∴解得：a=2．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）法一：由向量平行的坐标转化可得，由正弦定理转化为角的关系，即可得出结果.
法二：由向量平行的坐标转化可得，由余弦定理转化为边的关系，即可得出结果.
（2）由条件和余弦定理，可得，利用三角形面积公式即可得出结果.
【详解】
（1）法一： 因为，所以，
由正弦定理得，
得，即，
因为，所以，
又，所以．
法二： 因为，所以，
易知，，代入上式得，
，
整理得，，所以，
又，所以．
（2）由（1）得，又，所以，
又，得，所以．
【点睛】
本题考查了正、余弦定理，三角形的面积公式等基本解三角形知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
22．【